Неравенство

О неравенствах в социально-экономическом смысле см. Социальное неравенство.

Символы со сходным начертанием: 〈 · ‹ · ˂ · く · 〱 · ᚲ · 𐌭 · ◌𖿱

Символы со сходным начертанием: 〉 · › · ˃ · ‏ح‍‏‎ · ‏ܓ‏‎ · ‏ܥ‏‎

Нера́венство в математике — бинарное отношение, связывающее два числа (или два иных математических объекта) с помощью одного из перечисленных ниже знаков^[1].

Область допустимых решений («feasible region») в задачах линейного программирования

Строгие неравенства

• ${\displaystyle a<b}$ — означает, что ${\displaystyle a}$ меньше, чем ${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle a>b}$ — означает, что ${\displaystyle a}$ больше, чем ${\displaystyle b.}$

Неравенства ${\displaystyle a>b}$ и ${\displaystyle b<a}$ равносильны. Говорят, что знаки ${\displaystyle >}$ и ${\displaystyle <}$ противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что ${\displaystyle <}$ заменено на ${\displaystyle >}$ или наоборот.

Нестрогие неравенства

• ${\displaystyle a\leqslant b}$ — означает, что ${\displaystyle a}$ меньше или равно ${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle a\geqslant b}$ — означает, что ${\displaystyle a}$ больше или равно ${\displaystyle b.}$

Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽ и ⩾ соответствует международному стандарту ISO 80000-2. За рубежом иногда используются знаки ≤ и ≥ или ≦ и ≧. Про знаки ${\displaystyle \geqslant }$ и ${\displaystyle \leqslant }$ также говорят, что они противоположны.

Другие типы неравенств

• ${\displaystyle a\neq b}$ — означает, что ${\displaystyle a}$ не равно ${\displaystyle b}$.
• ${\displaystyle a\gg b}$ — означает, что величина ${\displaystyle a}$ намного больше, чем ${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle a\ll b}$ — означает, что величина ${\displaystyle a}$ намного меньше, чем ${\displaystyle b.}$

Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.

В элементарной математике изучают числовые неравенства (рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные). В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.

Связанные определения

Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).

Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:

${\displaystyle a<b<c}$ — это краткая запись пары неравенств: ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle b<c.}$

Числовые неравенства

Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных ${\displaystyle (x,y,\dots ).}$ Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство ${\displaystyle 18x<414}$ — алгебраическое первой степени, неравенство ${\displaystyle 2x^{3}-7x+6>0}$ — алгебраическое третьей степени, неравенство ${\displaystyle 2^{x}>x+4}$ — трансцендентное^[2].

Свойства

Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений^[1]:

• К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
• От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из ${\displaystyle a+b<c}$ следует, что ${\displaystyle a<c-b.}$
• Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
• Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle c<d,}$ то ${\displaystyle a+c<b+d.}$ Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
• Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
• Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).

Другие свойства:

• Транзитивность: если ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle b<c,}$ то ${\displaystyle a<c}$ и аналогично для прочих знаков.
• Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.

Решение неравенств

Пусть даны функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)}$. Если требуется найти все числа ${\displaystyle \alpha }$ из области, являющейся пересечением областей существования этих функций, для каждого из которых выполняется неравенство ${\displaystyle f\left(\alpha \right)>g\left(\alpha \right)}$, то говорят, что требуется решить неравенство

${\displaystyle f\left(x\right)>g\left(x\right).}$

Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:

${\displaystyle x^{2}<4}$ выполняется при ${\displaystyle -2<x<2.}$

${\displaystyle x^{2}>4}$ выполняется, если ${\displaystyle x>2}$ или ${\displaystyle x<-2.}$

${\displaystyle x^{2}<-4}$ не выполняется никогда (решений нет).

${\displaystyle x^{2}>-4}$ выполняется при всех ${\displaystyle x}$ (тождество).

Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство ${\displaystyle x>3}$ возвести в квадрат: ${\displaystyle x^{2}>9,}$ то появится ошибочное решение ${\displaystyle x<-3,}$ не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.

Неравенства первой степени

Неравенство первой степени имеет общий формат: ${\displaystyle ax>b}$ или ${\displaystyle ax<b,}$ где ${\displaystyle a\neq 0}$ (работа со знаками ${\displaystyle \geqslant }$ и ${\displaystyle \leqslant }$ аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на ${\displaystyle a}$ и, если ${\displaystyle a<0,}$ измените знак неравенства на противоположный^[3]. Пример:

${\displaystyle 5x-11>8x+1.}$ Приведём подобные члены: ${\displaystyle -3x>12,}$ или ${\displaystyle x<-4.}$

Системы неравенств первой степени

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1. Из системы ${\displaystyle {\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases}}}$ получаем два решения: для первого неравенства ${\displaystyle x<2,}$ для второго: ${\displaystyle x>{2 \over 3}.}$ Соединяя их, получаем ответ: ${\displaystyle {2 \over 3}<x<2.}$

Пример 2. ${\displaystyle {\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}}$ Решения: ${\displaystyle x<2}$ и ${\displaystyle x<{2 \over 3}.}$ Второе решение поглощает первое, так что ответ: ${\displaystyle x<{2 \over 3}.}$

Пример 3. ${\displaystyle {\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}}$ Решения: ${\displaystyle x>2}$ и ${\displaystyle x<{2 \over 3},}$ они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

Неравенства второй степени

Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):

${\displaystyle x^{2}+px+q>0}$ или ${\displaystyle x^{2}+px+q<0.}$

Если квадратное уравнение ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ имеет вещественные корни ${\displaystyle x_{1},x_{2},}$ то неравенство можно привести к виду соответственно:

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})>0}$ или ${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})<0.}$

В первом случае ${\displaystyle x-x_{1}}$ и ${\displaystyle x-x_{2}}$ должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило^[4].

