Круг

У этого термина существуют и другие значения, см. Круг (значения).

Круг — часть плоскости, которая лежит внутри окружности^[1]. Другими словами, это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа ${\displaystyle R.}$ Число ${\displaystyle R}$ называется радиусом этого круга^[2]. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку.

Круг, граничная окружность и радиус

Сектор и сегмент круга и дуга окружности

Границей круга по определению является окружность. Открытый круг (внутренность круга) получится, если потребовать строгое неравенство: расстояние от точек до центра ${\displaystyle <R.}$ При нестрогом (${\displaystyle \leqslant R}$) неравенстве получается определение замкнутого круга, который содержит и точки граничной окружности.

Связанные определения

• Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с его границей.
• Диаметр — отрезок, соединяющий две точки границы круга и содержащий его центр.
• Сектор — пересечение круга и некоторого его центрального угла, то есть часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
• Сегмент — часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой.
• Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Эти и другие элементы круга, а также соотношения между ними описаны в статье Окружность^[1].

Свойства

• При вращении плоскости относительно центра круг переходит сам в себя.
• Круг является выпуклой фигурой.
• Площадь круга радиуса ${\displaystyle R}$ вычисляется по формуле: ${\displaystyle S=\pi R^{2}}$, где ${\displaystyle \pi }$ ≈ 3,14159….
• Площадь сектора равна ${\displaystyle S={\frac {\alpha R^{2}}{2}}}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — угловая величина дуги в радианах, ${\displaystyle R}$ — радиус.
• Периметр круга (длина граничной окружности): ${\displaystyle L=2\pi R}$.
• (Изопериметрическое неравенство) Круг является фигурой, имеющей наибольшую площадь при заданном периметре. Или, что то же самое, обладающей наименьшим периметром при заданной площади.

История

История исследования свойств круга и окружности, а также применение этих свойств в человеческой практике уходит в глубокую древность; особенную важность придало этой теме изобретение колеса. Ещё в древности было открыто, что отношение длины окружности к её диаметру (число π) одно и то же для всех окружностей.

Исторически важной темой многовековых исследований было уточнение этого отношения, а также попытки решить проблему «квадратуры круга». В дальнейшем развитие исследований привело к созданию тригонометрии, теории колебаний и многих других практически важных разделов науки и техники.

Обобщения

Понятие круга является одним из универсальных математических понятий, дословно обобщаемым на случай произвольных метрических пространств. В отличие от случая евклидовых пространств, при иных метриках они могут быть весьма причудливо устроены — в частности, в случае дискретной метрики можно построить пример, когда открытый круг с заданным радиусом совпадает с замкнутым кругом. Однако некоторые свойства круга в других метриках всё же сохраняются: выпуклость и наличие центральной симметрии.

Например, если в качестве метрики взять так называемую «городскую метрику», то есть ${\displaystyle \rho ((x_{1},y_{1});(x_{2},y_{2}))=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|}$, то единичным кругом с центром с нулевыми координатами будет квадрат с вершинами ${\displaystyle (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)}$.

Примеры обобщений:

• шар,
• поликруг.