命数法

命数法（めいすうほう、英語: Numeral system, または system of numeration）とは、数を名付ける法、即ち与えられた数を表わすための、一連の方式・規則・対応である。

概要

命数法とは、数値を表すときの数詞の体系^[1]であり、言語により異なる。例えば、1桁の数値では「四の次」を表す数詞(5)を、日本語では「五」、英語では"five"（ファイブ）、ドイツ語では"fünf"、ラテン語では"quinque"という。同じく、十進数における「十の四乗」を表す数(10,000)を、日本語では「一万」、英語では"ten thousand"（テン・サウザンド、十千）と呼ぶ。これらの組み合わせにより任意の数値を表すことができる。言語により同じ数値命数法のうち、数字を用いて数を表す方法を記数法という。

命数には、一般に「一」や「三」など自然数を表す数詞、「零」など無を表す数詞、「百」や「千」など何かの冪乗を表す数詞とがある。

位取りは十進法が圧倒的に多いが、十進法に囚われる必要は無く、十二進法や二十進法も散見される。十を超える数で、十進法から独立している数詞として、十二を意味する"dozen"（日本語ではダース）や"打"（→zh:打）、百四十四を意味する"gross"（グロス）、千七百二十八を意味する"great gross"、二十を意味する"score"（スコア）や"vingt"（フランス語）や"廿"や"kal"（マヤ数詞、以下同じ）、四百を意味する"bak"、八千を意味する"pic"などがある。

以下の記述においては、まず大数の命数法と小数の命数法に大別して解説する。

大数の命数法

万進法系の命数法

中国に由来する漢数字では、以下の数詞で大数を示す。

一、十、百、千、万、億、兆、京、…

中国の算術書である後漢の徐岳『数術記遺（中国語版）』や北周の甄鸞『五経算術（中国語版）』に、大数の単位が記されているが、当時は載までであり、また𥝱は本来は秭であり、それが日本の『塵劫記』で字形が変化したものである。これらの文献によると、万より大きい数詞の示す値には3種類あり、統一されていなかった。下数、中数、上数である^[2]。

当初は万（10⁴）を区切りとして十万（10⁵）、百万（10⁶）、千万（10⁷）まで表していた。これとは別に、万から1桁ごとに億（10⁵）、兆（10⁶）、と名付けていた。これを下数（かすう）と呼ぶ。

漢代あたりから、上数（じょうすう）が文献に記載され始めた。数詞が表す位の2乗が次の数詞となる。万万が億（10⁸）であるのは今日と同じであるが、次は億億が兆（10¹⁶）、兆兆が京（10³²）となる。実際に使われたことはないようであり、数学書では用いられていない。

その後、千万の次を億とし、十億（10⁹）、百億（10¹⁰）と続けていく方法が考案された。これを中数（ちゅうすう）という。ただし、初期の数学書に示されている中数は万万（10⁸）倍ごとに新たな名称をつける方式であった。すなわち、千億（10¹¹）、万億（10¹²）、十万億（10¹³）と続き、億の万万倍を兆（10¹⁶）、兆の万万倍を京（10²⁴）とする。これを万万進という。後に、万倍ごと、すなわち万万を億、万億を兆（10¹²）とする万進（まんしん、万進法（まんしんほう））に移行した。

元の朱世傑による算学啓蒙で初めて、極以上の単位（そのうち恒河沙以上は仏教に由来する名称）が加わったが、当時不可思議の上は無量大数ではなく無量数であり、明の程大位による算法統宗でも同様であった。極以上の単位は基本的に中数（万進・万万進）のみで使われ、下数や上数で使われることはなかったが、ただ日本の『塵劫記』初版で極以下を下数としており、それによれば極は10¹⁵ということになる。

日本では、1627年（寛永4年）の『塵劫記』の初版において初めて大きな数が登場するが^[3]、極以下が下数、恒河沙以上を万万進の中数（恒河沙＝10²³、阿僧祇＝10³¹、那由他＝10³⁹、不可思議＝10⁴⁷）としていた。1631年（寛永8年）の版では極以下が万進（恒河沙以上は万万進のまま）に改められ、それとともに算学啓蒙・算法統宗にあった不可思議の上の無量数も無量大数という名称として組み込まれた。そして1634年（寛永11年）の版ではすべて万進に統一された。今日でも万進だけが使用されている。

