Дисперсия случайной величины

У этого термина существуют и другие значения, см. Дисперсия.

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается ${\displaystyle D[X]}$ в русской литературе и ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$ (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ или ${\displaystyle \displaystyle \sigma ^{2}}$.

Квадратный корень из дисперсии, равный ${\displaystyle \displaystyle \sigma }$, называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на ${\displaystyle k}$ стандартных отклонений, составляет менее ${\displaystyle 1/k^{2}}$. В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей нормальное распределение, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Пусть ${\displaystyle X}$ — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

${\displaystyle D[X]=\mathbb {E} \left[{\big (}X-\mathbb {E} [X]{\big )}^{2}\right],}$

где символ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ обозначает математическое ожидание^[1][2].

Замечания

• Если случайная величина ${\displaystyle X}$ дискретная, то

  ${\displaystyle D[X]=\sum _{i=1}^{n}{p_{i}(x_{i}-\mathbb {E} [X])^{2}},}$

  ${\displaystyle D[X]={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{p_{i}p_{j}(x_{i}-x_{j})^{2}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}{p_{i}p_{j}(x_{i}-x_{j})^{2}},}$

где ${\displaystyle x_{i}}$ — ${\displaystyle i}$-ое значение случайной величины, ${\displaystyle p_{i}=P(X=x_{i})}$ — вероятность того, что случайная величина принимает значение ${\displaystyle x_{i}}$, ${\displaystyle n}$ — количество значений, которые принимает случайная величина.

Доказательство 2-й формулы

Пусть ${\displaystyle Y}$ - случайная величина, независимая от ${\displaystyle X}$, но с тем же самым распределением. Тогда ${\displaystyle P(Y=x_{i})=p_{i}}$, ${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [X]}$, ${\displaystyle D[Y]=D[X]}$ и

${\displaystyle D[X-Y]=D[X]+D[Y]=2D[X]}$

${\displaystyle D[X-Y]=\mathbb {E} [(X-Y)^{2}]-\mathbb {E} [X-Y]^{2}=\mathbb {E} [(X-Y)^{2}]=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p_{i}p_{j}(x_{i}-x_{j})^{2}}$

Сопоставляя две эти формулы, получаем нужное равенство.

• Если случайная величина ${\displaystyle X}$ непрерывна, то:

  ${\displaystyle D[X]=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{(x-\mathbb {E} [X])^{2}f(x)dx}}$

  ${\displaystyle D[X]={\frac {1}{2}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }(x_{2}-x_{1})^{2}{f(x_{1})f(x_{2})dx_{1}dx_{2}}}$,

где ${\displaystyle f(x)}$ — плотность вероятности случайной величины.

• В силу линейности математического ожидания справедлива формула:

  ${\displaystyle D[X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\left(\mathbb {E} [X]\right)^{2}}$

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины.
• Дисперсия может быть бесконечной.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов ${\displaystyle U(t)}$:

  ${\displaystyle D[X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\left(\mathbb {E} [X]\right)^{2}=U''(0)-\left(U'(0)\right)^{2}.}$

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
• Формула для вычисления смещённой оценки дисперсии случайной величины ${\displaystyle X}$ по последовательности реализаций этой случайной величины: ${\displaystyle X_{1}...X_{n}}$ имеет вид:

  ${\displaystyle {\overline {S}}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}$, где ${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$ — выборочное среднее (несмещённая оценка ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$).

Для получения несмещённой оценки дисперсии случайной величины значение ${\displaystyle {\overline {S}}^{2}}$ необходимо умножить на ${\displaystyle {\frac {n}{n-1}}}$.

Несмещённая оценка имеет вид:

${\displaystyle {\widetilde {S}}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}$

Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: ${\displaystyle D[X]\geqslant 0;}$
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: ${\displaystyle D[a]=0.}$ Верно и обратное: если ${\displaystyle D[X]=0,}$ то ${\displaystyle X=\mathbb {E} [X]}$ почти всюду.
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  ${\displaystyle D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2\,{\text{cov}}(X,Y)}$, где ${\displaystyle {\text{cov}}(X,Y)}$ — их ковариация.

