Теория множеств

Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов➤, поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств➤. В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств➤, обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримости множеств тщательно разработана дескриптивная теория множеств➤.

Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики^[1]. В первой половине XX века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стал широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах. Однако использование теории множеств для логически безупречного построения математических теорий осложняется тем, что она сама нуждается в обосновании своих методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности, при переходе на точку зрения общей теории множеств приобретают лишь бо́льшую остроту^[2].

Начиная со второй половины XX века представление о значении теории и её влияние на развитие математики заметно снизились за счёт осознания возможности получения достаточно общих результатов во многих областях математики и без явного использования её аппарата, в частности, с использованием теоретико-категорного инструментария (средствами которого в теории топосов обобщены практически все варианты теории множеств). Тем не менее нотация теории множеств стала общепринятой во всех разделах математики вне зависимости от использования теоретико-множественного подхода. На идейной основе теории множеств в конце XX века создано несколько обобщений➤, в том числе теория нечётких множеств, теория мультимножеств (используемые в основном в приложениях), теория полумножеств^[англ.] (развиваемая в основном чешскими математиками).

Ключевые понятия теории➤: множество (совокупность объектов произвольной природы), отношение принадлежности элементов множествам, подмножество, операции над множествами, отображение множеств, взаимно-однозначное соответствие, мощность (конечная, счётная, несчётная), трансфинитная индукция.

Одна из визуализаций трёхмерного варианта канторова множества — нигде не плотного совершенного множества

История

Предпосылки

Множества, в том числе и бесконечные, в неявной форме фигурировали в математике со времён Древней Греции: например, в том или ином виде рассматривались отношения включения множеств всех рациональных, целых, натуральных, нечётных, простых чисел. Зачатки идеи о равномощности множеств встречаются у Галилея: рассуждая о соответствии между числами и их квадратами, он обращает внимание на неприменимость аксиомы «целое больше части» к бесконечным объектам (парадокс Галилея)^[3].

Первое представление об актуально бесконечном множестве относят к работам Гаусса начала 1800-х годов, опубликованным в его «Арифметических исследованиях»^[4], в которых, вводя сравнения на множестве рациональных чисел, он обнаруживает классы эквивалентности (классы вычетов) и разбивает всё множество на эти классы, отмечая их бесконечность и взаимное соответствие, рассматривает бесконечное множество решений ${\displaystyle ax+b\equiv 0{\pmod {n}}}$ как единую совокупность, классифицирует бинарные квадратичные формы (${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}}$) в зависимости от определителя и рассматривает этот бесконечный набор классов как бесконечные совокупности объектов нечисловой природы, предполагает возможность выбирать из классов эквивалентностей по одному объекту-представителю всего класса^[5]: использует методы, характерные для теоретико-множественного подхода, не использовавшиеся явно в математике до XIX века. В более поздних работах Гаусс, рассматривая совокупность комплексных чисел с рациональными вещественной и мнимой частью, говорит о вещественных, положительных, отрицательных, чисто мнимых целых числах как её подмножествах^[6]. Однако бесконечные множества или классы как самостоятельные объекты исследования Гауссом явно не выделялись, более того, Гауссу принадлежат высказывания против возможности использования актуальной бесконечности в математических доказательствах^[7].

Более отчётливое представление о бесконечных множествах проявляется в работах Дирихле, в курсе лекций 1856—1857 годов^[8], построенном на основе гауссовых «Арифметических исследований». В работах Галуа, Шёмана и Серре по теории функциональных сравнений 1820—1850-х годов также намечаются элементы теоретико-множественного подхода, которые обобщил Дедекинд в 1857 году, явно сформулировавший в качестве одного из выводов необходимость рассмотрения целой системы бесконечно многих сравнимых чисел как единого объекта, общие свойства которого равным образом присущи всем его элементам, а систему бесконечно многих несравнимых классов уподобляет ряду целых чисел^[9]. Отдельные понятия теории множеств можно встретить в трудах Штейнера и Штаудта 1830—1860-х годов по проективной геометрии: практически весь предмет в значительной степени зависит от представления о взаимно-однозначном соответствии, ключевом для теории множеств, однако в проективной геометрии на такие соответствия накладывались дополнительные ограничения (сохранение некоторых геометрических соотношений). В частности, Штейнер явно вводит понятие несчётного множества для множества точек на прямой и множества лучей в пучке и оперирует с их несчётными подмножествами, а в работе 1867 года вводит понятие мощности как характеристики множеств, между которыми возможно установить проективное соответствие (Кантор позднее указывал, что заимствовал само понятие и термин у Штейнера, обобщив проективное соответствие до взаимно-однозначного)^[10].