読み方の例を以下に示す。

• 1 0000 : 一万 (いちまん)
• 983 6703 : 九百八十三万 六千七百三 (きゅうひゃくはちじゅうさんまん ろくせんななひゃくさん)
• 20 3652 1801 : 二十億 三千六百五十二万 千八百一 (にじゅうおく さんぜんろっぴゃくごじゅうにまん せんはっぴゃくいち)

アラビア数字が使われる場合は、英語のように3桁ごとにコンマが入れられる。アラビア数字と漢数字が同時に使われる場合は、1万以下の数字についてアラビア数字の書き方が使われる場合がある（例: 25,000,000を2,500万と表記する場合)。

大きな数字が漢字で表されるときは、ほとんどの場合でゼロが省かれる。例えば、4002はゼロを表す中国語での「四千零二」ではなく、四千二と表されることが多い。ただし、決算書を読み上げる場合、読まない桁は、「飛び」または「飛んで」で示される場合がある。例えば、通常の「よんせんに」の代わりに、「よんせんとびに」または「よんせんとんでに」のようにもなる。

中国では、近代まで万万進と万進が混用されたままであった。それに加えて、メートル法の接頭語のメガ（10⁶）に「兆」（下数における 10⁶）の字をあてたため、さらに混乱が生じた。今日では、「億」は中数の 10⁸、「兆」は下数の 10⁶ の意味となっており、兆より億の方が大きくなっている。日本でいう兆（10¹²）は「万億」といい、京以上については、例えば 10¹⁶ は「万万億」または「億億」のように呼んでいる。台湾（植民地時代）と朝鮮半島（併合時）は、日本の命数法（万進）が導入されていたので、兆は 10¹² であるが、京以上の命数はほとんど用いられていない。

ベトナムでは西洋式に3桁ずつ新しい名称が使われるが、10⁶を「triệu」（兆）、10⁹を「tỷ」（秭）と呼ぶ。これは下数にあたる。

『塵劫記』での命数は以下のようになっている^[4]。

位の大きなものの名称については版によって相違がある。併記した記数は万進による。

塵劫記（寛永11年版）での命数（日本の現行方式）

数詞	読み	数	10000m	一（いち）	十（じゅう）	百（ひゃく）	千（せん）	補足
				一 100	十 101	百 102	千 103
万	まん	104	100001	一万 104	十万 105	百万 106	千万 107
億	おく	108	100002	一億 108	十億 109	百億 1010	千億 1011
兆	ちょう	1012	100003	一兆 1012	十兆 1013	百兆 1014	千兆 1015
京	けい	1016	100004	一京 1016	十京 1017	百京 1018	千京 1019	（きょう）
垓	がい	1020	100005	一垓 1020	十垓 1021	百垓 1022	千垓 1023
𥝱	じょ	1024	100006	一𥝱 1024	十𥝱 1025	百𥝱 1026	千𥝱 1027	秭（し）
穣	じょう	1028	100007	一穣 1028	十穣 1029	百穣 1030	千穣 1031
溝	こう	1032	100008	一溝 1032	十溝 1033	百溝 1034	千溝 1035
澗	かん	1036	100009	一澗 1036	十澗 1037	百澗 1038	千澗 1039
正	せい	1040	1000010	一正 1040	十正 1041	百正 1042	千正 1043
載	さい	1044	1000011	一載 1044	十載 1045	百載 1046	千載 1047
極	ごく	1048	1000012	一極 1048	十極 1049	百極 1050	千極 1051
恒河沙	ごうがしゃ	1052	1000013	一恒河沙 1052	十恒河沙 1053	百恒河沙 1054	千恒河沙 1055
阿僧祇	あそうぎ	1056	1000014	一阿僧祇 1056	十阿僧祇 1057	百阿僧祇 1058	千阿僧祇 1059
那由他	なゆた	1060	1000015	一那由他 1060	十那由他 1061	百那由他 1062	千那由他 1063
不可思議	ふかしぎ	1064	1000016	一不可思議 1064	十不可思議 1065	百不可思議 1066	千不可思議 1067
無量大数	むりょうたいすう	1068	1000017	一無量大数 1068	十無量大数 1069	百無量大数 1070	千無量大数 1071

