정상 집합

집합론에서 클럽 집합(club集合, 영어: club set)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "거의 대부분"을 포함하는 집합이며, 정상 집합(定常集合, 영어: stationary set)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "충분한 수"를 포함하여, 임의의 클럽 집합과 하나 이상의 원소를 공유하는 집합이다. 즉, 이 두 개념의 관계는 공집합이 아닌 열린집합과 조밀 집합의 관계와 같다.

정의

클럽 집합

극한 순서수 ${\displaystyle \alpha }$가 주어졌다고 하자. 부분 집합

${\displaystyle C\subseteq \alpha }$

가 다음 두 조건을 만족시키면 ${\displaystyle \alpha }$-클럽 집합(영어: ${\displaystyle \alpha }$-club set)이라고 한다.

• 순서 위상에 대하여 닫힌집합이다. 즉, 임의의 순서수 ${\displaystyle 0<\beta <\alpha }$에 대하여, ${\displaystyle \sup(C\cap \beta )=\beta }$라면, ${\displaystyle \beta \in C}$이다.
• ${\displaystyle \textstyle \sup _{\operatorname {Ord} }C=\alpha }$이다. 즉, 임의의 순서수 ${\displaystyle \beta <\alpha }$에 대하여, ${\displaystyle \beta <\beta '\in C}$가 존재한다.

정상 집합

임의의 기수 ${\displaystyle \kappa }$ 및 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$가 주어졌으며, ${\displaystyle \kappa }$의 공종도가 비가산이라고 하자.

만약 ${\displaystyle S}$와 임의의 ${\displaystyle \kappa }$-클럽 집합의 교집합이 공집합이 아니라면, ${\displaystyle S}$를 정상 집합이라고 한다.

성질

연산에 대한 닫힘

클럽 집합들은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 기수 ${\displaystyle \kappa }$ 및 두 ${\displaystyle \kappa }$-클럽 집합 ${\displaystyle C,C'\subseteq \kappa }$가 주어졌을 때, ${\displaystyle C\cap C'}$ 역시 ${\displaystyle \kappa }$-클럽 집합이다. 즉, 클럽 집합들은 필터 기저를 이루며, 클럽 집합을 포함하는 집합들은 필터를 이룬다. 이를 ${\displaystyle \kappa }$의 클럽 필터(영어: club filter)라고 한다.

클럽 집합과 정상 집합의 교집합은 정상 집합이다. 즉, 기수 ${\displaystyle \kappa }$ 및 ${\displaystyle \kappa }$-정상 집합 ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$와 ${\displaystyle \kappa }$-클럽 집합 ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$가 주어졌을 때, ${\displaystyle S\cap C}$ 역시 정상 집합이다.

솔로베이 분할

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 정칙 비가산 기수 ${\displaystyle \kappa }$
• 정상 집합 ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$

그렇다면, 솔로베이 정상 집합 분할 정리(Solovay定常集合分割定理, 영어: Solovay’s theorem on partitions of stationary sets)에 따르면, ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle \kappa }$개의 정상 집합들로 분할될 수 있다.

포도르 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 정칙 비가산 기수 ${\displaystyle \kappa }$
• 정상 집합 ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$
• 함수 ${\displaystyle f\colon S\to \kappa }$

또한, 다음이 성립한다고 하자.

• 임의의 ${\displaystyle 0<\alpha \in S}$에 대하여, ${\displaystyle f(\alpha )<\alpha }$

포도르 정리(영어: Fodor’s theorem)에 따르면, ${\displaystyle f|_{S'}=\alpha '}$인 정상 부분 집합 ${\displaystyle S'\subseteq S}$와 순서수 ${\displaystyle \alpha '<\kappa }$가 존재한다.^{[1]:Theorem 1.5}

말로 기수

${\displaystyle \kappa }$-정상 집합들의 모임을 ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{\kappa }}$로 표기하자.

기수의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Card} }$의 부분 모임 ${\displaystyle P\subseteq \operatorname {Card} }$에 대하여, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \kappa \in \operatorname {Mahlo} (P)\iff (\kappa \in P)\land (\kappa \cap P\in {\mathfrak {S}}_{\kappa })\land \operatorname {cf} (\kappa )>\omega }$

이를 말로 연산(Mahlo演算, 영어: Mahlo operation)이라고 한다.^[2]:18

기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 말로 기수(Mahlo基數, 영어: Mahlo cardinal)라고 한다.