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

  ${\displaystyle D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}D[X_{i}]+2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}c_{i}c_{j}\,{\text{cov}}(X_{i},X_{j})}$, где ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} }$.

• В частности, ${\displaystyle D[X_{1}+\ldots +X_{n}]=D[X_{1}]+\ldots +D[X_{n}]}$ для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю.
• ${\displaystyle D\left[aX\right]=a^{2}D[X]}$
• ${\displaystyle D\left[-X\right]=D[X]}$
• ${\displaystyle D\left[X+b\right]=D[X]}$
• Если ${\displaystyle X=X(\omega ,\tau )}$ — случайная величина от пары элементарных событий (случайная величина на декартовом произведении вероятностных пространств), то

  ${\displaystyle D_{(\omega ,\tau )}[X]=\mathbb {E} _{\omega }[D_{\tau }[X]]+D_{\omega }[\mathbb {E} _{\tau }[X]]}$

Условная дисперсия

Наряду с условным математическим ожиданием ${\displaystyle \mathbb {E} [X|Y]}$ в теории случайных процессов используется условная дисперсия случайных величин ${\displaystyle D[X|Y]}$.

Условной дисперсией случайной величины ${\displaystyle X}$ относительно случайной величины ${\displaystyle Y}$ называется случайная величина:

${\displaystyle D[X|Y]=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X|Y])^{2}|Y]=\mathbb {E} [X^{2}|Y]-\mathbb {E} [X|Y]^{2}}$.

Её свойства:

• условная дисперсия относительно случайной величины ${\displaystyle Y}$ является Y-измеримой случайной величиной (то есть измерима относительно сигма-алгебры, порождённой случайной величиной ${\displaystyle Y}$);
• условная дисперсия неотрицательна: ${\displaystyle D[X|Y]\geqslant 0}$;
• условная дисперсия ${\displaystyle D[X|Y]}$ равна нулю тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X=\mathbb {E} [X|Y]}$ почти наверное, то есть тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ совпадает почти наверное с некоторой Y-измеримой величиной (а именно, с ${\displaystyle \mathbb {E} [X|Y]}$);
• обычная дисперсия также может быть представлена как условная: ${\displaystyle D[X]=D[X|1]}$;
• если величины ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ независимы, случайная величина ${\displaystyle D[X|Y]}$ является константой, равной ${\displaystyle D[X]}$;
• если ${\displaystyle X,Y}$ — две числовые случайные величины, то

  ${\displaystyle D[X]=\mathbb {E} [D[X|Y]]+D[\mathbb {E} [X|Y]],}$

откуда, в частности, следует, что дисперсия условного математического ожидания ${\displaystyle \mathbb {E} [X|Y]}$ всегда меньше или равна дисперсии исходной случайной величины ${\displaystyle X}$.

Пример

Пусть случайная величина ${\displaystyle \displaystyle X}$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на ${\displaystyle \displaystyle [0,1]}$, то есть её плотность вероятности задана равенством

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in [0,1]\\0,&x\not \in [0,1].\end{matrix}}\right.}$

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины равно

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{2}\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x^{2}\,dx=\left.{\frac {x^{3}}{3}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{3}}}$,

и математическое ожидание случайной величины равно

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x\,dx=\left.{\frac {x^{2}}{2}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{2}}}$

Дисперсия случайной величины равна

${\displaystyle D[X]=\mathbb {E} \left[X^{2}\right]-(\mathbb {E} [X])^{2}={\frac {1}{3}}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}}$

См. также

• Среднеквадратическое отклонение
• Моменты случайной величины
• Ковариация
• Выборочная дисперсия
• Независимость (теория вероятностей)
• Скедастичность
• Абсолютное отклонение
• Дельта-метод