Наиболее близкие к наивной теории множеств Кантора представления содержатся в трудах Больцано^[11], прежде всего, в работе «Парадоксы бесконечного»^[англ.], опубликованной после смерти автора в 1851 году, в которой рассматриваются произвольные числовые множества, и для их сравнения явно определено понятие взаимно-однозначного соответствия, и сам термин «множество» (нем. menge) также впервые систематически использован в этой работе. Однако, работа Больцано носит в большей степени философский характер, нежели математический, в частности, в ней нет чёткого разграничения между мощностью множества и понятием величины или порядка бесконечности, и сколь-нибудь формальной и целостной математической теории в этих представлениях нет^[12]. Наконец, теории вещественного числа Вейерштрасса, Дедекинда и Мерэ, созданные в конце 1850-х годов и опубликованные в начале 1860-х во многом перекликаются с идеями наивной теории множеств в том смысле, что рассматривают континуум как множество, образованное из рациональных и иррациональных точек^[13].

Наивная теория множеств

Запрос «Наивная теория множеств»^{[[d:Q903783#sitelinks-wikipedia|[d]]]} перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Георг Кантор в 1870 году

Схема доказательства счётности множества рациональных чисел

Схематическая идея доказательства теоремы Кантора — Бернштейна

Основным создателем теории множеств в наивном её варианте является немецкий математик Георг Кантор, к созданию абстракции точечного множества подтолкнули работы 1870—1872 годов по развитию теории тригонометрических рядов (продолжавшие труды Римана), в которых ввёл понятие предельной точки, близкое к современному^[14] и пытался с его помощью классифицировать «исключительные множества» (множества точек расходимости ряда, возможно бесконечные)^[15]. Заинтересовавшись вопросами равномощности множеств, в 1873 году Кантор обнаружил счётность множества рациональных чисел и решает отрицательно^[англ.] вопрос о равномощности множеств целых и вещественных чисел (последний результат опубликовал в 1874 году по настоянию Вейерштрасса^[16][17]. В 1877 году Кантор доказал взаимно-однозначное соответствие между ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (для любого ${\displaystyle n>0}$). Первыми результатами Кантор делился в переписке с Дедекиндом и Вейерштрассом, которые отвечали благосклонной критикой и замечаниями к доказательствам, и начиная с 1879 года вплоть до 1884 года опубликовал шесть статей в Mathematische Annalen с результатами исследований бесконечных точечных множеств^[18][19].

В 1877 году Дедекинд опубликовал статью «О числе классов идеалов конечного поля», в которой явно в символическом виде использовались операции со множествами — полями, модулями, идеалами, кольцами, — отношение включения (со знаками «<» и «>»), объединение (со знаком «+») и пересечение (с инфиксом «−»), и, кроме того, фактически описана алгебра множеств с присущей ей двойственностью операций объединения и пересечения; в обозначениях Дедекинда:

${\displaystyle (A+B)-(A+C)=A+(B-(A+C))}$,

${\displaystyle (A-B)+(A-C)=A-(B+(A-C))}$,

в последующих своих работах многократно используя этот результат^[20]. В публикации 1878 года о равномощности континуумов разного числа измерений Кантор использовал теоретико-множественные операции, ссылаясь на работу Дедекинда. Кроме того, в этой же работе впервые в явном виде введено понятие мощности множества, доказана счётность всякого бесконечного подмножества счётного множества, а конечные поля алгебраических чисел предложены как примеры счётных множеств. Результат Кантора о равномощности континуумов разного числа измерений привлёк широкое внимание математиков, и уже в том же году последовало несколько работ (Люрот^[нем.], Томе^[нем.], Нетто) с неудачными попытками доказательства невозможности одновременной непрерывности и взаимной однозначности отображения континуумов различных размерностей^[21] (точное доказательство этого факта дал Брауэр в 1911 году).