• 만약 ${\displaystyle P}$가 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, ${\displaystyle \kappa \in \operatorname {Mahlo} (P)}$이다.^[2]:21
• 임의의 ${\displaystyle R\subseteq V_{\kappa }}$에 대하여, ${\displaystyle \langle V_{\alpha },\in ,R\cap V_{\alpha }\rangle \prec \langle V_{\kappa },\in ,R\rangle }$가 되는 도달 불가능한 기수 ${\displaystyle \alpha <\kappa }$가 존재한다.^{[2]:57, Proposition 6.2(b)}

여기서 ${\displaystyle V_{\alpha }}$는 폰 노이만 전체의 단계이며, ${\displaystyle \langle V_{\kappa },\in ,R\rangle }$는 이항 연산 ${\displaystyle \in }$과 상수 기호 ${\displaystyle R}$를 갖춘 구조이며, ${\displaystyle \prec }$는 기본 매장의 존재를 의미한다.

마찬가지로, 만약 ${\displaystyle P}$가 약하게 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, ${\displaystyle \operatorname {Mahlo} (P)}$의 원소를 약한 말로 기수(弱-Mahlo基數, 영어: weakly Mahlo cardinal)라고 한다.^[2]:17 일반화 연속체 가설을 가정한다면 약하게 도달 불가능한 기수의 개념은 도달 불가능한 기수의 개념과 일치하므로,^[2]:18 마찬가지로 약한 말로 기수의 개념은 말로 기수의 개념과 일치한다.

말로 연산은 다음과 같이 초한 귀납법으로 반복할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Mahlo} ^{\alpha }(P)={\begin{cases}\operatorname {Mahlo} (\operatorname {Mahlo} ^{\beta }(P))&\beta +1=\alpha \\P\cap \bigcap _{\beta <\alpha }\operatorname {Mahlo} ^{\beta }(P)&\nexists \beta \in \operatorname {Ord} \colon \beta +1=\alpha \end{cases}}}$

이를 사용하여, ${\displaystyle \alpha }$-말로 기수의 개념을 정의할 수 있다. 즉, 0-말로 기수는 도달 불가능한 기수이며, 1-말로 기수는 말로 기수이다.

말로 기수는 큰 기수의 일종이다. 즉, 말로 기수의 존재 또는 부재는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리(ZFC)로부터 증명할 수 없다. (이는 물론 ZFC가 무모순적이라는 것을 전제로 한다.)

기수에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. (즉, 이는 무모순성 관계보다 더 강하다.)

도달 불가능한 기수 ⇐ 말로 기수 ⇐ 약콤팩트 기수 ⇐ 강콤팩트 기수

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^[3]:§9

${\displaystyle \operatorname {Inaccble} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Inaccble} )\supseteq \operatorname {Measble} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Measble} )\supseteq \operatorname {Supercomp} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Supercomp} )\supseteq \operatorname {Extble} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Extble} )\supseteq \operatorname {Superhuge} }$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {Inaccble} }$: 도달 불가능한 기수의 모임
• ${\displaystyle \operatorname {Measble} }$: 가측 기수의 모임
• ${\displaystyle \operatorname {Supercomp} }$: 초콤팩트 기수의 모임
• ${\displaystyle \operatorname {Extble} }$: 확장 가능 기수(영어: extendible cardinal)의 모임
• ${\displaystyle \operatorname {Superhuge} }$: 초거대 기수(영어: superhuge cardinal)의 모임

다이아몬드 원리

기수 ${\displaystyle \kappa }$ 및 ${\displaystyle \kappa }$-정상 집합 ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$에 대하여, ${\displaystyle (\kappa ,S)}$-다이아몬드 집합렬(영어: ${\displaystyle (\kappa ,S)}$-diamond sequence) ${\displaystyle A\colon S\to {\mathcal {P}}(\kappa )}$은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

• 임의의 ${\displaystyle \alpha \in S}$에 대하여, ${\displaystyle A_{\alpha }\subseteq \alpha }$
• 임의의 ${\displaystyle T\subseteq \kappa }$에 대하여, ${\displaystyle \{\alpha \in S\colon T\cap \alpha =A_{\alpha }\}}$는 ${\displaystyle \kappa }$-정상 집합이다.

${\displaystyle (\kappa ,S)}$-다이아몬드 원리(${\displaystyle (\kappa ,S)}$-diamond原理, 영어: ${\displaystyle (\kappa ,S)}$-diamond principle) ${\displaystyle \diamondsuit _{\kappa }(S)}$는 ${\displaystyle (\kappa ,S)}$-다이아몬드 집합렬이 존재한다는 명제이다.^[4]

${\displaystyle \diamondsuit _{\omega _{1}}(\omega _{1})}$은 흔히 다이아몬드 원리 ${\displaystyle \diamondsuit }$라고 표기한다.

