Биномиальное распределение

Биномиа́льное распределе́ние с параметрами ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle p}$ в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из ${\displaystyle n}$ независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна ${\displaystyle p}$.

Биномиальное распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle B(n,p)}$
Параметры	${\displaystyle n\geqslant 0}$ — число «испытаний» ${\displaystyle 0\leqslant p\leqslant 1}$ — вероятность «успеха»
Носитель	${\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}}$
Функция вероятности	${\displaystyle {\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{n-k}}$
Функция распределения	${\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )}$
Математическое ожидание	${\displaystyle np}$
Медиана	одно из ${\displaystyle \{\lfloor np\rfloor -1,\lfloor np\rfloor ,\lfloor np\rfloor +1\}}$
Мода	${\displaystyle \lfloor (n+1)\,p\rfloor }$
Дисперсия	${\displaystyle npq}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle {\frac {1-6pq}{npq}}}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n}}\right)}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle (q+pe^{t})^{n}}$
Характеристическая функция	${\displaystyle (q+pe^{it})^{n}}$

Определение

Пусть ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром ${\displaystyle p}$, то есть при каждом ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ величина ${\displaystyle X_{i}}$ принимает значения ${\displaystyle 1}$ («успех») и ${\displaystyle 0}$ («неудача») с вероятностями ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q=1-p}$ соответственно. Тогда случайная величина

${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}$

имеет биномиальное распределение с параметрами ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle p}$. Это записывается в виде:

${\displaystyle Y\sim \mathrm {Bin} (n,p)}$.

Случайную величину ${\displaystyle Y}$ обычно интерпретируют как число успехов в серии из ${\displaystyle n}$ одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха ${\displaystyle p}$ в каждом испытании.

Функция вероятности задаётся формулой:

${\displaystyle p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{n-k},\ \ k=0,\ldots ,n,}$

где

${\displaystyle {\binom {n}{k}}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}}$ — биномиальный коэффициент.

Функция распределения

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

${\displaystyle F_{Y}(y)\equiv \mathbb {P} (Y<y)=\sum \limits _{k=0}^{\lceil y\rceil }{\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{n-k},\;y\in \mathbb {R} }$,

где ${\displaystyle \lfloor y\rfloor }$ обозначает наибольшее целое, меньшее числа ${\displaystyle y}$, или в виде неполной бета-функции:

${\displaystyle F_{Y}(y)\equiv \mathbb {P} (Y<y)=I_{1-p}(n-\lceil y\rceil ,\lceil y\rceil +1)}$.

Моменты

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

${\displaystyle M_{Y}(t)=\left(pe^{t}+q\right)^{n}}$,

откуда

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=np}$,

${\displaystyle \mathbb {E} \left[Y^{2}\right]=np(q+np)}$,

а дисперсия случайной величины.

${\displaystyle \mathbb {D} [Y]=npq}$.

Пример биноминального распределения

Свойства биномиального распределения

• Пусть ${\displaystyle Y_{1}\sim \mathrm {Bin} (n,p)}$ и ${\displaystyle Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n,1-p)}$. Тогда ${\displaystyle p_{Y_{1}}(k)=p_{Y_{2}}(n-k)}$.
• Пусть ${\displaystyle Y_{1}\sim \mathrm {Bin} (n_{1},p)}$ и ${\displaystyle Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n_{2},p)}$. Тогда ${\displaystyle Y_{1}+Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n_{1}+n_{2},p)}$.

Связь с другими распределениями

• Если ${\displaystyle n=1}$, то получаем распределение Бернулли.
• Если ${\displaystyle n}$ большое, то в силу центральной предельной теоремы ${\displaystyle \mathrm {Bin} (n,p)\approx N(np,npq)}$, где ${\displaystyle N(np,npq)}$ — нормальное распределение с математическим ожиданием ${\displaystyle np}$ и дисперсией ${\displaystyle npq}$.
• Если ${\displaystyle n}$ большое, а ${\displaystyle \lambda }$ — фиксированное число, то ${\displaystyle \mathrm {Bin} (n,\lambda /n)\approx \mathrm {P} (\lambda )}$, где ${\displaystyle \mathrm {P} (\lambda )}$ — распределение Пуассона с параметром ${\displaystyle \lambda }$.
• Если случайные величины ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ имеют биномиальные распределения ${\displaystyle \mathrm {Bin} (D,p)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Bin} (N-D,p)}$ соответственно, то условное распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ при условии ${\displaystyle X+Y=n}$ – гипергеометрическое ${\displaystyle \mathrm {HG} (D,N,n)}$.

См. также

• Треугольник Паскаля
• Локальная теорема Муавра — Лапласа