지수 함수 (指數函數, 영어 : exponential function )란 거듭제곱 의 지수 를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수 이다. 로그 함수 의 역함수 이다.
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y = ex 의 그래프[1]
a
{\displaystyle a}
x
{\displaystyle x}
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^{x}}
f
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle f(x)=2^{x}}
자연로그 의 역함수 로 주어지는 지수함수는
exp
(
x
)
{\displaystyle {\text{exp}}(x)}
e
x
{\displaystyle e^{x}}
e
{\displaystyle e}
y
=
e
x
{\displaystyle y=e^{x}}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
a 가 양의 실수, x 가 임의의 실수일 때, a 를 밑 , x 를 지수로 하는 지수함수를 a x 자연수 (혹은 유리수 )일 때, 이 함수는 a 의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다.
a x R 에서 (0, ∞) 로의 연속사상 이다.a 0 = 1a p +q a p a q
함수
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=a^{x}}
a
>
1
{\displaystyle a>1}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty }
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=0}
0
<
a
<
1
{\displaystyle 0<a<1}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0}
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty }
그리고
a
=
1
{\displaystyle a=1}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=1}
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=1}
밑이 e e x e x e x
exp
(
x
)
{\displaystyle \exp(x)}
a x 자연로그 ln 을 사용하여,
e
ln
a
x
=
e
x
ln
a
{\displaystyle e^{\ln a^{x}}=e^{x\ln a}}
a x a )a x a x a 가 된다.
exp
(
x
)
{\displaystyle \exp(x)}
미분방정식
d
y
/
d
x
=
y
{\displaystyle dy/dx=y}
특수해 가 된다. 이는 반대로 미분방정식
d
y
/
d
x
=
y
,
y
(
0
)
=
1
{\displaystyle dy/dx=y,\;y(0)=1}
해석학 에서 지수 함수는 주로 밑이 e
음함수 미분을 이용하여
d
d
x
a
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}}
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^{x}}
ln
y
=
ln
a
x
=
x
ln
a
{\displaystyle \ln y=\ln a^{x}=x\ln a}
좌변을
x
{\displaystyle x}
1
y
d
y
d
x
=
ln
a
⇒
d
y
d
x
=
(
ln
a
)
y
=
(
ln
a
)
a
x
{\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln a\;\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}=(\ln a)y=(\ln a)a^{x}}
로그함수 를 정적분 을 이용하여 정의할 경우, 지수함수는 거듭제곱 이 아닌 로그함수 의 역함수 로 정의된다.
자연로그 를 다음과 같이 정의하자.
ln
x
=
∫
1
x
1
t
d
t
{\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{1 \over t}\,dt}
이때
y
=
ln
x
{\displaystyle y=\ln x}
강한 증가 함수 이며 치역이 실수 전체이므로 역함수 가 존재한다. 이때의 역함수 를
y
=
exp
(
x
)
{\displaystyle y=\exp(x)}
이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여
d
y
d
x
=
1
d
x
d
y
=
1
1
y
=
y
{\displaystyle {dy \over dx}={1 \over {dx \over dy}}={1 \over {1 \over y}}=y}
즉,
d
d
x
exp
(
x
)
=
exp
(
x
)
{\displaystyle {d \over dx}\exp(x)=\exp(x)}
ln
1
=
0
{\displaystyle \ln 1=0}
exp
(
0
)
=
1
{\displaystyle \exp(0)=1}
그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 간단히 보일 수 있다.
exp
(
a
+
b
)
=
exp
(
a
)
⋅
exp
(
b
)
{\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\cdot \exp(b)}
exp
(
a
)
=
p
,
exp
(
b
)
=
q
{\displaystyle \exp(a)=p,\exp(b)=q}
a
=
ln
p
,
b
=
ln
q
{\displaystyle a=\ln p,b=\ln q}
a
+
b
=
ln
p
+
ln
q
=
ln
p
q
{\displaystyle a+b=\ln p+\ln q=\ln pq}
따라서
exp
(
a
+
b
)
=
p
q
=
exp
(
a
)
⋅
exp
(
b
)
{\displaystyle \exp(a+b)=pq=\exp(a)\cdot \exp(b)}
로그함수
y
=
ln
x
{\displaystyle y=\ln x}
연속 함수 이므로 중간값 정리 에 의하여 방정식
ln
x
=
1
{\displaystyle \ln x=1}
x
{\displaystyle x}
단사함수 이므로 실수
x
{\displaystyle x}
ln
x
=
1
{\displaystyle \ln x=1}
x
=
e
{\displaystyle x=e}
∴
ln
e
=
1
,
exp
(
1
)
=
e
{\displaystyle \therefore \ln e=1,\exp(1)=e}
이제
exp
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle \exp(x)=e^{x}}
지수함수 로 정의한다.
수학적 귀납법 을 이용하면
x
{\displaystyle x}
자연수 일 때
exp
(
x
)
=
e
×
e
×
e
×
⋯
e
⏟
x
{\displaystyle \exp(x)=\underbrace {e\times e\times e\times \cdots e} _{x}}
이제 일반적인 밑을 가진 지수를
a
x
=
e
x
ln
a
{\displaystyle a^{x}=e^{x\ln a}}
(
a
>
0
)
{\displaystyle (a>0)}
마찬가지로 수학적 귀납법 을 이용하여 자연수
x
{\displaystyle x}
a
x
=
a
×
a
×
a
×
⋯
a
⏟
x
{\displaystyle a^{x}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{x}}
증명은 다음과 같다.
1에 대하여 성립
a
1
=
e
ln
a
=
a
{\displaystyle a^{1}=e^{\ln a}=a}
n
{\displaystyle n}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
a
n
=
a
×
a
×
a
×
⋯
a
⏟
n
{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n}}
양변에 a를 곱하면
a
n
⋅
a
=
a
×
a
×
a
×
⋯
a
⏟
n
+
1
{\displaystyle a^{n}\cdot a=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n+1}}
위 식의 좌변은 다음과 같이 정리된다.
a
n
⋅
a
=
a
n
⋅
a
1
=
e
n
ln
a
⋅
e
ln
a
=
e
n
ln
a
+
ln
a
=
e
(
n
+
1
)
ln
a
=
a
n
+
1
{\displaystyle a^{n}\cdot a=a^{n}\cdot a^{1}=e^{n\ln a}\cdot e^{\ln a}=e^{n\ln a+\ln a}=e^{(n+1)\ln a}=a^{n+1}}
∴
a
n
+
1
=
a
×
a
×
a
×
⋯
a
⏟
n
+
1
{\displaystyle \therefore a^{n+1}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n+1}}
따라서 수학적 귀납법 에 의하여 자연수
x
{\displaystyle x}
e
x
ln
a
{\displaystyle e^{x\ln a}}
a
x
{\displaystyle a^{x}}
