정상 집합

집합론에서 클럽 집합(club集合, 영어: club set)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "거의 대부분"을 포함하는 집합이며, 정상 집합(定常集合, 영어: stationary set)은 주어진 순서수보다 작은 순서수들 가운데 "충분한 수"를 포함하여, 임의의 클럽 집합과 하나 이상의 원소를 공유하는 집합이다. 즉, 이 두 개념의 관계는 공집합이 아닌 열린집합과 조밀 집합의 관계와 같다.

정의

클럽 집합

극한 순서수 ${\displaystyle \alpha }$가 주어졌다고 하자. 부분 집합

${\displaystyle C\subseteq \alpha }$

가 다음 두 조건을 만족시키면 ${\displaystyle \alpha }$-클럽 집합(영어: ${\displaystyle \alpha }$-club set)이라고 한다.

• 순서 위상에 대하여 닫힌집합이다. 즉, 임의의 순서수 ${\displaystyle 0<\beta <\alpha }$에 대하여, ${\displaystyle \sup(C\cap \beta )=\beta }$라면, ${\displaystyle \beta \in C}$이다.
• ${\displaystyle \textstyle \sup _{\operatorname {Ord} }C=\alpha }$이다. 즉, 임의의 순서수 ${\displaystyle \beta <\alpha }$에 대하여, ${\displaystyle \beta <\beta '\in C}$가 존재한다.

정상 집합

임의의 기수 ${\displaystyle \kappa }$ 및 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$가 주어졌으며, ${\displaystyle \kappa }$의 공종도가 비가산이라고 하자.

만약 ${\displaystyle S}$와 임의의 ${\displaystyle \kappa }$-클럽 집합의 교집합이 공집합이 아니라면, ${\displaystyle S}$를 정상 집합이라고 한다.

성질

연산에 대한 닫힘

클럽 집합들은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 기수 ${\displaystyle \kappa }$ 및 두 ${\displaystyle \kappa }$-클럽 집합 ${\displaystyle C,C'\subseteq \kappa }$가 주어졌을 때, ${\displaystyle C\cap C'}$ 역시 ${\displaystyle \kappa }$-클럽 집합이다. 즉, 클럽 집합들은 필터 기저를 이루며, 클럽 집합을 포함하는 집합들은 필터를 이룬다. 이를 ${\displaystyle \kappa }$의 클럽 필터(영어: club filter)라고 한다.

클럽 집합과 정상 집합의 교집합은 정상 집합이다. 즉, 기수 ${\displaystyle \kappa }$ 및 ${\displaystyle \kappa }$-정상 집합 ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$와 ${\displaystyle \kappa }$-클럽 집합 ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$가 주어졌을 때, ${\displaystyle S\cap C}$ 역시 정상 집합이다.

솔로베이 분할

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 정칙 비가산 기수 ${\displaystyle \kappa }$
• 정상 집합 ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$

그렇다면, 솔로베이 정상 집합 분할 정리(Solovay定常集合分割定理, 영어: Solovay’s theorem on partitions of stationary sets)에 따르면, ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle \kappa }$개의 정상 집합들로 분할될 수 있다.

포도르 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 정칙 비가산 기수 ${\displaystyle \kappa }$
• 정상 집합 ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$
• 함수 ${\displaystyle f\colon S\to \kappa }$

또한, 다음이 성립한다고 하자.

• 임의의 ${\displaystyle 0<\alpha \in S}$에 대하여, ${\displaystyle f(\alpha )<\alpha }$

포도르 정리(영어: Fodor’s theorem)에 따르면, ${\displaystyle f|_{S'}=\alpha '}$인 정상 부분 집합 ${\displaystyle S'\subseteq S}$와 순서수 ${\displaystyle \alpha '<\kappa }$가 존재한다.^{[1]:Theorem 1.5}

말로 기수

${\displaystyle \kappa }$-정상 집합들의 모임을 ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{\kappa }}$로 표기하자.

기수의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Card} }$의 부분 모임 ${\displaystyle P\subseteq \operatorname {Card} }$에 대하여, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \kappa \in \operatorname {Mahlo} (P)\iff (\kappa \in P)\land (\kappa \cap P\in {\mathfrak {S}}_{\kappa })\land \operatorname {cf} (\kappa )>\omega }$

이를 말로 연산(Mahlo演算, 영어: Mahlo operation)이라고 한다.^[2]:18

기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 말로 기수(Mahlo基數, 영어: Mahlo cardinal)라고 한다.

• 만약 ${\displaystyle P}$가 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, ${\displaystyle \kappa \in \operatorname {Mahlo} (P)}$이다.^[2]:21
• 임의의 ${\displaystyle R\subseteq V_{\kappa }}$에 대하여, ${\displaystyle \langle V_{\alpha },\in ,R\cap V_{\alpha }\rangle \prec \langle V_{\kappa },\in ,R\rangle }$가 되는 도달 불가능한 기수 ${\displaystyle \alpha <\kappa }$가 존재한다.^{[2]:57, Proposition 6.2(b)}

여기서 ${\displaystyle V_{\alpha }}$는 폰 노이만 전체의 단계이며, ${\displaystyle \langle V_{\kappa },\in ,R\rangle }$는 이항 연산 ${\displaystyle \in }$과 상수 기호 ${\displaystyle R}$를 갖춘 구조이며, ${\displaystyle \prec }$는 기본 매장의 존재를 의미한다.

