단조 수렴 정리 (미적분학)

실해석학에서, 단조 수렴 정리(單調收斂定理, 영어: monotone convergence theorem)는 실수 항의 단조 유계 수열이 항상 수렴한다는 정리이다.

정의

실수 수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$이 주어졌다고 하자. 단조 수렴 정리에 따르면, 만약 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$가 증가 수열이라면 (${\displaystyle a_{0}\leq a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots }$), 다음이 성립한다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\geq 0}a_{n}\in (-\infty ,\infty ]}$

마찬가지로, 만약 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$가 감소 수열이라면 (${\displaystyle a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots }$), 다음이 성립한다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\inf _{n\geq 0}a_{n}\in [-\infty ,\infty )}$

여기서 ${\displaystyle \sup ,\inf }$는 각각 상한과 하한을 나타낸다.

이에 따라, 임의의 실수 단조 수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$은 (${\displaystyle \mathbb {R} }$에서) 수렴한다.
• ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$는 유계 수열이다.

증명:

임의의 실수 증가 수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$에 대하여, 그 상한을

${\displaystyle L=\sup _{n\geq 0}a_{n}\in (-\infty ,\infty ]}$

이라고 하자.

만약 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$이 유계 수열이라면, ${\displaystyle L<\infty }$이다. ${\displaystyle L}$의 정의에 따라, 임의의 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여,

${\displaystyle a_{N}>L-\epsilon }$

인 ${\displaystyle N\geq 0}$이 존재한다. 따라서, 임의의 ${\displaystyle n\geq N}$에 대하여,

${\displaystyle L-\epsilon <a_{N}\leq a_{n}\leq L<L+\epsilon }$

이다. 즉,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$

이 성립한다.

만약 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$이 무계 수열이라면, ${\displaystyle L=\infty }$이다. 임의의 ${\displaystyle M>0}$에 대하여,

${\displaystyle a_{N}>M}$

인 ${\displaystyle N\geq 0}$이 존재하며, 임의의 ${\displaystyle n\geq N}$에 대하여

${\displaystyle a_{n}\geq a_{N}>M}$

이다. 즉,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }$

이 성립한다.

예

확장된 실수

${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}$

를 단조 수렴 정리를 사용하여 구해보자. 우선 이는 다음과 같은 실수 수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$의 극한이다.

${\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}$

${\displaystyle a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}}\qquad (n\geq 1)}$

수학적 귀납법을 통해 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$이 증가 수열임을 다음과 같이 보일 수 있다.

${\displaystyle a_{2}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}>{\sqrt {2}}=a_{1}}$

${\displaystyle a_{n+1}>a_{n}\implies a_{n+2}={\sqrt {2+a_{n+1}}}>{\sqrt {2+a_{n}}}=a_{n+1}\qquad (n\geq 1)}$

또한 ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$은 다음에 따라 ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$을 상계로 가지므로, 유계 수열이다.

${\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}<{\sqrt {2}}+1}$

${\displaystyle a_{n}<{\sqrt {2}}+1\implies a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}}<{\sqrt {2+{\sqrt {2}}+1}}<{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}+1}}={\sqrt {2}}+1\qquad (n\geq 1)}$

단조 수렴 정리에 따라, ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$은 수렴한다. 이제

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$

이라고 하고 등식

${\displaystyle a_{n+1}^{2}=2+a_{n}\qquad (n\geq 1)}$

의 양변에 극한을 취하면

${\displaystyle L^{2}=2+L}$

을 얻으며, 이를 풀면 ${\displaystyle L=-1}$이거나 ${\displaystyle L=2}$임을 얻는다. 또한 ${\displaystyle L\geq a_{1}>0}$이므로,

${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=L=2}$

이다.

일반화

실수 수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$이 주어졌고, 다음 조건들을 만족시키는 양의 정수 ${\displaystyle k>0}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }$이 존재한다고 하자.

• 임의의 ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ 및 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{i},x_{i}',\dots ,x_{k},\in \mathbb {R} }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle x_{i}<x_{i}'}$이라면 ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{k})<f(x_{1},\dots ,x_{i}',\dots ,x_{k})}$이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$에 대하여, ${\displaystyle f(x,\dots ,x)=x}$
• 임의의 ${\displaystyle n\geq k}$에 대하여, ${\displaystyle f(a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_{n-k})\leq a_{n}}$

그렇다면,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\geq 0}\min\{a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_{n-k}\}\in (-\infty ,\infty ]}$

이다.^[1] 또한, ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$이 수렴할 필요 충분 조건은 유계 수열이다.

각주

1. Bibby, John (1974년 3월). “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences”. 《Glasgow Mathematical Journal》 (영어) 15 (1): 63-65. doi:10.1017/S0017089500002135. ISSN 0017-0895.

외부 링크

• “Monotone convergence theorem (real analysis)”. 《ProofWiki》 (영어).