Векторски простор
From Wikipedia, the free encyclopedia
Векторскиот простор во основа е всушност множество во чии рамки елементите задоволуваат одредени својства. Ова е еден од основните концепти на вишата математика. Со неговото воведување возможно е теоретски да се решат голем број проблеми, а како најбитно се овозможува димензионална апстракција - да се погледне „преку“ третата димензија (односно максималниот број на просторни димензии кои човековиот мозок може сетилно да ги разграничи). Иако неговата дефиниција и теориска разработка лежи во линеарната алгебра, концептот на векторски простор е многу битен и во останатите делови на математиката, а посебно во аналитичката геометрија.
Статии поврзани со линеарната алгебра |
Теорија на матрици |
Системи линеарни равенки |
Линеарна равенка |
Линеарни пресликувања и векторски простори |
Вектор, Скалар |
Останати статии |
Скаларен производ |
Нека е дадено непразно множество чии елементи ќе ги нарекуваме вектори (тука настанува основната забуна: поимот вектор веќе не мора да се сфаќа како насочена отсечка од рамнината или просторот, туку едноставно кажано сè, буквално сè што може да припаѓа на едно множество е вектор!); нека исто така ни е дадено едно поле , т.е. множество броеви кои има структура на поле, a чии пак елементи ќе ги нарекуваме скалари. Дефинираме операции: собирање на два елемента така што збирот ; и множење со скалар , т.е. множење на елемент со елемент од така што производот .
За множеството се вели дека е векторски простор над полето ако и само ако се задоволени следниве осум аксиоми, т.е. својства:
- С1 (комутативност на собирањето): , за секои ;
- С2 (асоцијативност на собирањето): за секои ;
- С3 (постоење на нулти-вектор): постои така што: , за секој ;
- С4 (постоење на инверзен елемент): за секој , постои така што ;
- М1: , за секое и секои ;
- М2: , за секое и секои ;
- М3: , за секое и секои ;
- М4 (постоење на неутрален елемент): постои така што , за секој ;
Доколку се исполнети сите овие аксиоми, само тогаш е векторски простор и тогаш пишуваме: (читај: „V над F“ или „V е векторски простор над полето F“). Честопати наместо векторски простор се вели само простор. Ако полето на просторот е полето реални броеви , тогаш за просторот велиме дека е реален (векторски) простор, а ако полето на просторот е полето комплексни броеви , тогаш за просторот велиме дека е комплексен (векторски) простор.
Примери за векторски простор се: права од просторот која минува низ координатниот почеток; рамнина од просторот која минува низ координатниот почеток; целиот тридимензионален простор.
Познато е дека секоја точка од рамнината и просторот може да се претстави како подредена двојка (пар) и подредена тројка од реални броеви соодветно. Членовите на парот, односно тројката се нарекуваат координати на точката. Ако секоја точка од рамнината / просторот ја претставиме преку нејзиниот радиусвектор (кој пак ги има истите координати како и точката), и дефинираме собирање на два радиусвектора со: и множење со скалар со , тогаш лесно се проверува дека во однос на вака дефинираните операции множествaта од подредени двојки / тројки (односно некоја рамнина од 3D-просторот и самиот 3D-простор) се реални векторски простори. Ако пак се апстрахираме од визуелното геометриско значење на координатите на точките и воведеме: подредени четворки: , подредени петорки: , или пак за произволен природен број n воведеме подредена n-торка: , а операциите ги дефинираме на потполно ист начин (збир на два вектора [две n-торки] е вектор чии координати претставуваат збир од соодветните координати на векторите [n-торките]; а производ на вектор [n-торка] со скалар е вектор [n-торка] чии координати се координатите на векторот [n-торката] помножени со скаларот), тогаш се проверува дека множеството од n-торки ги задоволува погорните аксиоми, т.е. дека тоа е векторски простор.
Напомена: векторскиот простор е затворен во однос на во него дефинираните операции, т.е. ако едно множество е векторски простор тогаш преку операциите не може да се „излезе од неговите граници“, т.е. не постојат вектори кои припаѓаат во просторот, а чиј збир не припаѓа во просторот, ниту таков вектор од просторот и таков скалар од полето чијшто производ не припаѓа во просторот.