Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, и полная группа попарно несовместных событий ${\displaystyle \{B_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {F}}}$, таких что

1. ${\displaystyle \forall i\;\mathbb {P} \;(B_{i})>0;}$
2. ${\displaystyle \forall {j\neq i}\;B_{i}\cap B_{j}=\varnothing$ ;}
3. ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}B_{i}=\Omega .}$

Пусть ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ — интересующее нас событие. Тогда получим:

${\displaystyle \mathbb {P} (A)=\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A\mid B_{i})\mathbb {P} (B_{i})}$.

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть ${\displaystyle N}$ — случайная величина, имеющая распределение

${\displaystyle \mathbb {P} (N=n)=\mathbb {P} (B_{n})}$.

Тогда

${\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {E} \left[\mathbb {P} (A\mid N)\right]}$,

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

См. также

• Условная вероятность
• Условное математическое ожидание
• Теорема Байеса