以下の表に各方式での大数の命数法を示す。

各方式での大数の命数法

名称	下数	中数（万進・日本の現行方式）	塵劫記寛永8年版	中数（万万進）	上数
十	101	101	101	101	101
百	102	102	102	102	102
千	103	103	103	103	103
万	104	104	104	104	104
億	105	108	108	108	108
兆	106	1012	1012	1016	1016
京	107	1016	1016	1024	1032
垓	108	1020	1020	1032	1064
秭（𥝱）	109	1024	1024	1040	10128
穣	1010	1028	1028	1048	10256
溝	1011	1032	1032	1056	10512
澗	1012	1036	1036	1064	101024
正	1013	1040	1040	1072	102048
載	1014	1044	1044	1080	104096
極	1015（塵劫記初版）	1048	1048	1088	-
恒河沙	-	1052	1056	1096	-
阿僧祇	-	1056	1064	10104	-
那由他	-	1060	1072	10112	-
不可思議	-	1064	1080	10120	-
無量数（無量大数）	-	1068	1088	10128	-

なお、無量大数を「無量」と「大数」に分けて説明しているものもあるが、これは『塵劫記』で無量と大数の間に傷ができて間隔があき、別の数のように見える版があったためである。無量大数で一つの数とするのが普通である。

3文字以上の単位は、インドから由来したものが多い。恒河沙はもともと仏教の聖典で無限に大きな数を表すのに使われていた位で、गङ्गा（ガンジス川）から由来している。阿僧祇はअसंख्येय（不可算）から、那由他はनयुत/नयुतःから由来している。それより大きな数の単位は、仏教の単語が中国語に翻訳され、後に単位を与えられたものである。

千進法系の命数法

西洋の諸言語の命数法には、long scale（ロングスケール）とshort scale（ショートスケール）と呼ばれる2種類がある。これは漢字文化圏でいう万万進と万進の関係に似たものである。万万進と万進の関係と同様に、一部の数詞においては、双方の命数法でそれぞれ異なる数が割り当てられている (「billion」「trillion」など)。long scaleやshort scaleは標準的な用語ではないが、意味するところが明確なので、百科事典や科学的な文章でしばしば使われる。

19世紀から20世紀の大部分では、イギリスでは前者のみ、アメリカでは後者のみが使われていた。それ故、それぞれ「イギリス式」、「アメリカ式」とも呼ばれるが、今日ではイギリスでも後者が使われるため、「イギリス式」という表現は正確ではない。

歴史上フランスでは双方共に用いられており、19世紀はじめには広範囲でshort scaleに移行した。アメリカはこれに従ったもので、long scaleを使用していた20世紀初頭のイギリスにおいてアメリカでは方式が違うことに注意を呼びかけている^[5]。しかし、現在ではフランスも他の英語圏を除くヨーロッパ諸国に合わせてlong scaleに落ちつき、それとは逆にイギリスではshort scaleに移行するという複雑な経緯を辿っている。

1948年、国際度量衡総会はlong scaleの普遍的な使用を提案し、short scaleを使っている国々にlong scaleに戻すよう呼びかけた。しかし、英語圏においては上述の通りアメリカを筆頭にイギリスが移行したこともあり、現在では一般的にshort scaleが使用されている（歴史も参照）。

long scaleとshort scaleの比較

英語の場合は、以下のようになる。千進（せんしん、千進法（せんしんほう））が使われる。

数	short scale			long scale			SI接頭語
	呼び方	カタカナ表記	理由	呼び方	カタカナ表記	理由
100（一）	one	ワン	1	one	ワン	1	なし
103（千）	thousand	サウザンド	(103)1	thousand	サウザンド	(106)0.5	k（キロ）
106（百万）	million	ミリオン	(103)1+1	million	ミリオン	(106)1	M（メガ）
109（十億）	billion	ビリオン	(103)1+2	thousand million (milliard)	サウザンド ミリオン （ミリアード）	(106)1.5	G（ギガ）
1012（一兆）	trillion	トリリオン	(103)1+3	billion	ビリオン	(106)2	T（テラ）
1015（千兆）	quadrillion	クアドリリオン	(103)1+4	thousand billion (billiard)	サウザンド ビリオン （ビリアード）	(106)2.5	P（ペタ）
1018（百京）	quintillion	クインティリオン	(103)1+5	trillion	トリリオン	(106)3	E（エクサ）