В 1880 году Кантор сформулировал две ключевых идеи теории множеств — понятие о пустом множестве и метод трансфинитной индукции. Начиная с 1881 года методами Кантора начинают пользоваться другие математики: Вольтерра, Дюбуа-Реймон, Бендиксон, Гарнак, в основном в связи с вопросами об интегрируемости функций^[22]. В работе 1883 года Кантор дал исторически первое формальное определение континуума, используя введённые им понятия совершенного множества и плотности множества (отличающиеся от современных, используемых в общей топологии, но принципиально сходных с ними), а также построил классический пример нигде не плотного совершенного множества (известный как канторово множество)^[23], а также в явном виде сформулировал континуум-гипотезу (предположение об отсутствии промежуточных мощностей между счётным множеством и континуумом, её недоказуемость в рамках ZFC показана Коэном в 1963 году).

С 1885—1895 годы работы по созданию наивной теории множеств получили развитие прежде всего в трудах Дедекинда (Кантор в течение этих 10 лет опубликовал лишь одну небольшую работу из-за болезни). Так, в книге «Что такое числа и для чего они служат?»^[24] (где также впервые построена аксиоматизация арифметики, известная как арифметика Пеано) систематически изложены полученные к тому времени результаты теории множеств в наибольшей общности — для множеств произвольной природы (не обязательно числовых), бесконечное множество определено как взаимнооднозначное с частью себя, впервые сформулирована теорема Кантора — Бернштейна^[25], изложена алгебра множеств и установлены свойства теоретико-множественных операций^[26]. Шрёдер в 1895 году обратил внимание на совпадение алгебры множеств и исчисления высказываний, тем самым была установлена глубокая связь между математической логикой и теорией множеств.

В 1895—1897 годы Кантор опубликовал цикл из двух работ, в целом завершающий создание наивной теории множеств^[27][28].

С начала 1880-х годов, прежде всего, после публикации идей о трансфинитной индукции, теоретико-множественный подход встретил острое неприятие многими крупными математиками того времени, основными оппонентами в то время были Герман Шварц и, в наибольшей степени, Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Серьёзная дискуссия развернулась и в среде теологов и философов относительно теории множеств, в основном критически относившихся к идеям об актуальной бесконечности и количественных различиях в этом понятии^[29]. Тем не менее к концу 1890-х годов теория множеств стала общепризнанной, во многом этому способствовали доклады Адамара и Гурвица на Первом международном конгрессе математиков в Цюрихе (1897), в которых были показаны примеры успешного использования теории множеств в анализе, а также широкое применение теоретико-множественного инструментария уже имевшим значительное влияние в математическом сообществе Гильбертом^[30].

Парадоксы

Основная статья: Парадоксы теории множеств

Размытость понятия множества в наивной теории, при которой допускалось построение множеств лишь по признаку сбора всех объектов, обладающих каким-либо свойством, привела к тому, что в период 1895—1925 годов была обнаружена значительная серия противоречий, внесшая серьёзные сомнения в возможность использования теории множеств как фундаментального инструмента, ситуация получила известность как «кризис оснований математики»^[31].

Противоречие, к которому приводит рассмотрение множества всех порядковых чисел впервые обнаружено Кантором в 1895 году^[32], переоткрыто и впервые опубликовано Бурали-Форти (итал. Cesare Burali-Forti) в 1897 году, и стало известно как парадокс Бурали-Форти^[33]. В 1899 году в письме Дедекинду Кантор впервые говорит о противоречивости универсума как множества всех множеств, так как множество всех его подмножеств должно было бы быть равномощно самому себе, не удовлетворяя принципу ${\displaystyle {\mathfrak {m}}<2^{\mathfrak {m}}}$^[34], впоследствии эта антиномия стала известна как парадокс Кантора. В дальнейшей переписке Кантор предложил рассматривать собственно множества (нем. mengen), которые могут быть мыслимы как единый объект, и «многообразия» (vielheiten) для сложных конструкций, в том или ином виде эта идея нашла отражения в некоторых поздних аксиоматизациях и обобщениях^[35].

Наиболее значительным противоречием, повлиявшим на дальнейшее развитие теории множеств и оснований математики в целом стал парадокс Рассела, обнаруженный около 1901 года Бертраном Расселом и опубликованный в 1903 году в монографии «Основания математики». Суть парадокса в противоречии при рассмотрении вопроса о принадлежности самому себе множества всех множеств, не включающих себя. Кроме того, примерно к тому же времени относится обнаружение таких антиномий как парадокс Ришара, парадокс Берри и парадокс Греллинга — Нельсона, показывающих противоречия при попытках использования самореференции свойств элементов при построении множеств.