Квадратный трёхчлен ${\displaystyle x^{2}+px+q}$ с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала.

Если оказалось, что у уравнения ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех ${\displaystyle x.}$ Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры^[5]).

Пример 1. ${\displaystyle -2x^{2}+14x-20>0.}$ Разделив на ${\displaystyle -2,}$ приведём неравенство к виду: ${\displaystyle x^{2}-7x+10<0.}$ Решив квадратное уравнение ${\displaystyle x^{2}-7x+10=0,}$ получаем корни ${\displaystyle x_{1}=2;x_{2}=5,}$ поэтому исходное неравенство равносильно такому: ${\displaystyle (x-2)(x-5)<0.}$ Согласно приведенному выше правилу, ${\displaystyle 2<x<5,}$ что и является ответом.

Пример 2. ${\displaystyle -2x^{2}+14x-20<0.}$ Аналогично получаем, что ${\displaystyle x-2}$ и ${\displaystyle x-5}$ имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, ${\displaystyle x<2,}$ или ${\displaystyle x>5.}$

Пример 3. ${\displaystyle x^{2}+6x+15>0.}$ Уравнение ${\displaystyle x^{2}+6x+15=0}$ не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех ${\displaystyle x.}$ При ${\displaystyle x=0}$ левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех ${\displaystyle x}$).

Пример 4. ${\displaystyle x^{2}+6x+15<0.}$ Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ — построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах^[6].

Прочие неравенства

Существуют также дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические и тригонометрические неравенства.

Некоторые известные неравенства

Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы^[7].

• ${\displaystyle a+{1 \over a}\geqslant 2,}$ где ${\displaystyle a>0.}$ Равенство имеет место только при ${\displaystyle a=1.}$
• ${\displaystyle {\sqrt {ab}}\leqslant {a+b \over 2},}$ где ${\displaystyle a,b>0.}$ Смысл: среднее геометрическое двух чисел не превосходит их среднее арифметическое. Равенство имеет место только при ${\displaystyle a=b.}$
• Неравенство о средних
• Неравенство Бернулли:

${\displaystyle (1+x)^{n}\geqslant 1+nx,}$ где ${\displaystyle x>-1,n}$ — положительное число, большее 1

• Неравенство Коши — Буняковского.
• Неравенство Йенсена
• Неравенство треугольника:

${\displaystyle |a+b|\leqslant |a|+|b|}$

См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.

Знаки неравенства в языках программирования

Символ «не равно» в разных языках программирования записывается по-разному.

Символ	Языки
!=	C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Wolfram Language
<>	Basic, Pascal, 1С
≈	Lua
/=	Haskell, Fortran, Ada
#	Modula-2, Oberon

Коды знаков неравенств

Символ	Изображение	Юникод		Русское название	HTML			LaTeX
		Код	Название		Шестнадцатеричное	Десятичное	Мнемоника
<	${\displaystyle <}$	U+003C	Less-than sign	Меньше	&#x3C;	&#60;	&lt;	<, \textless
>	${\displaystyle >}$	U+003E	Greater-than sign	Больше	&#x3E;	&#62;	&gt;	>, \textgreater
⩽	${\displaystyle \leqslant }$	U+2A7D	Less-than or slanted equal to	Меньше или равно	&#x2A7D;	&#10877;	нет	\leqslant
⩾	${\displaystyle \geqslant }$	U+2A7E	Greater-than or slanted equal to	Больше или равно	&#x2A7E;	&#10878;	нет	\geqslant
≤	${\displaystyle \leq }$	U+2264	Less-than or equal to	Меньше или равно	&#x2264;	&#8804;	&le;	\le, \leq
≥	${\displaystyle \geq }$	U+2265	Greater-than or equal to	Больше или равно	&#x2265;	&#8805;	&ge;	\ge, \geq
≪	${\displaystyle \ll }$	U+226A	Much less-than	Много меньше	&#x226A;	&#8810;	нет	\ll
≫	${\displaystyle \gg }$	U+226B	Much greater-than	Много больше	&#x226B;	&#8811;	нет	\gg

См. также

• Сравнение (программирование)

Примечания

1. Неравенства // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 999. Архивировано 16 октября 2013 года.
2. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 177.
3. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 178.
4. Элементарная математика, 1976, с. 217—222.
5. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 180—181.
6. Элементарная математика, 1976, с. 212—213, 219—222.
7. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 174—176.

Литература

• Беккенбах Э. Ф. Неравенства. — М.: Мир, 1965.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Харди Г. Г., Литлвуд Д. И., Полиа Д. Неравенства. — М.: Иностранная литература, 1948.