동치 관계

수학에서 동치 관계(同値關係, 영어: equivalence relation)는 논리적 동치와 유사한 성질들을 만족시키는 이항 관계이다.

정의

동치 관계

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 동치 관계는 다음 세 조건을 만족시키는, ${\displaystyle X}$ 위의 이항 관계 ${\displaystyle {\sim }\subseteq X^{2}}$이다.

• (반사 관계) 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x\sim x}$
• (대칭 관계) 임의의 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle x\sim y}$라면, ${\displaystyle y\sim x}$
• (추이적 관계) 임의의 ${\displaystyle x,y,z\in X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle x\sim y}$이고 ${\displaystyle y\sim z}$라면 ${\displaystyle x\sim z}$

동치류와 몫집합

집합 ${\displaystyle X}$ 위에 동치 관계 ${\displaystyle \sim }$이 주어졌을 때, 원소 ${\displaystyle x\in X}$의, ${\displaystyle \sim }$에 대한 동치류(同値類, 영어: equivalence class) ${\displaystyle [x]_{\sim }}$는 ${\displaystyle x}$와 동치인 원소들을 모은 집합이다.

${\displaystyle [x]_{\sim }=\{y\in X\colon x\sim y\}}$

집합 ${\displaystyle X}$ 위에 동치 관계 ${\displaystyle \sim }$이 주어졌을 때, ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle \sim }$에 대한 몫집합(-集合, 영어: quotient set) ${\displaystyle X/{\sim }}$은 모든 동치류들을 모은 집합이다.

${\displaystyle X/{\sim }=\{[x]_{\sim }\colon x\in X\}}$

모임의 경우

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서, 모임은 하나의 자유 변수를 가지는 논리식으로 여길 수 있다. 어떤 집합이 이 논리식을 만족시킬 때, 집합은 이 논리식에 대응하는 모임의 원소가 된다. 자유 변수에 논리식을 대입하는 것은 합법적이지 않으므로, 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없다.

모임 위에서도 동치 관계·동치류·몫집합의 개념을 정의할 수 있다. 동치 관계의 정의는 집합 위에서의 정의를 옮겨 오면 충분하다. 다만, 모임 ${\displaystyle X}$ 위의 동치 관계는 곱모임 ${\displaystyle X^{2}}$의 부분 모임으로서, 더 이상 집합이 아닐 수 있다. 모임의 원소의 동치류를 이 원소와 동치인 원소들의 모임으로 정의할 경우, 동치류들을 개별적으로 다루는 데에는 문제가 없으나, 동치류들이 고유 모임일 수 있으므로 동치류들의 모임을 합법적으로 정의할 수 없다. 즉, ${\displaystyle X/{\sim }}$을 정의하려면 동치류가 집합이 되도록 동치류의 정의에 수정을 가하여야 한다.

모임 ${\displaystyle X}$ 위에 동치 관계 ${\displaystyle {\sim }\subseteq X^{2}}$가 주어졌다고 하자. 원소 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 다음과 같이 정의한다.^[1]:65

${\displaystyle [x]'_{\sim }=\{y\in X\colon x\sim y\land (\forall z\in X\colon x\sim z\implies \operatorname {rank} y\leq \operatorname {rank} z)\}}$

즉, ${\displaystyle [x]'_{\sim }}$는 ${\displaystyle x}$와 동치인 원소 가운데, (폰 노이만 전체에서의) 계수가 가장 낮은 것들의 모임이다. (이러한 최소 계수의 원소가 존재하는 것은 순서수의 모임이 정렬 전순서 모임이기 때문이다.) 이러한 최소의 계수를 ${\displaystyle \alpha }$라고 할 때, ${\displaystyle [x]'_{\sim }}$는 집합 ${\displaystyle V_{\alpha +1}}$의 부분 모임이므로, 집합이다. 따라서, 모임

${\displaystyle (X/{\sim })'=\{[x]'\colon x\in X\}}$

을 정의할 수 있다.^[1]:65

성질

집합 ${\displaystyle X}$ 위에 동치 관계 ${\displaystyle \sim }$이 주어졌을 때, 다음과 같은 표준적인 전사 함수가 존재한다.

${\displaystyle X\to X/{\sim }}$

${\displaystyle x\mapsto [x]}$

즉, 이 함수는 모든 원소를 이 원소가 속하는 동치류로 대응시킨다.

집합의 분할과의 관계

집합 ${\displaystyle X}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle X}$ 위의 동치 관계들과 ${\displaystyle X}$의 분할들 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재하며, 이는 다음과 같다. 집합 ${\displaystyle X}$ 위에 동치 관계 ${\displaystyle \sim }$이 주어졌을 때, 몫집합 ${\displaystyle X/{\sim }}$은 집합의 분할이다. 즉, ${\displaystyle X}$의 임의의 원소는 정확히 하나의 동치류에 속한다. 반대로, 집합 ${\displaystyle X}$의 분할 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$가 주어졌다고 하자 (즉, ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$는 ${\displaystyle X}$의 부분 집합들의 집합이며, ${\displaystyle X}$의 임의의 원소는 정확히 하나의 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$의 원소에 속한다). ${\displaystyle X}$ 위에 다음과 같은 이항 관계 ${\displaystyle \sim _{\mathcal {P}}}$를 정의하자.