В результате осмысления возникших парадоксов в сообществе математиков возникло два направления по разрешению возникших проблем: формализация теории множеств посредством подбора системы аксиом, обеспечивающей непротиворечивость при сохранении инструментальной мощи теории, второе — исключение из рассмотрения всех не поддающихся интуитивному осмыслению конструкций и методов. В рамках первого направления, начатого Цермело, Гильбертом, Бернайсом, Хаусдорфом, было создано несколько вариантов аксиоматической теории множеств➤ и за счёт довольно искусственных ограничений преодолены основные противоречия. Второе направление, основным выразителем которого был Брауэр, породило новое направление в математике — интуиционизм, и в той или иной мере оно было поддержано Пуанкаре, Лебегом, Борелем, Вейлем.

Аксиоматические теории множеств

Запрос «Аксиоматическая теория множеств»^{[[d:Q904423#sitelinks-wikipedia|[d]]]} перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Первую аксиоматизацию теории множеств в 1908 году опубликовал Цермело, центральную роль в исключении парадоксов в этой системе должна была сыграть «аксиома селекции» (нем. Aussonderung), согласно которой от свойства ${\displaystyle P(x)}$ только тогда можно образовать множество ${\displaystyle \{x\mid P(x)\}}$, если из ${\displaystyle P(x)}$ следует отношение вида ${\displaystyle x\in A}$^[35]. В 1922 году благодаря работам Скулема и Френкеля система на базе аксиом Цермело была окончательно сформирована, включив аксиомы объёмности, существования пустого множества, пары, суммы, степени, бесконечности и с вариантами с аксиомой выбора и без неё. Эти аксиоматики получили наибольшее распространение и известны как теория Цермело — Френкеля, система с аксиомой выбора обозначается ZFC, без аксиомы выбора — ZF.

Особая роль аксиомы выбора связана с её интуитивной неочевидностью и заведомым отсутствием эффективного способа определения множества, собранного из элементов семейства. В частности Борель и Лебег считали, что доказательства, полученные с её применением, имеют другую познавательную ценность, нежели доказательства, независимые от неё, тогда как Гильберт и Хаусдорф принимали её безоговорочно, признавая за ней не меньшую степень очевидности, что и за другими аксиомами ZF^[36].

Другой получивший распространение вариант аксиоматизации теории множеств был разработан фон Нейманом в 1925 году, формализован в 1930-е годы Бернайсом, и упрощён Гёделем в 1940 году (в работе по доказательству независимости континуум-гипотезы от аксиомы выбора), окончательный вариант получил известность как система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя и обозначение NBG^[37].

Существует ряд прочих аксиоматизаций, среди них система Морса — Келли^[англ.] (MK), система Крипке — Платека^[англ.], система Тарского — Гротендика^[англ.].

Дескриптивная теория множеств

Запрос «Дескриптивная теория множеств»^{[[d:Q225869#sitelinks-wikipedia|[d]]]} перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

В начале XX века в работах Лебега, Бэра, Бореля исследованы вопросы измеримости множеств. На основе этих работ в 1910—1930 годы разработана теория дескриптивных множеств, систематически изучающая внутренние свойства множеств, построенных теоретико-множественными операциями из объектов относительно простой природы — открытых и замкнутых множеств евклидова пространства, метрических пространств, метризуемых топологических пространств со счётной базой. Основной вклад в создание теории внесли Лузин, Александров, Суслин, Хаусдорф. С 1970-х годов разрабатываются обобщения дескриптивной теории множеств на случай более общих топологических пространств.

Основные понятия

Диаграмма Венна, показывающая все пересечения графем заглавных букв греческого, русского и латинского алфавитов

Декартово произведение ${\displaystyle \{x,y,z\}\times \{1,2,3\}}$

В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение принадлежности множества (обозначается как ${\displaystyle x\in A}$^[38] — «${\displaystyle x}$ есть элемент множества ${\displaystyle A}$», «${\displaystyle x}$ принадлежит множеству ${\displaystyle A}$»). Пустое множество, обычно обозначается символом ${\displaystyle \varnothing }$ — множество, не содержащее ни одного элемента. Подмножество и надмножество — соотношения включения одного множества в другое (обозначаются соответственно ${\displaystyle A\subseteq B}$ и ${\displaystyle A\supseteq B}$ для нестрогого включения и ${\displaystyle A\subset B}$ и ${\displaystyle A\supset B}$ — для строгого).