• millionは、イタリア語で千を意味する “mille” に、拡大接尾辞（他の語の後ろについて意味を誇張する）“-one” がついた “millione” （現代の正書法では milione）が語源である。
• bi-（バイ）は2を、tri-（トライ）は3を、quadr-（クアドラ）は4を、quint-（クイント）は5を表すラテン語に由来する倍数接頭辞。
  • short scaleでは、1,000倍するごとに新しい名前がつく （千進（せんしん）、千進法（せんしんほう）、thousand millions = billion, thousand billions = trillion, ...）。
  • long scaleでは、1,000,000倍するごとに新しい名前がつく （百万進（ひゃくまんしん）、百万進法（ひゃくまんしんほう）、million millions = billion, million billions = trillion, ...）。
• 古語に十億を表すmilliardがあるが、英語では使われることはない（言語によっては使われる）。だが金融市場においては、誤解を避けるために十億を "yard"（milliardに由来）と言うことがある。
• より大きな数の表し方についてはNames of large numbers、数の比較を参照。

歴史

年代	出来事
1475年	ジャン・アダムが1012（一兆）、1018（百京）を表す言葉としてbymillion, trimillionを用いた。
1484年	フランスの数学者ニコラ・シュケー（英語版）が著書『Triparty en la science des nombres』の中で、1012（一兆）、1018（百京）、1024（一秭）、1030（百穣）、1036（一澗）、1042（百正）、1048（一極）、1054（百恒河沙：万進法による）をそれぞれbyllion tryllion, quadrillion, quyllion, sixlion, septyllion, ottyllion, nonyllionと表した。この本は1870年代に初めて発行されたものであったが、この大部分はエスティエンヌ・ド・ラ・ロッシュ（英語版）の著書『L'arismetique』（1520年）からとったものであった。
1549年	ジャック・ペルチエがmilliard (milliart) を "Million de Millions"（millionのmillion）すなわち1012（一兆）として用いた。彼はこの用法をフランス人の学者ギヨーム・ビュデ（1467-1540年）によるものだとした。
17世紀	6桁（百万）ごとに名前の変わる伝統的な方式（後のlong scale）から、3桁（千）ごとに名前の変わる新しい方式（後のshort scale）が分かれ、フランスやイタリアでbillionを109（十億）の意味で使う科学者が現れた。それでもthousand millionやmilliard（ペルチエの用語）を用いる方が多数派であった。こちらの用法がイギリスやドイツその他ヨーロッパ全域で採用され、Chuquetのlong scaleのbillion（一兆）が使われ続けることとなった。
18世紀 半ば	short scaleの意味でのbillionがアメリカのイギリス植民地にもたらされる。
19世紀 はじめ	フランスが広くshort scaleに移行し、アメリカ合衆国がそれに続き、学校でも教えられるようになった。19世紀のフランスの百科事典の多くではlong scaleは省かれたり、「今やもう古い方式である」と書かれたりしていた。
1926年	H. W. Fowlerの『Modern English Usage』に、「アメリカ（フランスに従った）では "billion" はイギリスと同じ意味ではないことを覚えておくべきだ。billionは我々（イギリス人）にとってはmillionの2乗すなわちmillion millions（一兆）を意味するものだが、アメリカ人にとってはthousandの3乗すなわちthousand millions（十億）を表す。これは我々がmilliardと呼んでいるものである。我々の意味におけるbillionが天文学者以外には使い勝手が悪いからといって従わないのは残念なことである」と記された。
1948年	国際度量衡総会はlong scaleの普遍的な使用を提案し、short scaleを使っている国々にlong scaleに戻すよう呼びかけた。
1961年	Journal Officiel（フランスの官報）は、フランスで公式にlong scaleが用いられていることを確認した[6]。
1974年	イギリス首相ハロルド・ウィルソンは、これからは政府の統計でshort scaleを用いると述べた[7]。20世紀の最後の四半期には、他の多くの英語圏の国々もこれに続いてshort scaleに切り替えた。しかしながら、これらの全ての国において、わずかながらlong scaleの使用は続いており、また公式にshort scaleが使われていることも明確ではない。
1994年	イタリア政府は公式にlong scaleが用いられていることを確認した[8]。