${\displaystyle x\sim _{\mathcal {P}}y\iff \exists A\in P\colon x,y\in A\qquad (x,y\in X)}$

그렇다면 ${\displaystyle \sim _{\mathcal {P}}}$는 ${\displaystyle X}$ 위의 동치 관계이다. ${\displaystyle {\sim }\mapsto X/{\sim }}$과 ${\displaystyle {\mathcal {P}}\mapsto {\sim }_{\mathcal {P}}}$는 서로 역함수이다. 즉,

${\displaystyle {\sim }_{X/{\sim }}={\sim }}$

${\displaystyle X/{\sim }_{\mathcal {P}}={\mathcal {P}}}$

이다. 따라서, 동치 관계와 집합의 분할의 개념은 동치이다.

순서론적 성질

집합 ${\displaystyle X}$가 주어졌다고 하자. 임의의 이항 관계 ${\displaystyle R\subseteq X^{2}}$에 대하여, ${\displaystyle R}$를 포함하는 최소의 동치 관계 ${\displaystyle \sim _{R}}$가 존재한다. 구체적으로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle x\sim _{R}y}$
• 다음 조건을 만족시키는 열 ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\in X}$가 존재한다.
  • ${\displaystyle x_{0}=x}$
  • ${\displaystyle x_{n}=y}$
  • ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$에 대하여, ${\displaystyle (x_{i-1},x_{i})\in R}$이거나 ${\displaystyle (x_{i},x_{i-1})\in R}$

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 동치 관계들의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합 ${\displaystyle \operatorname {Eq} (X)}$는 완비 격자이다. ${\displaystyle \operatorname {Eq} (X)}$의 최소 원소는 (${\displaystyle X}$로 국한된) 등호 ${\displaystyle =}$이며, 최대 원소는 전체 관계 ${\displaystyle X^{2}\subseteq X^{2}}$이다. 동치 관계들의 집합 ${\displaystyle \{\sim _{i}\}_{i\in I}}$의 만남 ${\displaystyle \bigwedge _{i\in I}{\sim }_{i}}$는 교집합

${\displaystyle (x,y)\in \bigwedge _{i\in I}{\sim }_{i}\iff \forall i\in I\colon x\sim _{i}y}$

이다. ${\displaystyle \{\sim _{i}\}_{i\in I}}$의 이음 ${\displaystyle \bigvee _{i\in I}\sim _{i}}$은 합집합 ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}{\sim }_{i}}$을 포함하는 최소의 동치 관계

${\displaystyle (x,y)\in \bigvee _{i\in I}\sim _{i}\iff \exists n\in \mathbb {N} \exists x_{0},\dots ,x_{n}\in X\exists i_{1},\dots ,i_{n}\in I\colon x=x_{0}\sim _{i_{1}}x_{1}\sim _{i_{2}}\cdots \sim _{i_{n}}x_{n}=y}$

이다.

동치 관계 격자 ${\displaystyle \operatorname {Eq} (X)}$는 항상 대수적 격자(영어: algebraic lattice)이자 반모듈러 격자(영어: semimodular lattice)이다. 유한 집합 ${\displaystyle X}$의 경우, ${\displaystyle \operatorname {Eq} (X)}$는 단순 격자(영어: simple lattice, 합동 관계가 자명한 격자)이다.

예

임의의 집합 ${\displaystyle X}$ 위에서, 등호 ${\displaystyle =}$는 동치 관계를 이룬다.

평면 (또는 입체) 도형들의 집합 위에서, 닮음 관계는 동치 관계이다.

임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 같은 함숫값을 갖는 관계

${\displaystyle x\sim _{f}y\iff f(x)=f(y)}$

는 정의역 ${\displaystyle X}$ 위의 동치 관계이다. 이를테면, ${\displaystyle X}$가 어떤 사람들의 집합이며, ${\displaystyle f}$가 사람의 생일을 찾는 함수라면, ${\displaystyle \sim _{f}}$는 같은 생일의 사람들을 한데 묶는 동치 관계로 생각할 수 있다.

반례

반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계

임의의 집합 ${\displaystyle X}$ 위에서, 공관계

${\displaystyle \varnothing \subseteq X^{2}}$

는 항상 대칭 관계이자 추이적 관계이다. 그러나, 만약 ${\displaystyle X\neq \varnothing }$이라면 이는 반사 관계가 아니다. 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계는 이러한 형태밖에 없다.

대칭 관계가 아닌 반사 추이적 관계

정수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 위의 표준적인 순서

${\displaystyle x\leq y\iff \exists z\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\colon y=x+z}$

를 생각하자. 이는 전순서이며, 특히 반사 관계이자 추이적 관계이지만, 대칭 관계가 아니다. 예를 들어, ${\displaystyle 0\leq 1}$이지만, ${\displaystyle 1\not \leq 0}$이다.

추이적 관계가 아닌 반사 대칭 관계

정수 집합 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 위의 이항 관계

${\displaystyle (x,y)\in R\iff y=x+1\lor y=x-1}$

는 반사 관계이자 대칭 관계이지만, 추이적 관계가 아니다.

같이 보기

• 집합의 분할

각주

1. Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Berlin: Springer. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. MR 1940513. Zbl 1007.03002.

외부 링크

• 이철희. “동치관계”. 《수학노트》.
• “Equivalence relation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Equivalence relation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Equivalence relation”. 《nLab》 (영어).
• “Equivalence relation”. 《PlanetMath》 (영어).
• “Definition: equivalence relation”. 《ProofWiki》 (영어).