Над множествами определены следующие операции:

• объединение, обозначается как ${\displaystyle A\cup B}$ — множество, содержащее все элементы из ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$,
• разность, обозначается как ${\displaystyle A\setminus B}$, реже ${\displaystyle A-B}$ — множество элементов ${\displaystyle A}$, не входящих в ${\displaystyle B}$,
• дополнение, обозначается как ${\displaystyle \setminus A}$ или ${\displaystyle -A}$ — множество всех элементов, не входящих в ${\displaystyle A}$ (в системах, использующих универсальное множество),
• пересечение, обозначается как ${\displaystyle A\cap B}$ — множество из элементов, содержащихся как в ${\displaystyle A}$, так и в ${\displaystyle B}$,
• симметрическая разность, обозначается как ${\displaystyle A\bigtriangleup B}$, реже ${\displaystyle A\;\;\!\!{\dot {-}}\;\;\!\!B}$ — множество элементов, входящих только в одно из множеств — ${\displaystyle A}$ или ${\displaystyle B}$.

Объединение и пересечение также часто рассматривают над семействами множеств, обозначаются ${\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}}$ и ${\displaystyle \bigcap {\mathfrak {A}}}$ и составляют, соответственно, объединение всех множеств, входящих в семейство ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ и пересечение всех множеств, входящих в семейство.

Объединение и пересечение коммутативны, ассоциативны и идемпотентны. В зависимости от выбора системы аксиом и наличия дополнения алгебра множеств (относительно объединения и пересечения) может образовывать дистрибутивную решётку, полную дистрибутивную решётку, булеву алгебру. Для визуализации операций над множествами используются диаграммы Венна.

Декартово произведение множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — множество всех упорядоченных пар элементов из ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$: ${\displaystyle A\times B=\{(x,y)\mid x\in A\land y\in B\}}$. Отображение ${\displaystyle f}$ множества ${\displaystyle A}$ в множество ${\displaystyle B}$ теории множеств рассматривается как бинарное отношение — подмножество ${\displaystyle A\times B}$ — с условием единственности соответствия первого элемента второму: ${\displaystyle (x,y)\in f\Rightarrow \forall z\neq y((x,z)\notin f)}$.

Множество подмножеств — множество всех подмножеств данного множества, обозначается ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ или ${\displaystyle 2^{A}}$ (так как соответствует множеству отображений из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle \mathbf {2} =\{0,1\}}$).

Мощность множества (кардинальное число) — характеристика количества элементов множества, формально определяется как класс эквивалентности над множествами, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие, обозначается ${\displaystyle |A|}$ или ${\displaystyle \sharp A}$. Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств — целое число, равное количеству элементов. Над кардинальными числами, в том числе характеризующими бесконечные множества, можно установить отношение порядка, мощность счётного множества обозначается ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (алеф — первая буква еврейского алфавита), является наименьшей из мощностей бесконечных множеств, мощность континуума обозначается ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ или ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$, континуум-гипотеза — предположение о том, что между счётной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей.^[39]

Представление порядковых чисел до ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$

Если кардинальное число характеризует класс эквивалентности множеств относительно возможности установить взаимно-однозначное соответствие, то порядковое число (ординал) — характеристика классов эквивалентности вполне упорядоченных множеств относительно биективных соответствий, сохраняющих отношение полного порядка. Строятся ординалы посредством введения арифметики порядковых чисел (с операциями сложения и умножения), порядковое число конечных множеств совпадает с кардиналом (обозначается соответствующим натуральным числом), порядковое число множества всех натуральных чисел с естественным порядком обозначается как ${\displaystyle \omega }$, далее конструируются числа:

${\displaystyle \omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\dots ,\omega ^{2},\dots \omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots ,}$,

после чего вводятся ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$-числа:

${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}}$.

Множество всех ${\displaystyle \omega }$- и ${\displaystyle \varepsilon }$-чисел — счётных ординалов — обладает мощностью ${\displaystyle \aleph _{1}}$.^[40]

Обобщения

Средствами теории категорий, зачастую противопоставляемой теории множеств и с инструментальной, и с дидактической точек зрения, Ловер и Тирни (англ. Miles Tierney) в 1970 году создали теорию топосов, изучаемый ею объект — элементарный топос — построен по принципу схожести с поведением множеств в теоретико-множественном понимании, элементарными топосами удалось представить практически все варианты теории множеств.

