Моменты случайной величины

Для термина «Момент» см. также другие значения.

Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Происхождение понятия

Момент в математике — прямая аналогия с понятием момента в физике и механике. В математике моменты функции — это количественные измерения, связанные с формой графика функции. Например, если функция представляет собой распределение вероятностей, то первый момент — это ожидаемое значение, второй центральный момент (англ.) — это дисперсия, третий стандартизированный момент (англ.) — это асимметрия, а четвертый стандартизированный момент — это эксцесс. Если функция описывает плотность массы, то нулевой момент — это полная масса, первый момент (нормализованный по полной массе) — это центр масс, а второй момент — это момент инерции.

Определения

Если дана случайная величина ${\displaystyle \displaystyle X,}$ определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

• ${\displaystyle \displaystyle k}$-м нача́льным моментом случайной величины ${\displaystyle \displaystyle X,}$ где ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ называется величина

${\displaystyle \nu _{k}=\mathbb {E} \left[X^{k}\right],}$

если математическое ожидание ${\displaystyle \mathbb {E} [*]}$ в правой части этого равенства определено;

• ${\displaystyle \displaystyle k}$-м центра́льным моментом случайной величины ${\displaystyle \displaystyle X}$ называется величина

${\displaystyle \mu _{k}=\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)^{k}\right],}$

• ${\displaystyle \displaystyle k}$-м абсолю́тным и ${\displaystyle \displaystyle k}$-м центральным абсолютным моментами случайной величины ${\displaystyle \displaystyle X}$ называется соответственно величины

${\displaystyle \nu _{k}=\mathbb {E} \left[|X|^{k}\right]}$ и ${\displaystyle \mu _{k}=\mathbb {E} \left[|X-\mathbb {E} X|^{k}\right],}$

• ${\displaystyle \displaystyle k}$-м факториальным моментом случайной величины ${\displaystyle \displaystyle X}$ называется величина

${\displaystyle \mu _{k}=\mathbb {E} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],}$

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.^[1]

Абсолютные моменты могут быть определены не только для целых, но и для любых положительных действительных чисел ${\displaystyle k}$ в случае, если соответствующие интегралы сходятся.

Замечания

• Если определены моменты ${\displaystyle \displaystyle k}$-го порядка, то определены и все моменты низших порядков ${\displaystyle 1\leqslant k'<k.}$
• В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные:

  ${\displaystyle \mu _{k}=\sum \limits _{s=0}^{k}{(-1)^{s}C_{k}^{s}\nu _{k-s}\nu _{1}^{s}}}$.

Геометрический смысл некоторых моментов

• ${\displaystyle \displaystyle \mu _{2}}$ равняется дисперсии распределения ${\displaystyle \displaystyle (\mu _{2}=\sigma ^{2})}$ и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
• ${\displaystyle \displaystyle \mu _{3}}$, будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение

${\displaystyle {\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}}$

называется коэффициентом асимметрии.

• ${\displaystyle \displaystyle \mu _{4}}$ показывает, насколько тяжелые у распределения хвосты. Величина

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3}$

называется коэффициентом эксцесса распределения ${\displaystyle \displaystyle X.}$

Вычисление моментов

• Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью ${\displaystyle \displaystyle f(x)}$ имеем:

${\displaystyle \nu _{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}\,f(x)\,dx,}$

если ${\displaystyle \nu _{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x|^{k}\,f(x)\,dx<{+\infty },}$

а для дискретного распределения с функцией вероятности ${\displaystyle \displaystyle p(x):}$

${\displaystyle \nu _{k}=\sum \limits _{x}x^{k}\,p(x),}$

если ${\displaystyle \nu _{k}=\sum \limits _{x}|x|^{k}\,p(x)<{+\infty }.}$

• Также моменты случайной величины могут быть вычислены через её характеристическую функцию ${\displaystyle \displaystyle \phi (t)}$:

${\displaystyle \nu _{k}=\left.i^{-k}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\phi (t)\right\vert _{t=0}.}$

• Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов ${\displaystyle \displaystyle M(t),}$ то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:

${\displaystyle \nu _{k}=\left.{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}M(t)\right\vert _{t=0}.}$

Обобщения

Можно также рассматривать нецелые значения ${\displaystyle k}$. Момент, рассматриваемый как функция от аргумента ${\displaystyle k}$, называется преобразованием Меллина.

Можно рассматривать моменты многомерной случайной величины. Тогда первый момент будет вектором той же размерности, второй — тензором второго ранга (см. матрица ковариации) над пространством той же размерности (хотя можно рассматривать и след этой матрицы, дающий скалярное обобщение дисперсии). И т. д.

См. также

• Момент изображения

Примечания

1. Г. Крамер. Математические методы статистики. — 2-е изд. — М.: Мир, 1975. — С. 196-197, 284. — 648 с.