Локально конечное семейство подмножеств

В общей топологии локальная конечность является свойством семейства подмножеств топологического пространства. Это понятие является естественным обобщением понятия конечного семейства и играет ключевую роль при изучении паракомпактности и топологической размерности.

Заметим, что термин локальная конечность в других областях математики имеет отличные значения.

Определение

Семейство ${\displaystyle S=\{A_{i};i\in I\}}$ подмножеств топологического пространства ${\displaystyle X}$ называется локально конечным, если всякая точка ${\displaystyle x\in X}$ обладает окрестностью ${\displaystyle U}$, пересекающейся с не более чем конечным числом элементов из этого семейства, то есть ${\displaystyle U\cap A_{i}=\emptyset }$ для всех ${\displaystyle i\in I}$, кроме, быть может, конечного числа индексов. Если же любая точка ${\displaystyle x\in X}$ обладает окрестностью ${\displaystyle U}$, пересекающейся не более чем с одним из элементов этого семейства, то семейство называется дискретным.

Очевидно, что конечное семейство является локально конечным, тогда как локально конечное семейство может иметь любую мощность.

Например, рассмотрим бесконечное семейство интервалов ${\displaystyle (n,n+2)}$ на действительной прямой R (здесь ${\displaystyle n}$ — произвольное целое число). Каждая точка ${\displaystyle x\in }$ R имеет окрестность, которая пересекается не более чем с двумя интервалами семейства, то есть семейство является локально конечным.

В общем случае, счётное семейство не обязано быть локально конечным: достаточно рассмотреть семейство интервалов ${\displaystyle (-n,n)}$ на действительной прямой.

Свойства

• Для локально конечного семейства ${\displaystyle \{A_{i};i\in I\}}$ справедливо равенство: ${\displaystyle {\overline {\cup _{i\in I}A_{i}}}=\cup _{i\in I}{\overline {A_{i}}}}$

Как известно, это свойство выполняется для конечного семейства подмножеств, но в общем случае это не так. Можно только утверждать, что ${\displaystyle \cup _{i\in I}{\overline {A_{i}}}\subseteq {\overline {\cup _{i\in I}A_{i}}}}$. Как следствие первого свойства:

• Объединение локально конечного семейства замкнутых множеств замкнуто.

• Бесконечное семейство подмножеств компактного пространства не может быть локально конечным.

См. также

• Паракомпактное пространство
• Размерность Лебега

Литература

• Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979