Теория нечётких множеств — расширение теории множеств, предложенное в 1960-х годах Лотфи Заде^[41] в рамках концепции нечёткой логики, в нечёткой теории вместо отношения принадлежности элементов к множеству рассматривается функция принадлежности со значениями в интервале ${\displaystyle [0,1]}$: элемент чётко не принадлежит множеству если функция его принадлежности равна нулю, чётко принадлежит — если единице, в остальных случаях отношение принадлежности считается нечётким. Применяется в теории информации, кибернетике, информатике.

Теория мультимножеств^[42], в применении к теории сетей Петри называемая теорией комплектов, рассматривает в качестве основного понятия наборы элементов произвольной природы, в отличие от множества, допускающие присутствие нескольких экземпляров одного и того же элемента, отношение включения в этой теории заменено функцией числа экземпляров: ${\displaystyle \sharp (a,A)}$ — целое число вхождений элемента ${\displaystyle a}$ в мультимножество ${\displaystyle A}$, при объединении комплектов число экземпляров элементов берётся по максимуму вхождений (${\displaystyle \sharp (a,A_{1}\cup A_{2})=\max(\sharp (a,A_{1}),\sharp (a,A_{2})}$), при пересечении — по минимуму (${\displaystyle \sharp (a,A_{1}\cap A_{2})=\min(\sharp (a,A_{1}),\sharp (a,A_{2})}$)^[43]. Используется в теоретической информатике, искусственном интеллекте, теории принятия решений.

Альтернативная теория множеств^[англ.] — теория, развиваемая чехословацкими математиками с 1970-х годов, в основном в работах Петра Вопенки (чеш. Petr Vopěnka)^[44], основывающаяся на чёткой формализации множества как объекта, индуктивно построимого из пустого множества и заведомо существующих элементов, для свойств объектов, допускающих рассмотрения их в целой совокупности, вводится понятие классов, а для изучения подклассов множеств используется концепция полумножеств^[англ.].

В культуре

«Теоретико-множественные» часы в Берлине показывают время 9:32

В 1960—1970-е годы в рамках теории музыки была создана собственная теория множеств^[англ.], предоставляющая средства чрезвычайно обобщённого описания музыкальных объектов (звуков с их высотами, динамикой, длительностью), взаимоотношения между ними и операции над их группами (такими как транспозиция, обращение). Однако связь с математической теорией множеств более чем опосредованная, и, скорее, терминологическая и культурная: в музыкальной теории множеств рассматриваются только конечные объекты и каких-то существенных теоретико-множественных результатов или значительных конструкций не используется; гораздо в большей степени в этой теории задействованы аппараты теории групп и комбинаторики^[45].

Также в большей степени под культурным, нежели содержательным влиянием теории множеств немецким дизайнером Биннингером (нем. Dieter Binninger) в 1975 году были созданы так называемые «теоретико-множественные» часы (нем. Mengenlehreuhr) (также известны как берлинские часы, нем. Berlin-Uhr), вошедшие в Книгу рекордов Гиннесса как первое устройство, использующее пятеричный принцип для отображения времени посредством цветных светящихся индикаторов (первый и второй ряд индикаторов сверху показывает часы, третий и четвёртый — минуты; каждый светящийся индикатор соответствует пяти часам для первого ряда, одному часу для второго ряда, пяти минутам для третьего ряда и одной минуте для четвёртого ряда). Часы установлены в берлинском торгово-офисном комплексе Europa-Center.

