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군을 이루는 부분 집합 위키백과, 무료 백과사전
수학의 한 분야인 군론에서, 이항연산 ∗ 하에 주어진 군 G에 대하여, G의 부분집합 H 또한 이항연산 ∗ 하에서 군을 이룰 때, H를 G의 부분군이라고 한다. 더 정확히는, H가 G의 부분군이라는 것은 ∗의 H × H 에 대한 제한이 H에서의 군 연산인 것을 말한다. 이를 대개 H ≤ G로 나타내고, "H는 G의 부분군"이라고 읽는다.
임의의 군의 자명한 부분군은 항등원만을 갖고 있는 부분군 {e}이다.
군 G의 진부분군이란 G의 진부분집합인 부분군 H를 말한다. (즉, H ≠ G). 이를 대개 H < G로 나타내고 "H는 G의 진부분군"이라고 읽는다. 몇몇 저자들은 또한 자명한 군을 진부분군으로부터 제외하기도 한다 (즉, H ≠ {e}).
H가 G의 부분군일 때, 때때로 G를 H의 초군이라고 부른다.
보다 일반적으로 같은 정의를 G가 임의의 반군일 때도 적용하기도 하나, 이 글에서는 군의 부분군에 대해서만 다룰 것이다. 군 G가 때때로 순서쌍 (G, ∗)로 표기되는데, 대개 G가 다수의 대수적 또는 다른 구조들을 가지고 있을 때 연산 ∗를 강조하기 위함이다.
주어진 부분군 H와 G의 원소 a에 대하여, 좌잉여류를 aH = {ah : h는 H의 원소}로 정의한다. a가 가역이므로, φ(h) = ah로 주어진 사상 φ : H → aH는 전단사이다. 더욱이, G의 모든 원소는 정확히 H의 좌잉여류 하나에 들어있다; 좌잉여류는 다음과 같이 정의된 동치관계에 대한 동치류이다. a1 ~ a2 라는 것은 a1−1a2 H의 원소인 것이다. H의 좌잉여류의 개수를 G에서의 H의 지수라 하고, [G : H]로 쓴다.
라그랑주의 정리는 유한군 G와 H에 대하여 다음을 진술한다.
여기서 |G| 와 |H|는 각각 G와 H의 위수를 가리킨다. 특히, G의 모든 부분군의 위수 (그리고 G의 모든 원소의 위수는) |G|의 약수여야 한다.[1]
우잉여류는 유사하게 Ha = {ha : h in H}로 정의한다. 이는 또한 적절한 동치관계에 대한 동치류들이고, 그들의 개수는 [G : H]와 같다.
만일 모든 G의 원소 a에 대하여 aH = Ha 이면, H를 정규부분군이라고 한다. 지수가 2인 모든 부분군은 정규부분군이다: 좌잉여류들과, 또한 우잉여류들이, 부분군이고 여집합이다. 더 일반적으로, p가 유한군 G의 위수를 나누는 가장 작은 소수이면, 지수 p를 갖는 임의의 부분군은 (만약 존재한다면) 정규부분군이다.
G가 원소가 다음과 같은 순환군 Z8 이라고 하자.
그리고 이것의 군 연산은 법 8에 대한 덧셈이다. 이것의 케일리 표는
+ | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
이 군은 두 개의 비자명한 부분군을 갖는다: J={0,4} 와 H={0,2,4,6}, 여기서 J는 H의 부분군이기도 하다. H에 대한 케일리 표는 G에 대한 케일리 표의 왼쪽 위의 사분면이다. 군 G는 순환군이고, 이것의 모든 부분군도 그러하다. 일반적으로, 순환군의 부분군은 또한 순환군이다.
모든 군은 주대각선 상의 중립 원소들만큼 작은 부분군을 갖는다:
자명한 군과 두 원소의 군인 Z2이다. 이 작은 부분군들은 다음 목록에서 세지 않는다.
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