Парадокс Бурали-Форти

Парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория множеств, в которой построение такого множества возможно.

Формулировка

В математической литературе встречаются различные формулировки, опирающиеся на разную терминологию и предполагаемый набор известных теорем. Вот одна из возможных формулировок.

Можно доказать, что если ${\displaystyle x}$ — произвольное множество порядковых чисел, то множество-сумма ${\displaystyle \textstyle \bigcup x}$ есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов ${\displaystyle x}$. Предположим теперь, что ${\displaystyle \Omega }$ — множество всех порядковых чисел. Тогда ${\displaystyle \textstyle \bigcup \Omega }$ — порядковое число, большее или равное любому из чисел в ${\displaystyle \Omega }$. Но тогда и ${\displaystyle \textstyle \bigcup \Omega \cup \{\bigcup \Omega \}=\bigcup \Omega +1}$ — порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в ${\displaystyle \Omega }$. Но это противоречит условию, по которому ${\displaystyle \Omega }$ — множество всех порядковых чисел.

История

Парадокс был обнаружен Чезаре Бурали-Форти^[англ.] в 1897 году и оказался одним из первых парадоксов, показавших, что наивная теория множеств противоречива, а следовательно, непригодна для нужд математики. Несуществование множества всех порядковых чисел противоречит концепции наивной теории множеств, разрешающей построение множеств с произвольным свойством элементов, то есть термов вида «множество всех ${\displaystyle x}$ таких, что ${\displaystyle P}$» (${\displaystyle \{x\mid P\}}$).

Современная аксиоматическая теория множеств накладывает строгие ограничения на вид условия ${\displaystyle P}$, с помощью которого можно образовывать множества. В аксиоматических системах типа Гёделя — Бернайса позволяется образование терма ${\displaystyle \{x\mid P\}}$ для произвольных ${\displaystyle P}$, но с оговоркой, что он может оказаться не множеством, а классом.

См. также

• Парадокс Рассела
• Парадокс Кантора
• Парадокс Мириманова

Литература

• Er, Justin M. An Historical Account Of Set-Theoretic Antinomies Caused By The Axiom Of Abstraction.