대수학 및 대수적 수론에서 절댓값(絶對값, 영어: absolute value)은 정역의 원소의 크기를 측정하는 실수 함수이다. 초등 수학에서의 절댓값을 일반화한다.
정역
위의 절댓값은 다음 조건들을 만족시키는 함수
이다.[1]:116, Definition 3.1
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle |x|=0\iff x=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a911ed3edc7cc79ca90e49e4b8d1863fd9cb686a)
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle |xy|=|x||y|}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300f8d06cfdb034ade2c439bb2b0935c448114a5)
- (삼각 부등식) 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b02fe24bab89ece41c4640d04bb5e8996ef92ee)
정역
위의 절댓값은 그 분수체
위로 다음과 같이 확장할 수 있다.
![{\displaystyle |x/y|=|x|/|y|\qquad \forall x,y\in D}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047d54a3589fc50cc20d97297623f72f7d5ccf6f)
절댓값을 갖춘 정역
위에는 다음과 같이 거리 함수를 정의하여, 거리 공간으로 만들 수 있다.
![{\displaystyle d(x,y)=|x-y|}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994ad8add8719c1d111342afeb970648ffff41f2)
절댓값의 공리에 따라,
이다. 또한, 다음이 성립함을 보일 수 있다.
![{\displaystyle |n|\leq n\qquad \forall n\in \mathbb {N} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a90729be356be666bb5d75648bae0730617d96a0)
비아르키메데스 절댓값
정역
위의 절댓값
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 절댓값을 비아르키메데스 절댓값(영어: non-Archimedean absolute value)이라고 한다.
- (초거리 부등식) 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle |x+y|\leq \max\{|x|,|y|\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03c11a5ecf5bfc683f867b1133ba66e60c8bd13)
이 유계 집합이다.
비아르키메데스 절댓값이 아닌 절댓값을 아르키메데스 절댓값(영어: Archimedean absolute value)이라고 한다.
비아르키메데스 절댓값의 로그를 취하면,
는 값매김을 이룬다. 반대로, 실수 덧셈군(의 부분군)을 값군으로 갖는 값매김
가 주어졌다면, 그 지수 함수
는 비아르키메데스 절댓값을 이룬다.
비아르키메데스 절댓값
을 갖춘 체
에 대하여, 절댓값이 1 이하인 원소들은 값매김환을 이룬다. 이를
의
에 대한 정수환(영어: ring of integers)이라고 한다.
임의의 정역
위의 자명 절댓값(영어: trivial absolute value)은 다음과 같다.
![{\displaystyle |x|_{0}={\begin{cases}0&x=0\\1&x\neq 0\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee0d1345508733211961fcb8e341fb2ee13b957)
유리수체와 실수체, 복소수체의 경우, 초등 수학의 절댓값은 대수적 절댓값을 이룬다.
![{\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {R} }\colon x\mapsto {\begin{cases}x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a87ef17a4a130d128b722cb2ec6ce02aa53ecef)
![{\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {C} }\colon x+iy\mapsto {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37a96392e6c58533dc2df67d321a81dadf49ddac)
대수적 수체
오스트롭스키 정리(Островский定理, 영어: Ostrowski theorem)에 따르면, 대수적 수체
위의 자리들의 목록은 다음과 같다.
- 자명 절댓값
과 동치인 자리. 이를 자명 자리(영어: trivial place)라고 한다.
- 대수적 정수환
의 소 아이디얼
에 대하여,
진 절댓값의 자리. 이를 유한 자리(영어: finite place)라고 한다.
- 실수로의 매장
에 대하여,
. 여기서
는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 실 무한 자리(영어: real infinite place)라고 한다.
- 복소수로의 매장
에 대하여 (
),
. 여기서
는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우,
와
는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 복소 무한 자리(영어: complex infinite place)라고 한다.
예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다.
- 자명 자리
![{\displaystyle |\cdot |_{0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73394c312f17ea7451a34cb49c11afc2079a48c)
- 소수
에 대하여,
진 자리 ![{\displaystyle |\cdot |_{p}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f97c03851aa6215bfbb76027ea167345ea6425)
- 하나의 실 무한 자리
![{\displaystyle |\cdot |_{\infty }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cdfb936407ce40d20152b514afb6f4eb5a055e7)
겔판트-토른하임 정리(Гельфанд-Tornheim定理, 영어: Gelfand–Tornheim theorem)에 따르면, 아르키메데스 절댓값을 갖는 임의의 체는 복소수체의 부분체이며, 아르키메데스 절댓값은 이 복소 매장에 의하여 유도되는 절댓값과 동치이다.
대수적 수체
의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환들의 교집합이다.[2]:192
퀴르샤크 요제프가 1913년에 도입하였다.[3]