Примечания

1. Множеств теория / П. С. Александров // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978. «<…>явилась фундаментом ряда новых математических дисциплин (теории функций действительного переменного, общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и др.) <…> оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики»
2. Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 382.
3. Бурбаки, 1963, с. 39.
4. C. F. Gauss. Disquititiones arithmeticae. — Lipsiae, 1801.
5. Медведев, 1965, с. 15—17.
6. Медведев, 1965, с. 22—23.
7. Медведев, 1965, с. 24.
8. P. G. Lejuen Dirichlet. Vorlesungen über Zahlentheorie. — Braunschweig, 1863., курс к изданию готовил Дедекинд, уже после смерти Дирихле
9. Медведев, 1965, с. 24—27.
10. Медведев, 1965, с. 28—32.
11. Медведев, 1965, с. 74—77.
12. Бурбаки, 1963, с. 39—40.
13. Медведев, 1965, с. 61—67.
14. Медведев, 1965, с. 86—87.
15. Бурбаки, 1963, с. 40.
16. Медведев, 1965, с. 94—95.
17. Кантор, 1985, 2. Об одном свойстве совокупности всех алгебраических чисел. Оригинал: Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. — Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 77 (1874), p. 258—262, с. 18—21.
18. Кантор, 1985, 5. О бесконечных линейных точечных многообразиях. Оригинал: Über unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. — Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884), с. 40—141.
19. Бурбаки, 1963, с. 40—41.
20. Медведев, 1965, с. 103—105.
21. Медведев, 1965, с. 107—110.
22. Медведев, 1965, с. 113—117.
23. Медведев, 1965, с. 126—131.
24. Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen?. — Braunschweig: Drud und Berlag von Friedrich Bieweg, 1893. — 60 p. Архивировано 13 мая 2013 года.
25. Доказана независимо Эрнстом Шрёдером и Феликсом Бернштейном в 1897 году
26. Медведев, 1965, 14. «Что такое числа и для чего они служат?» Р. Дедекинда, с. 144—157.
27. Кантор, 1985, 10. К обоснованию учения о трансфинитных множествах. Оригинал: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. — Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895) p. 481—512; Bd. 49 (1897), p. 207—246, с. 173—245.
28. Медведев, 1965, 17. Новый взлёт Кантора, с. 171—178.
29. Медведев, 1965, с. 133—137.
30. Бурбаки, 1963, «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором» — говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», изданных в 1899 году, с. 44,49.
31. Бурбаки, 1963, Парадоксы теории множеств и кризис оснований, с. 44—53.
32. Не опубликовано, сообщено в письме Гильберту
33. Медведев, 1965, с. 177—179.
34. Бурбаки, 1963, с. 44.
35. Бурбаки, 1963, с. 46.
36. Куратовский, Мостовский, 1970, с. 61.
37. Бурбаки, 1963, с. 46—47.
38. Символ ${\displaystyle \in }$ (от греч. εστι — «быть») введён Пеано.
39. Куратовский, Мостовский, 1970, с. 176—211, 305—327.
40. Куратовский, Мостовский, 1970, с. 273—303.
41. L. Zadeh. Fuzzy Sets (англ.) // Information and Control. — 1965. — Vol. 5. — P. 338—353. — ISSN 0019-9958. — doi:10.1016/S0019-9958(65)90241-X. Архивировано 27 ноября 2007 года.
42. А. Б. Петровский. Пространства множеств и мультимножеств. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — С. 248. — ISBN 5-7262-0633-9. Архивировано 24 сентября 2015 года.
43. Джеймс Питерсон. Обзор теории комплектов // Теория сетей Петри и моделирование систем = Petri Net Theory and The Modelling of Systems. — М.: Мир, 1984. — С. 231—235. — 264 с. — 8400 экз.
44. П. Вопенка. Математика в альтернативной теории множеств = Mathematics in The Alternative Set Theory / перевод А. Драгалина. — М.: Мир, 1983. — 152 с. — (Новое в зарубежной математике). — 6000 экз.
45. M. Schuijer. Analyzing Atonal Music: Pitch-Class Set Theory and Its Contexts. — Rochester: University Rochester Press, 2008. — 306 p. — ISBN 978-1-58046-270-9.

Литература

• Аксиоматические теории множеств : [арх. 17 октября 2022] / В. Г. Кановей // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Н. Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37—53. — 292 с. — (Элементы математики).
• Г. Кантор. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985. — 430 с. — (Классики науки). — 3450 экз..
• П. Дж. Коэн. Об основаниях теории множеств (рус.) = P. J. Cohen, Comments on the foundations of set theory, Proc. Sym. Pure Math. 13:1 (1971), 9–15. // Успехи математических наук / Ю. И. Манин (перевод). — М., 1974. — Т. XXIX, вып. 5 (179). — С. 169—176. — ISSN 0042-1316.
• К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
• Ф. А. Медведев. Развитие теории множеств в XIX веке. — М.: Наука, 1965. — 232 с. — 2500 экз.
• А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств / Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина. — М.: Мир, 1966. — 556 с.