구성 가능성 공리는 다이아몬드 원리를 함의하며, 다이아몬드 원리는 수슬린 가설의 부정 및 연속체 가설을 함의한다.

${\displaystyle V=L\implies \diamondsuit \implies (\lnot {\mathsf {SH}}\land {\mathsf {CH}})}$

즉, 이는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리로 증명하거나 반증할 수 없다.

역사

1911년에 프리드리히 파울 말로(독일어: Friedrich Paul Mahlo, 1883~1971)가 약한 말로 기수의 개념을 "ρ₀-수"(독일어: ρ₀-Zahl)라는 이름으로 1911년에 도입하였다.^[5][6][7]

정상 집합의 개념은 제라르 블로크(프랑스어: Gérard Bloch)가 1953년에 도입하였다.^[8][1]:§1.1

포도르 정리는 포도르 게저(헝가리어: Fodor Géza, 1927~1977)가 1956년에 증명하였다.^[9] 솔로베이 정상 집합 분할 정리는 로버트 솔로베이가 1971년에 증명하였다.^[10]

다이아몬드 원리는 로널드 비언 젠슨(영어: Ronald Björn Jensen, 1936~)이 1972년에 도입하였다.^[11]

"클럽 집합"(영어: club set)이라는 이름은 영어로 "닫힌집합이자 비유계 집합"(영어: closed and unbounded)의 머리글자를 딴 것이다.^{[1]:Definition 1.1}

각주

1. Jech, Thomas (2010). 〈Stationary sets〉 (PDF). Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro. 《Handbook of set theory》 (영어). Springer-Verlag. 93–128쪽. doi:10.1007/978-1-4020-5764-9_2. ISBN 978-1-4020-4843-2. 2016년 4월 19일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 7월 11일에 확인함.
2. Kanamori, Akihiro (2003). 《The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-88867-3. ISBN 978-3-540-88866-6. ISSN 1439-7382. Zbl 1022.03033. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
3. Shulman, Michael A. (2008). “Set theory for category theory” (영어). arXiv:0810.1279. Bibcode:2008arXiv0810.1279S.
4. Rinot, Assaf (2011). 〈Jensen’s diamond principle and its relatives〉. Babinkostova, L.; Caicedo, A. E.; Geschke, S.; Scheepers, M. 《Set Theory and Its Applications》. Contemporary Mathematics (영어) 533. arXiv:0911.2151. Bibcode:2009arXiv0911.2151R. doi:10.1090/conm/533/10506. ISBN 978-0-8218-4812-8. MR 2777747.
5. Mahlo, Paul (1911). “Über lineare transfinite Mengen”. 《Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse》 (독일어) 63: 187–225. Zbl 42.0090.02.
6. Mahlo, Paul (1912). “Zur Theorie und Anwendung der ρ₀-Zahlen”. 《Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse》 (독일어) 64: 108–112. Zbl 43.0113.01.
7. Mahlo, Paul (1913). “Zur Theorie und Anwendung der ρ₀-Zahlen II”. 《Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse》 (독일어) 65: 268–282. JFM 44.0092.02.
8. Bloch, Gérard (1953). “Sur les ensembles stationnaires de nombres ordinaux et les suites distinguées de fonctions régressives”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 236: 265–268.
9. Fodor, G. (1956). “Eine Bemerkung zur Theorie der regressiven Funktionen”. 《Acta Scientiarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis》 (독일어) 17: 139-142. 2016년 8월 16일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 11일에 확인함.
10. Solovay, Robert M. (1971). 〈Real-valued measurable cardinals〉. Scott, Dana S. 《Axiomatic set theory. Part 1》. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (영어) 13.1. American Mathematical Society. 397–428쪽. doi:10.1090/pspum/013.1/0290961. MR 0290961.
11. Jensen, Ronald Björn (1972). “The fine structure of the constructible hierarchy”. 《Annals of Mathematical Logic》 (영어) 4: 229–308. doi:10.1016/0003-4843(72)90001-0. MR 0309729.

외부 링크

• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Mahlo cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2016년 4월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 11일에 확인함.
• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Club sets and stationary sets”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2016년 4월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 11일에 확인함.
• Lipton, Richard J.; Regan, Kenneth W. (2015년 12월 16일). “A game on infinite trees”. 《Gödel’s Lost Letter and P=NP》 (영어).
• “What is the idea behind stationary sets?” (영어). Math Overflow.