마찬가지로, 만약 ${\displaystyle P}$가 약하게 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, ${\displaystyle \operatorname {Mahlo} (P)}$의 원소를 약한 말로 기수(弱-Mahlo基數, 영어: weakly Mahlo cardinal)라고 한다.^[2]:17 일반화 연속체 가설을 가정한다면 약하게 도달 불가능한 기수의 개념은 도달 불가능한 기수의 개념과 일치하므로,^[2]:18 마찬가지로 약한 말로 기수의 개념은 말로 기수의 개념과 일치한다.

말로 연산은 다음과 같이 초한 귀납법으로 반복할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Mahlo} ^{\alpha }(P)={\begin{cases}\operatorname {Mahlo} (\operatorname {Mahlo} ^{\beta }(P))&\beta +1=\alpha \\P\cap \bigcap _{\beta <\alpha }\operatorname {Mahlo} ^{\beta }(P)&\nexists \beta \in \operatorname {Ord} \colon \beta +1=\alpha \end{cases}}}$

이를 사용하여, ${\displaystyle \alpha }$-말로 기수의 개념을 정의할 수 있다. 즉, 0-말로 기수는 도달 불가능한 기수이며, 1-말로 기수는 말로 기수이다.

말로 기수는 큰 기수의 일종이다. 즉, 말로 기수의 존재 또는 부재는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리(ZFC)로부터 증명할 수 없다. (이는 물론 ZFC가 무모순적이라는 것을 전제로 한다.)

기수에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. (즉, 이는 무모순성 관계보다 더 강하다.)

도달 불가능한 기수 ⇐ 말로 기수 ⇐ 약콤팩트 기수 ⇐ 강콤팩트 기수

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^[3]:§9

${\displaystyle \operatorname {Inaccble} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Inaccble} )\supseteq \operatorname {Measble} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Measble} )\supseteq \operatorname {Supercomp} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Supercomp} )\supseteq \operatorname {Extble} \supseteq \operatorname {Mahlo} (\operatorname {Extble} )\supseteq \operatorname {Superhuge} }$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {Inaccble} }$: 도달 불가능한 기수의 모임
• ${\displaystyle \operatorname {Measble} }$: 가측 기수의 모임
• ${\displaystyle \operatorname {Supercomp} }$: 초콤팩트 기수의 모임
• ${\displaystyle \operatorname {Extble} }$: 확장 가능 기수(영어: extendible cardinal)의 모임
• ${\displaystyle \operatorname {Superhuge} }$: 초거대 기수(영어: superhuge cardinal)의 모임

다이아몬드 원리

기수 ${\displaystyle \kappa }$ 및 ${\displaystyle \kappa }$-정상 집합 ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$에 대하여, ${\displaystyle (\kappa ,S)}$-다이아몬드 집합렬(영어: ${\displaystyle (\kappa ,S)}$-diamond sequence) ${\displaystyle A\colon S\to {\mathcal {P}}(\kappa )}$은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

• 임의의 ${\displaystyle \alpha \in S}$에 대하여, ${\displaystyle A_{\alpha }\subseteq \alpha }$
• 임의의 ${\displaystyle T\subseteq \kappa }$에 대하여, ${\displaystyle \{\alpha \in S\colon T\cap \alpha =A_{\alpha }\}}$는 ${\displaystyle \kappa }$-정상 집합이다.

${\displaystyle (\kappa ,S)}$-다이아몬드 원리(${\displaystyle (\kappa ,S)}$-diamond原理, 영어: ${\displaystyle (\kappa ,S)}$-diamond principle) ${\displaystyle \diamondsuit _{\kappa }(S)}$는 ${\displaystyle (\kappa ,S)}$-다이아몬드 집합렬이 존재한다는 명제이다.^[4]

${\displaystyle \diamondsuit _{\omega _{1}}(\omega _{1})}$은 흔히 다이아몬드 원리 ${\displaystyle \diamondsuit }$라고 표기한다.

구성 가능성 공리는 다이아몬드 원리를 함의하며, 다이아몬드 원리는 수슬린 가설의 부정 및 연속체 가설을 함의한다.

${\displaystyle V=L\implies \diamondsuit \implies (\lnot {\mathsf {SH}}\land {\mathsf {CH}})}$

즉, 이는 체르멜로-프렝켈 집합론+선택 공리로 증명하거나 반증할 수 없다.

역사

1911년에 프리드리히 파울 말로(독일어: Friedrich Paul Mahlo, 1883~1971)가 약한 말로 기수의 개념을 "ρ₀-수"(독일어: ρ₀-Zahl)라는 이름으로 1911년에 도입하였다.^[5][6][7]

정상 집합의 개념은 제라르 블로크(프랑스어: Gérard Bloch)가 1953년에 도입하였다.^[8][1]:§1.1

포도르 정리는 포도르 게저(헝가리어: Fodor Géza, 1927~1977)가 1956년에 증명하였다.^[9] 솔로베이 정상 집합 분할 정리는 로버트 솔로베이가 1971년에 증명하였다.^[10]

다이아몬드 원리는 로널드 비언 젠슨(영어: Ronald Björn Jensen, 1936~)이 1972년에 도입하였다.^[11]

"클럽 집합"(영어: club set)이라는 이름은 영어로 "닫힌집합이자 비유계 집합"(영어: closed and unbounded)의 머리글자를 딴 것이다.^{[1]:Definition 1.1}