군론에서 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 한 원소로 생성될 수 있는 군이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정된 원소의 거듭제곱이다. (군의 연산이 곱셈이 아닌 덧셈일 경우, 모든 원소는 고정 원소의 정수배이다.)
군의 원소
가 생성하는 순환군
은 다음과 같다.
![{\displaystyle \langle g\rangle =\{g^{n}\colon n\in \mathbb {Z} \}=\{\dots ,g^{-2},g^{-1},1,g,g^{2},\dots \}\leq G}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6cbe33716bcc8b91aa7236c048298ce0a34f6aa)
순환군은 정수군 또는 그 몫군과 동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.
![{\displaystyle \langle g\rangle \cong {\begin{cases}Z&\operatorname {ord} g=\infty \\Z_{\operatorname {ord} g}&\operatorname {ord} g<\infty \end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76cd2a2986e25687dacc8c02c5683953b89acd5)
약수 관계
군의 유한 차수 원소
및 정수
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
![{\displaystyle g^{n}=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513178f309e0b90e3d3c501904e72b2d85950503)
![{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa1fca4e431ad35bdf240e161ce4f973dd5c33e)
- (⇐)
이라면,
인
가 존재하므로,
이다.
- (⇒)
이라면,
과
의 나머지 있는 나눗셈을
라고 하면,
이므로, 차수의 정의에 따라
이다. 즉,
이다.
지수가 유한한 군
및 정수
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle g^{n}=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513178f309e0b90e3d3c501904e72b2d85950503)
![{\displaystyle \exp G\mid n}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e49999d596a399ee6afc12c5677c24a071e683f)
- (⇐)
이라면,
인
가 존재하므로, 임의의
에 대하여,
이다.
- (⇒) 임의의
에 대하여
이라면, 임의의
에 대하여
이므로, 지수의 정의에 따라
이다.
유한군
에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid \exp G\mid |G|}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/effed6e86b38fd03863fe3368585522d0e9382c0)
군의 유한 차수 원소
및 정규 부분군
에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {ord} (gN)\mid \operatorname {ord} g}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba355bee7935bc473539e8906f30251800392e7)
![{\displaystyle (gN)^{\operatorname {ord} g}=g^{\operatorname {ord} g}N=N}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ed0584530ccccf0c328c8585f011a29277e481)
항등식
군의 유한 차수 원소
및 정수
에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {ord} g^{n}={\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfb601eab7db18323abf19f92e29a55377ccc43)
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
- 증명:
![{\displaystyle (g^{n})^{\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=(g^{\operatorname {ord} g})^{\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=1^{\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1c875473bb468d2abb53771c8936c3368217d2)
- 증명:
이므로,
이므로,
이므로, ![{\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid \operatorname {ord} g^{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45010380c45b3bc2baa15a7c5b10c147054b7c68)
군의 원소
가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
![{\displaystyle gh=hg}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4461890797327e523a5f611b3aeea0a3d40fe6b0)
![{\displaystyle \gcd\{\operatorname {ord} g,\operatorname {ord} h\}=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c31620892386659557f9e4e05d0c72261ebe58)
그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {ord} (gh)=\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a74b22e47ee96ddf20071f58204dd0381ad324)
반대로, 군의 원소
의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.
![{\displaystyle \operatorname {ord} x=mn\qquad (\gcd\{m,n\}=1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28743c3d544a28cf76eeb892a94731b94f005152)
그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는
가 존재한다.
![{\displaystyle x=gh=hg}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae634e1647a589193b7a5de99fc62e92c679c7b)
![{\displaystyle \operatorname {ord} g=m}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109649b987bb4753671fd6692b5b5b137af59e19)
![{\displaystyle \operatorname {ord} h=n}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1358e801255a26b6a98908f62f75713362597afb)
유한 아벨 군
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는
가 존재한다.
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle \operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} g}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/275d7d49c24d11a3c4e4e36d706854c6bf99f116)
즉, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \max _{g\in G}\operatorname {ord} g=\exp G}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acfe5e01ef54b5fa24a6750fb5bdd11c0c23bcb)
순환군
모든 순환군은 유한 생성 아벨 군이다.
군
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
는 소수이다.
는 순환 단순군이다.
는 아벨 단순군이다.
- 소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군:
가 소수라면, 라그랑주 정리에 따라, 그 부분군은
밖에 없으므로,
는 단순군이다.
를 취하자. 그렇다면,
이므로,
이다. 즉,
는 순환군이다.
- 순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군: 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다.
- 아벨 단순군 ⇒ 소수 크기의 군:
가 소수가 아니라고 가정하자.
가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로,
는 단순군이 아니며, 이는 모순이다.
가 순환군이 아닌 경우, 임의의
를 취하자. 그렇다면,
이며,
이므로,
는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다.
순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로,
의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle \langle g^{n}\rangle \qquad {\begin{cases}n\in \mathbb {Z} &\operatorname {ord} g=\infty \\n\mid \operatorname {ord} g&\operatorname {ord} g<\infty \end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279224bfb671881ed6a72a0f9904b392e0576de5)
순환군의 몫군 역시 순환군이다.
유한군
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 순환군이다.
- 임의의,
의 양의 약수
에 대하여,
이다.
- 임의의
에 대하여,
이다.
- (1) ⇒ (2): 순환군
의, 크기
의 부분군은
가 유일하다.
- (1) ⇐ (2): 임의의
에 대하여,
임을 증명하자. (여기서
는 오일러 피 함수이다.) 그렇다면, 특히
인
가 존재하므로,
는 순환군이다.
- 증명:
인
를 취하자. 그렇다면, (2)에 의하여
이므로,
인
가 존재한다. 차수 공식을 사용하면
를 얻는다. 즉, 구하려는 수는 0이거나
이다. 또한,
이므로, 구하려는 수는
이다.
- (1) ⇔ (3):: 쉴로브 정리를 사용하여 증명할 수 있다.
순환군
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
![{\displaystyle Z_{m}\oplus Z_{n}\cong Z_{mn}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14ffd2cc5f3f4c8a561806d04f3f8bb81e5cab06)
![{\displaystyle \gcd\{m,n\}=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b003267260261db83b1cf0a0789e3739adb33fb5)
- (⇐)
![{\displaystyle \operatorname {ord} (1\oplus 1)=\operatorname {ord} (1\oplus 0)\operatorname {ord} (0\oplus 1)=mn}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65bcfd2e6dcf2d37b46ebb781f90babeef1eddd8)
- (⇒) 만약
이라면,
이므로,
이다.
코시 정리에 따르면, 임의의 소인수
에 대하여,
인
가 존재한다.
유한 아벨 군의 분해
유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다.
가 아벨 유한 p-군,
가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면,
인
가 존재한다.
귀류법을 사용하여,
가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면,
이며,
이므로, 최소 차수 원소
를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.
- 증명: 그렇지 않다면,
(
)이며,
이므로,
이다.
(
)이라고 하자. 그렇다면,
이므로,
이다. 따라서,
이며,
인데, 이는
의 선택과 모순이다.
- 증명:
(
)라고 하자. 그렇다면,
인
가 존재하며,
이다. 이는 모순이다.
은 최대 차수 원소이다.
- 증명: 우선
이다.
라고 가정하면,
이므로,
이다. 이는 모순이다. 따라서
이며,
은 최대 차수 원소이다.
인
가 존재한다.
- 증명:
![{\displaystyle |G/\langle b\rangle |=|G|/p<|G|}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c8791da439f405e3bb46429fafa46819a8dbaa)
- 증명: 우선,
이므로,
이다. 또한,
이므로,
이며,
이다.