Условное распределение

Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.

Определения

Будем предполагать, что задано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$.

Дискретные случайные величины

Пусть ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ и ${\displaystyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ — случайные величины, такие, что случайный вектор ${\displaystyle (X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}}$ имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности ${\displaystyle p_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}}$. Пусть ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ такой, что ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=y_{0})>0}$. Тогда функция

${\displaystyle p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y_{0})={p_{X,Y}(x,y_{0}) \over p_{Y}(y_{0})},\;x\in \mathbb {R} ^{m}}$,

где ${\displaystyle p_{Y}}$ — функция вероятности случайной величины ${\displaystyle Y}$, называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины ${\displaystyle X}$ при условии, что ${\displaystyle Y=y_{0}}$. Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.

Абсолютно непрерывные случайные величины

Пусть ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ и ${\displaystyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ — случайные величины, такие что случайный вектор ${\displaystyle (X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}}$ имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}}$. Пусть ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ таково, что ${\displaystyle f_{Y}(y_{0})>0}$, где ${\displaystyle f_{Y}}$ — плотность случайной величины ${\displaystyle Y}$. Тогда функция

${\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}}$

называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины ${\displaystyle X}$ при условии, что ${\displaystyle Y=y_{0}}$. Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.

Свойства условных распределений

• Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,

• ${\displaystyle p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0,\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m},\,y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$,
• ${\displaystyle \sum \limits _{x}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$,

и

• ${\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0}$ почти всюду на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}}$,
• ${\displaystyle \int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$,

• Справедливы формулы полной вероятности:

• ${\displaystyle p_{X}(x)=\sum \limits _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)}$,
• ${\displaystyle f_{X}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_{Y}(y)\,dy}$.

• Если случайные величины ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ независимы, то условное распределение равно безусловному:

${\displaystyle p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=p_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m}}$

или

${\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=f_{X}(x)}$ почти всюду на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Условные вероятности

Дискретные случайные величины

Если ${\displaystyle A}$ — счётное подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, то

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\sum \limits _{x\in A}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})}$.

Абсолютно непрерывные случайные величины

Если ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m})}$ — борелевское подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, то полагаем по определению

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\int \limits _{A}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx}$.

Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=y_{0})=0}$.

Условные математические ожидания

Дискретные случайные величины

• Условное математическое ожидание случайной величины ${\displaystyle X}$ при условии ${\displaystyle Y=y_{0}}$ получается суммированием относительно условного распределения:

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\sum \limits _{x}x\,p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})}$.

• Условное математическое ожидание ${\displaystyle X}$ при условии случайной величины ${\displaystyle Y}$ — это третья случайная величина ${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y]}$, задаваемая равенством

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega }$.

Абсолютно непрерывные случайные величины

• Условное математическое ожидание случайной величины ${\displaystyle X}$ при условии ${\displaystyle Y=y_{0}}$ получается интегрированием относительно условного распределения:

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx}$.

• Условное математическое ожидание ${\displaystyle X}$ при условии случайной величины ${\displaystyle Y}$ — это третья случайная величина ${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y]}$, задаваемая равенством

${\displaystyle \mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega }$.

См. также

• Условное матожидание