W grupie jako podgrupie grupy multiplikatywnej ciała działaniem jest zwykłe mnożenie liczb zespolonych, a elementem neutralnym jest Grupa okręgu w naturalny sposób daje się utożsamić z grupą obrotówpłaszczyzny wokół ustalonego punktu, zwykle początku, z działaniem ich składania. Grupa ta pełni istotną rolę w teorii grup Liego.
Grupa okręgu jest izomorficzna (jako grupa topologiczna) z grupą ilorazową
Dowód. Odwzorowanie dane wzorem jest ciągłym, suriektywnym homomorfizmem grup, którego jądrem jest Podgrupa grupy jest domknięta, a zatem z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie dla grup topologicznych, odwzorowanie dane wzorem gdzie jest homeomorficznym izomorfizmem grup.
Grupa okręgu jest grupą Liego, której przestrzeń styczna w 1 może być utożsamiana z prostą urojoną płaszczyzny. Odwzorowanie wykładnicze dla tej grupy Liego dane jest wzorem
przekształcenie to jest przykładem (pod)grupy jednoparametrowej.
Grupa okręgu jest zwarta, więc grupa dualna do złożona z ciągłych homomorfizmów do jest dyskretna. Co więcej
a zatem z dualności Pontriagina także
Powyższe twierdzenie jest jednym z podstawowych faktów w analizie harmonicznej. Można je udowodnić w oparciu o twierdzenie orzekające, że każdy ciągły homomorfizm jest postaci
dla pewnej liczby rzeczywistej Wynika stąd, że każdy ciągły homomorfizm jest postaci dla pewnego W szczególności, grupa dualna do jest izomorficzna z
Dowód. Ponieważ istnieje izomorfizm grup topologicznych wystarczy zatem rozważać ciągłe homomorfizmy z do
Niech będzie ciągłym homomorfizmem oraz niech będzie jego podniesieniem do tj. Wówczas dla pewnego W szczególności, gdy to skąd musi być liczbą całkowitą, co kończy dowód.
N. Bourbaki, Elements of mathematics. General topology, Part 2, Hermann, Paris 1966.
Luogeng Hua:Starting with the unit circle.Springer,1981. ISBN978-1-4613-8138-9. Brak numerów stron w książce
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.