現在の使用状況

short scaleを用いる国

英語圏

現在英語圏の多くの国でshort scaleが用いられている。以下はその一部である。

• アメリカ
• カナダ（英語話者）
• イギリス
• アイルランド
• オーストラリア

英語圏以外

10⁹ = milliard、10¹² = trillion

• ロシア - 10⁹は一般にмиллиард (milliard)（ロシア語）と呼ばれる。10¹²以上はshort scaleの言い方をする。
• ウクライナ
• ベラルーシ
• エストニア
• ラトビア
• リトアニア
• ジョージア
• アルメニア
• ルーマニア
• モルドバ
• ブルガリア - 10⁹は一般にмилиард (miliard)（ブルガリア語）と呼ばれる。10¹²以上はshort scaleの言い方をする。
• アルバニア
• トルコ - 10⁹は一般にmilyar（トルコ語）と呼ばれる。10¹²以上はshort scaleの言い方をする。
• トルクメニスタン
• アゼルバイジャン
• カザフスタン
• キルギス
• タジキスタン
• ウズベキスタン
• アラビア語圏諸国
• イスラエル
• インドネシア

10⁹ = billion、10¹² = trillion

• ブラジル - ポルトガル語を話すが、ポルトガルと異なり、10⁹はbilhão、10¹²はtrilhãoといった言い方をする。
• プエルトリコ - スペイン語の話されるアメリカ領で、一般に経済・技術に関することではshort scaleが用いられる（10⁹はbillón、10¹²はtrillón）。一方、プエルトリコ外のラテンアメリカの人に向けた刊行物ではlong scaleが用いられる。
• ブルネイ
• ミャンマー
• アフガニスタン（10⁹はmilliardも行われる）

独自の名称

• ギリシャ - 10⁹をdisekatommyrio（「二-百-万」の意）、10¹²をtrisekatommyrio（「三-百-万」の意）という。
• キプロス

long scaleを用いる国

英語圏と東欧を除く多くの大陸ヨーロッパの国々ではlong scaleを使う。

例

• Milliard

フランス語・デンマーク語・ノルウェー語: milliard、ドイツ語: Milliarde、オランダ語: miljard、ハンガリー語: milliárd、スペイン語: millardo（mil millonesの方が頻繁に用いられる）、イタリア語: miliardo、ポーランド語: miliard、スウェーデン語: miljard（milliardということもある）、フィンランド語: miljardi、チェコ語: miliarda、スロベニア語・クロアチア語・セルビア語: milijarda、アイスランド語: milljarður - 皆10⁹を表す。

• Billion

フランス語・デンマーク語・ノルウェー語: billion、ドイツ語: Billion、オランダ語: biljoen、ハンガリー語: billió、スペイン語: billón、ポーランド語・セルビア語: bilion、スウェーデン語: biljon（billionということもある）、フィンランド語: biljoona、クロアチア語: bilijun、ポルトガル語（ポルトガル）: bilião、スロベニア語: bilijon、アイスランド語: billjón - 皆10¹²を表す。

用法

"thousand milliard" の使用

Milliardを用いるこれらの国々において "thousand milliard" という用語が時折使われるが、これは予算についての文脈でのみである。「ドイツの国債が2004年末の時点で約1418 milliardユーロ（1兆4180億ユーロ）であった」というように、milliardは予算の単位としては主要なものとなっている。予算以外については、10¹²はthousand milliardではなくbillionという。

イタリアでの用法

19世紀にはshort scaleを用いていたが20世紀になってlong scaleに戻したヨーロッパの国は2つあるが、イタリアはその1つである（もう1つはフランス）。

イタリア語では、bilioneという単語は公式には10¹²を意味するが、口語では10⁹と10¹²のいずれをも意味し得る。またtrilioneも、10¹²と（まれに）10¹⁸のいずれをも意味する。そのため、曖昧さを避けるために、こうした単語を使う人はほとんどいない。一般には10¹²はmille miliardi (a thousand milliards)、10¹⁵はun milione di miliardi、10¹⁸はun miliardo di miliardi、10²¹はmille miliardi di miliardiという方が多い。

英語圏での用法

アメリカでの用法

アメリカ合衆国では、19世紀初頭から学校でshort scaleが教えられてきた。そのため、専らshort scaleのみが用いられている。

他の国々

アメリカ以外の国では何世紀にもわたってlong scaleが用いられてきた。従って、long scaleの使用もいまだ続いており、そのためshort scaleの公式の立場がはっきりしていない。

イギリスでの用法

イギリス英語においてmilliardという用語は今や時代遅れであり（派生語のyardは使われる。#long scaleとshort scaleの比較を参照）、現在では刊行物でも筆記物でもbillionが10⁹以外を意味することはない。イギリス政府もBBCも専らshort scaleを用いている。イギリス英語で10¹²の意味でbillionを用いた場合、誤解される可能性が高い。

