지수 함수

지수 함수(指數函數, 영어: exponential function)란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이다.

y = e^x의 그래프^[1]

정의

${\displaystyle a}$를 양의 상수, ${\displaystyle x}$를 모든 실수 값을 취하는 변수라고 할 때 ${\displaystyle y=a^{x}}$로 주어지는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수 ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$는 지수함수다. 자연로그의 역함수로 주어지는 지수함수는 ${\displaystyle {\text{exp}}(x)}$ 또는 ${\displaystyle e^{x}}$와 같이 쓴다. 이때 ${\displaystyle e}$를 '자연로그의 밑'이라 한다. 지수함수 ${\displaystyle y=e^{x}}$ 역시 그래프로 나타낼 수 있으며, 실변수 ${\displaystyle x}$의 함수로서 그래프는 항상 양수이고, 왼쪽에서 오른쪽으로 증가한다. 이때 그래프는 ${\displaystyle x}$축과 만나지 않지만, ${\displaystyle x}$축에 점점 접근해간다.

a가 양의 실수, x가 임의의 실수일 때, a를 밑, x를 지수로 하는 지수함수를 a^x 로 쓴다. 특별히 지수가 자연수(혹은 유리수)일 때, 이 함수는 a의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다.

• a^x는 R에서 (0, ∞) 로의 연속사상이다.
• a⁰ = 1
• a^p+q = a^pa^q

극한

함수 ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$에서

${\displaystyle a>1}$일 때 위 지수함수의 극한은

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty }$, ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=0}$이고,

${\displaystyle 0<a<1}$일 때 위 지수함수의 극한은

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0}$, ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty }$이다.

그리고 ${\displaystyle a=1}$일 때 위 지수함수의 극한은

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=1}$, ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=1}$이다.

미분

밑이 e 인 지수 함수 e^x의 도함수는 e^x 자신이 된다. e^x를 ${\displaystyle \exp(x)}$ 로 쓰기도 한다. 임의의 지수함수 a^x는 자연로그 ln 을 사용하여, ${\displaystyle e^{\ln a^{x}}=e^{x\ln a}}$ 로 쓸 수 있다. 따라서, 일반적인 지수함수 a^x의 도함수는 (ln a)a^x = a^x ln a가 된다.

${\displaystyle \exp(x)}$는 미분방정식 ${\displaystyle dy/dx=y}$의 특수해가 된다. 이는 반대로 미분방정식 ${\displaystyle dy/dx=y,\;y(0)=1}$를 만족하는 초기치문제의 해로 지수함수를 정의할 수도 있다는 의미를 담는다.

해석학에서 지수 함수는 주로 밑이 e인 것만을 가리킨다.

음함수 미분을 이용한 지수함수의 미분

음함수 미분을 이용하여 ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}}$의 해를 구할 수 있다.

${\displaystyle y=a^{x}}$ 라 하면 다음이 성립한다:

${\displaystyle \ln y=\ln a^{x}=x\ln a}$

좌변을 ${\displaystyle x}$에 대해 미분하면:

${\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln a\;\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}=(\ln a)y=(\ln a)a^{x}}$

로그함수의 역함수로서의 정의

로그함수를 정적분을 이용하여 정의할 경우, 지수함수는 거듭제곱이 아닌 로그함수의 역함수로 정의된다.

자연로그를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{1 \over t}\,dt}$

이때 ${\displaystyle y=\ln x}$는 강한 증가 함수이며 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재한다. 이때의 역함수를 ${\displaystyle y=\exp(x)}$라고 표기한다.

이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여

${\displaystyle {dy \over dx}={1 \over {dx \over dy}}={1 \over {1 \over y}}=y}$

즉, ${\displaystyle {d \over dx}\exp(x)=\exp(x)}$이다. 또한, ${\displaystyle \ln 1=0}$ 이므로, ${\displaystyle \exp(0)=1}$이다.

그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 간단히 보일 수 있다.

${\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\cdot \exp(b)}$

${\displaystyle \exp(a)=p,\exp(b)=q}$로 놓으면

${\displaystyle a=\ln p,b=\ln q}$이므로 로그의 성질에 의하여 ${\displaystyle a+b=\ln p+\ln q=\ln pq}$

따라서 ${\displaystyle \exp(a+b)=pq=\exp(a)\cdot \exp(b)}$가 성립한다.

로그함수 ${\displaystyle y=\ln x}$는 정의역 전체에서 연속 함수이므로 중간값 정리에 의하여 방정식 ${\displaystyle \ln x=1}$를 만족하는 해 ${\displaystyle x}$가 존재하며, 단사함수이므로 실수 ${\displaystyle x}$는 단 한개만 존재한다. 방정식 ${\displaystyle \ln x=1}$의 해를 ${\displaystyle x=e}$라 하자.

${\displaystyle \therefore \ln e=1,\exp(1)=e}$

이제 ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$로 놓고 이것을 지수함수로 정의한다.

수학적 귀납법을 이용하면 ${\displaystyle x}$가 자연수일 때 ${\displaystyle \exp(x)=\underbrace {e\times e\times e\times \cdots e} _{x}}$임을 보일 수 있다.

이제 일반적인 밑을 가진 지수를 ${\displaystyle a^{x}=e^{x\ln a}}$ ${\displaystyle (a>0)}$로 정의하자.

마찬가지로 수학적 귀납법을 이용하여 자연수 ${\displaystyle x}$에 대하여 ${\displaystyle a^{x}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{x}}$임을 보일 수 있다.

증명은 다음과 같다.

1에 대하여 성립

${\displaystyle a^{1}=e^{\ln a}=a}$

${\displaystyle n}$에 대하여 성립한다는 가정 아래, ${\displaystyle n+1}$에 대하여 성립

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n}}$

양변에 a를 곱하면

${\displaystyle a^{n}\cdot a=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n+1}}$

위 식의 좌변은 다음과 같이 정리된다.

${\displaystyle a^{n}\cdot a=a^{n}\cdot a^{1}=e^{n\ln a}\cdot e^{\ln a}=e^{n\ln a+\ln a}=e^{(n+1)\ln a}=a^{n+1}}$

${\displaystyle \therefore a^{n+1}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n+1}}$

따라서 수학적 귀납법에 의하여 자연수 ${\displaystyle x}$에 대하여 ${\displaystyle e^{x\ln a}}$로 정의된 ${\displaystyle a^{x}}$는 a를 x번 곱한 것과 같다.

같이 보기

• 자연로그의 밑
• 행렬 지수 함수
• 지수열

각주

1. (울프럼알파)http://www.wolframalpha.com/input/?i=exp(x) Archived 2018년 5월 7일 - 웨이백 머신

외부 링크

• “Complex exponential function”. 《PlanetMath》 (영어).
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Exponential Function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.