Диаграмма Венна

Не следует путать с диаграммой Эйлера.

Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество ${\displaystyle U}$ изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества^[1][2].

Диаграмма Венна, показывающая все пересечения греческого, русского и латинского алфавитов (буквы заглавные)

Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выражаемых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатов^[3], для:

• описания функционирования формальных нейронов Мак-Каллока и сетей из них^[4];
• синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементов^[5];
• построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройств^[6];
• получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчислений^[7][8].

Диаграммы Венна при помощи ${\displaystyle n}$ фигур изображают все ${\displaystyle 2^{n}}$ комбинаций ${\displaystyle n}$ свойств, то есть конечную булеву алгебру^[9]. При ${\displaystyle n=3}$ диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат вероятностных диаграмм ^[10], понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторы^[11].

Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1834—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

Связь диаграмм Эйлера и Венна

Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами

22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу)

Диаграммы Эйлера в отличие от диаграмм Венна изображают отношения между множествами: непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами.

Диаграммы Венна основаны на существенно иной идее, чем круги Эйлера^[12]. Круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики^[12].

На рис. ниже даны диаграммы Эйлера и Венна для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

• ${\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}$
• ${\displaystyle B=\{1,\,6\}}$
• ${\displaystyle C=\{4,\,7\}}$

• 
  диаграмма Эйлера
• 
  диаграмма Венна

Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают. На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу). Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

См. также

• Диаграмма Эйлера
• Карта Карно