角速度

「角周波数」とは異なります。

運動学において、角速度（かくそくど、英: angular velocity）は、ある点をまわる回転運動の速度を、単位時間に進む角度によって表わした物理量である。言い換えれば角速度とは、原点と物体を結ぶ線分、すなわち動径が向く角度の時間変化量である。特に等速円運動する物体の角速度は、物体の速度を円の半径で割ったものとして与えられる^[1]。従って角速度の量の次元^{[注 1]}は、通常の並進運動の速度とは異なり^{[注 2]}、時間の逆数 T⁻¹ となる。

角速度 angular velocity
量記号	ω
次元	T−1
種類	擬ベクトル
SI単位	ラジアン毎秒 (rad/s)

古典力学
${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})}$ 運動の第2法則
歴史（英語版）
分野 静力学  · 動力学 / 物理学における動力学  · 運動学  · 応用力学  · 天体力学  · 連続体力学  · 統計力学 定式化 ニュートン力学 解析力学: ラグランジュ力学 ハミルトン力学 基本概念 空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 基準系 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理 主要項目 剛体 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転 · 円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度 科学者 ニュートン · ケプラー · ホロックス · オイラー · ダランベール · クレロー · ラグランジュ · ラプラス · ハミルトン · ポアソン
表 話 編 歴

円運動する物体に対する角速度ベクトル Ω と位置ベクトル r、速度ベクトル v の関係。それぞれのベクトルは互いに直交している。

概要

角速度の単位は角度の単位と時間の単位の比によって表わされる。例えば国際単位系においては、角度の単位はラジアン (rad)、時間の単位は秒 (s) であるため、角速度の単位はラジアン毎秒 (rad/s) となる。角速度を表す記号としてはしばしばギリシア文字の ω や Ω が用いられる^[2]。

角速度が関係する物理現象としては例えば遠心力やコリオリ力がある。

角速度は、ある座標系における動径の角度の時間微分であるが、角速度の時間微分は角加速度と呼ばれる。また角速度の時間積分はある時刻間における回転角を与える。

角速度の「向き」と「大きさ」

角速度は物体が回転運動する平面に対して時計回りか反時計回りかいずれか一つの方向を正とし、他方を負とするように定義される。また符号の正負は、幾何学的には角速度の向きに対応づけることができる。標準的に用いられる右手系の座標系では、角速度の符号は反時計回りを正として定義され、角速度の向きは右手の法則に従い、回転面が反時計回りに見える方向を向くように定められる。

角速度はしばしばスカラーやベクトルとして扱われるが、鏡映反転により向きが変ってしまう^{[注 3]}などの性質から、厳密にいえば擬スカラーや擬ベクトルとして扱われる。2次元空間上では回転平面の軸は一つに限られるため、角速度は擬スカラーとなり、3次元空間においては回転平面の軸は自由な方向を向くことができるため、角速度は擬ベクトルとなる^{[注 4]}。

また、角速度の絶対値（またはノルム）をしばしば角速度の大きさと呼ぶが、文脈によっては、角速度の大きさを含めて単に「角速度」と呼ぶことがある。

定義

質点の位置ベクトルを r、速度ベクトルを v とするとき、質点の原点まわりの角速度 ω は

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{r^{2}}}{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}$

と定義される。ここで r は位置ベクトルの大きさ |r| であり、× はベクトル積を表す。この定義は以下のように示される。

時刻 t と t′ における質点の位置ベクトルをそれぞれ r、r′ とする。これらのなす角度を φ とすれば

${\displaystyle |{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {r}}'|=r\,r'\sin \phi }$

である。時間の間隔 Δt = t' − t が小さいときに

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}'={\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {v}}\Delta t+O(\Delta t^{2})}$

${\displaystyle r'=r+O(\Delta t)}$

${\displaystyle \sin \phi =\omega \Delta t+O(\Delta t^{2})}$

であることから、ベクトル積に関する恒等式 r × r ≡ 0を用いれば

${\displaystyle |{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|\Delta t+O(\Delta t^{2})=r^{2}\omega \Delta t+O(\Delta t^{2})}$

が得られ、上式両辺における Δt の1次の項を比較して

${\displaystyle |{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|=r^{2}\omega }$

が導かれる。回転角 φ = ωΔt の向きを回転軸の方向（すなわち右ねじの進む方向）に一致するように定めると^[3]、定義式が導かれる。

剛体回転

位置ベクトルと角速度のベクトル積は、三重積の公式から

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {v}}-{\frac {\boldsymbol {r}}{r^{2}}}({\boldsymbol {r}}\cdot {\boldsymbol {v}})}$

となる。動径方向の単位ベクトル e_r = r/r を導入すれば

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{r}{\boldsymbol {e}}_{r}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}}$

である。動径方向の速度成分を持たないとき、すなわち原点からの距離が変化しないとき

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}}$

となる。特に原点を固定点とする剛体回転では、単一の角速度によってすべての粒子の速度が同じ形で表される。

注釈

1. 物理学などの文献においては、文脈上紛れがない限り、単に「次元」と呼ばれる。
2. 速度の次元は長さ L に時間 T の逆数を掛けた L⋅T⁻¹ である。
3. z軸周りの回転運動を表わす角速度はz軸成分しかもたないため、真にベクトルであるならばx-z面を鏡映面とする鏡映反転により不変に保たれるはずであるが、鏡映反転により回転運動の方向は反転されるため、z軸成分の符号が反転する。
4. より高次元の空間を含む n 次元空間に対して統一的に使える方法としては、自由度 1/2n(n − 1) の二階反対称テンソルとして表わす方法がある。

出典

1. 江沢 2005, p. 42, §6 曲線運動.
2. 例えば ω について 江沢 2005, p. 42、新井 2003, p. 167 など。Ω について 江沢 2005, p. 254、ランダウ & リフシッツ 1974, p. 121 など。後者は特に運動座標系に対する一般の角速度に対して用いられている。
3. ランダウ & リフシッツ 1974, p. 21, §9 角運動量.

参考文献

• 江沢, 洋『力学 ― 高校生・大学生のために』（初版）日本評論社、2005年2月20日。ISBN 4-535-78501-5。

• ランダウ, レフ、リフシッツ, エフゲニー『力学』広重, 徹 (訳); 水戸, 巌 (訳)（増訂第3版）、東京図書〈理論物理学教程〉、1974年10月1日。ISBN 978-4-489-01160-3。

• 新井, 朝雄『物理現象の数学的諸原理 ― 現代数理物理学入門』共立出版、2003年2月20日。ISBN 4-320-01726-9。
• 長倉, 三郎、井口, 洋夫、江沢, 洋、岩村, 秀、佐藤, 文隆、久保, 亮五『岩波理化学辞典』（第5版）岩波書店、1998年2月20日。

関連項目

• 角周波数
• 回転速度
• 角運動量
• 角加速度
• 回転運動
• 振動運動
• CAV
• ジャイロスコープ（角速度センサ）

• 角速度の比較

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