Метризуемое пространство

Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.

Если такая метрика существует, то она не единственна — за исключением тривиальных случаев: когда пространство пусто или состоит лишь из одной точки. Например, топология каждого метризуемого пространства порождается некоторой ограниченной метрикой.

Необходимые условия метризуемости

• В метризуемом пространстве выполняются сильные аксиомы отделимости: они нормальны и даже коллективно нормальны.
• Каждое метризуемое пространство паракомпактно.
• Все метризуемые пространства удовлетворяют первой аксиоме счётности.
• Для любого метризуемого пространства совпадают число Суслина, число Линделёфа, плотность, спред, экстент, вес.

Достаточное условие метризуемости

Каждое нормальное пространство (и даже каждое регулярное пространство) со счётной базой метризуемо. (П. С. Урысон и А. Н. Тихонов)

Эквивалентные условия метризуемости

Первый общий критерий метризуемости пространства был предложен в 1923 П. С. Александровым и П. С. Урысоном. На его основе были выработаны два следующих более совершенных критерия метризуемости:

• пространство метризуемо в том и только в том случае, когда оно коллективно нормально и обладает счётным измельчающимся множеством открытых покрытий;
• (критерий Стоуна — Архангельского) Пространство метризуемо, в том и только в том случае, когда оно обладает счётным фундаментальным множеством открытых покрытий и удовлетворяет ${\displaystyle T_{1}}$-аксиоме отделимости. При этом множество открытых покрытий пространства ${\displaystyle X}$ называется фундаментальным, если для каждой точки ${\displaystyle x\in X}$, каждой её окрестности ${\displaystyle U_{x}}$ найдутся покрытие ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ и окрестность ${\displaystyle O_{x}}$ точки ${\displaystyle x}$ такие, что каждый элемент покрытия ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, пересекающийся с ${\displaystyle O_{x}}$, содержится в ${\displaystyle U_{x}}$.

На другой важной концепции — локальной конечности — основаны общие метризационные критерии.

• Критерий Нагаты — Смирнова: пространство ${\displaystyle X}$ метризуемо в том и только в том случае, если оно регулярно и обладает базой, распадающейся на счетное множество локально конечных семейств множеств.

Критерий Бинга аналогичен, но в нём вместо локально конечных фигурируют дискретные семейства множеств. Удобные варианты приведенных выше основных критериев метризуемости связаны с понятиями равномерной базы и регулярной базы. База ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ пространства ${\displaystyle X}$ называется регулярной (равномерной), если для всякой точки ${\displaystyle x\in X}$ и любой её окрестности ${\displaystyle O_{x}}$ найдется окрестность ${\displaystyle U_{x}}$ этой точки такая, что число элементов базы ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, пересекающих одновременно ${\displaystyle U_{x}}$ и дополнение к ${\displaystyle O_{x}}$, конечно (соответственно, если множество элементов ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$ таких что ${\displaystyle \Omega \ni x}$, ${\displaystyle \Omega \not \subset O_{x}}$ конечно).

• Пространство ${\displaystyle X}$ метризуемо тогда и только тогда, когда оно коллективно нормально и обладает равномерной базой.
• Для метризуемости ${\displaystyle T_{1}}$-пространства необходимо и достаточно, чтобы оно обладало регулярной базой.

По теореме Ковальского, счётная степень ежа колючести ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ (при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}}$) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Таким образом, пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно подпространству счётной степени ежа некоторой колючести ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$.^[1]

Частные случаи

Метризационные критерии достигают простоты в ряде специальных классов пространств. Так, для метризуемости компакта ${\displaystyle X}$ любое из следующих трёх условий необходимо и достаточно:

• ${\displaystyle X}$ обладает счётной базой;
• ${\displaystyle X}$обладает точечно-счётной базой;
• в ${\displaystyle X}$ есть счётная сеть;

Для метризуемости пространства топологической группы необходимо и достаточно, чтобы в последнем выполнялась первая аксиома счётности и аксиома отделимости ${\displaystyle T_{0}}$, причем тогда пространство метризуемо инвариантной метрикой (например, по отношению к умножению слева).

О полноте

Не всякое метризуемое пространство метризуемо полной метрикой; таково, например, пространство рациональных чисел. Пространство метризуемо полной метрикой в том и только в том случае, если оно метризуемо и полно по Чеху, то есть является множеством типа G_δ в некотором содержащем его компакте. Важным топологическим свойством пространств, метризуемых полной метрикой, является свойство Бэра: пересечение любого счетного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно.

Вариации и обобщения

К метризуемым пространствам наиболее близки по свойствам моровские пространства — вполне регулярные пространства, обладающие счетным измельчающимся семейством открытых покрытий, и кружевные пространства.

Пространство называется локально метризуемым, если каждая его точка имеет метризуемую окрестность.

Широкий спектр обобщений концепции метризуемого пространства получается, если варьировать аксиомы метрики, ослабляя их в том или ином отношении и рассматривая порожденные такими «метриками» топологии. На этом пути получаются симметризуемые пространства — путём отказа от аксиомы неравенства треугольника. В эту схему укладываются и моровские пространства. Другое важное обобщение концепции метризуемости связано с рассмотрением «метрик» со значениями в полуполях и других алгебраических образованиях общей природы.

Примечания

1. Swardson, M. A. A short proof of Kowalsky's hedgehog theorem  (неопр.). американское математическое общество (1 июня 1979). Дата обращения: 12 июля 2014. Архивировано 14 июля 2014 года.

Литература

• Александров, Павел Сергеевич, Борис Алексеевич Пасынков. Введение в теорию размерности: введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — Наукa, Главная редакция физико-математической литературы, 1973.