대수학 및 대수적 수론에서 절댓값(絶對값, 영어: absolute value)은 정역의 원소의 크기를 측정하는 실수 함수이다. 초등 수학에서의 절댓값을 일반화한다.
정역 위의 절댓값은 다음 조건들을 만족시키는 함수 이다.[1]:116, Definition 3.1
- 임의의 에 대하여,
- 임의의 에 대하여,
- (삼각 부등식) 임의의 에 대하여,
정역 위의 절댓값은 그 분수체 위로 다음과 같이 확장할 수 있다.
절댓값을 갖춘 정역 위에는 다음과 같이 거리 함수를 정의하여, 거리 공간으로 만들 수 있다.
절댓값의 공리에 따라, 이다. 또한, 다음이 성립함을 보일 수 있다.
비아르키메데스 절댓값
정역 위의 절댓값 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 절댓값을 비아르키메데스 절댓값(영어: non-Archimedean absolute value)이라고 한다.
- (초거리 부등식) 임의의 에 대하여,
- 이 유계 집합이다.
비아르키메데스 절댓값이 아닌 절댓값을 아르키메데스 절댓값(영어: Archimedean absolute value)이라고 한다.
비아르키메데스 절댓값의 로그를 취하면, 는 값매김을 이룬다. 반대로, 실수 덧셈군(의 부분군)을 값군으로 갖는 값매김 가 주어졌다면, 그 지수 함수 는 비아르키메데스 절댓값을 이룬다.
비아르키메데스 절댓값 을 갖춘 체 에 대하여, 절댓값이 1 이하인 원소들은 값매김환을 이룬다. 이를 의 에 대한 정수환(영어: ring of integers)이라고 한다.
임의의 정역 위의 자명 절댓값(영어: trivial absolute value)은 다음과 같다.
유리수체와 실수체, 복소수체의 경우, 초등 수학의 절댓값은 대수적 절댓값을 이룬다.
대수적 수체
오스트롭스키 정리(Островский定理, 영어: Ostrowski theorem)에 따르면, 대수적 수체 위의 자리들의 목록은 다음과 같다.
- 자명 절댓값 과 동치인 자리. 이를 자명 자리(영어: trivial place)라고 한다.
- 대수적 정수환 의 소 아이디얼 에 대하여, 진 절댓값의 자리. 이를 유한 자리(영어: finite place)라고 한다.
- 실수로의 매장 에 대하여, . 여기서 는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 실 무한 자리(영어: real infinite place)라고 한다.
- 복소수로의 매장 에 대하여 (), . 여기서 는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, 와 는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 복소 무한 자리(영어: complex infinite place)라고 한다.
예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다.
- 자명 자리
- 소수 에 대하여, 진 자리
- 하나의 실 무한 자리
겔판트-토른하임 정리(Гельфанд-Tornheim定理, 영어: Gelfand–Tornheim theorem)에 따르면, 아르키메데스 절댓값을 갖는 임의의 체는 복소수체의 부분체이며, 아르키메데스 절댓값은 이 복소 매장에 의하여 유도되는 절댓값과 동치이다.
대수적 수체 의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환들의 교집합이다.[2]:192
퀴르샤크 요제프가 1913년에 도입하였다.[3]