オーストラリアでの用法

オーストラリアでは、2つの物を同じmillionの単位で比較するときなど、10⁹をthousand millionと表すこともある。1999年現在、オーストラリア政府の財務省はshort scaleが標準であるとは見なしていないが、時折short scaleを使っている^[9]。Australian Department of Finance and Administration（AusInfoとして知られる）は現在、short scaleを推奨しており、法的定義もshort scaleである。教育、放送局、文学においても、他の英語圏と同様にshort scaleを用いている。

インドでの用法

他の英語圏の国と同様、現在、インドもアメリカのshort scaleの影響を強く受けている。しかし経済関連のメディア以外ではまちまちであり、話者の教育環境や学歴によるため、イギリスの影響下であったこともあり、多くが伝統的なlong scaleを使い続けると思われる。また、日常生活では、現在でもインド独自の命数法を用いている。（short scaleもlong scaleも用いない国参照）

エスペラントでの用法

エスペラントの公式の単語であるbilionoやtriliono等の意味するところは曖昧であり、long scaleとshort scaleのどちらを支持するかを国家が推定するのを妨げることによって、国際的なエスペラントのコミュニケーションの本質は問題を複雑化させていた。

ただ、現在では非公式だが一般に用いられている -ilion- という接尾辞 (10^6×n) を用いることで曖昧を避けようとする方向に向かっている。これは10⁶のべき乗を表すために追加されたもので、例えばduiliono（duはエスペラントで「二」）は 10^6×2 = 10¹²、triiliono（triはエスペラントで「三」）は 10^6×3 = 10¹⁸ を表す。

miliardoは明確に10⁹を表す単語であるが、最近ではこれを基にした-iliard-を非公式な接尾辞 (10^6×n+3) と見立ててduiliardo = 10^6×2+3 = 10¹⁵、triliono = 10^6×3+3 = 10²¹のように表すことが多い。つまり-ilion-の1000倍の数を表すのである。

これによって、mililiono = 10^6×1000 = 10⁶⁰⁰⁰やmililiardo = 10^6×1000+3 = 10⁶⁰⁰³等の大きな数も簡単に作れるようになった (mil = 1000)。

混乱回避措置

long scaleとshort scaleを使用している国では百万より大きい単位では同じ単語が異なる桁を示すなど表記の仕方が異なる。混乱を回避するために以下のような表示がされる^[10]。なお命数法の違いに加え、小数点や3桁を区切る記号をコンマかピリオド（終止符）かという小数点の問題がある。

もっとも簡単な方法が全数を記述することである。

例）1,000,000,000,000 これはshort scaleでは1 trillionであるがlong scaleでは1 billionである。

ミリオン（百万）までは共通であるので百万以上の桁を数字で表示する^[11]。

例）12,345 million（ミリオン）

指数表記で桁を表す。

1×10⁹、1×10¹⁰、1×10¹¹、1×10¹²などで広く使われている。または一般的ではないがコンピューターで1e9、1e10、1e11、1e12と表記される。

SI接頭語で表す。

SI接頭語は基本単位に非依存の数値の桁のみを表すものでキロ（k, 10³ = 千）、メガ（M, 10⁶ = 百万）、ギガ（G, 10⁹ = 十億）、テラ（T, 10¹² = 兆）などである。これらは科学者・技術者の間で広く使われている。例）キログラム、メガワット、ギガヘルツ、テラバイト。これらはコンピュータの普及により一般にも知られているが、1ギガドルといった表現は一般的ではない。なお日本では電力表示に億kW（キロワット）といった使われ方をする。1億kWは100ギガワット (GW)である。

インド

インドの命数法は、古代インドから現代でもインド、パキスタン、バングラデシュ、ネパール、ミャンマーなどで使用されている。基本的には、西洋で一般的な3桁ごとの位取りや、日本や中国などで一般的な4桁ごとの位取りではなく、インドにおいては2桁ごとの位取りに基づく。

この命数法による表記では、基本的に2桁ごと（下3桁のみ例外）の位取りに基づいて点を置く。例えば3カロール（3千万）ルピーと記する場合はRs. 30,000,000ではなく、Rs. 3,00,00,000とすることが多い。ハザール／サハストル（千）、ラーク（十万）、カロール（千万）で区切っている。

ラーク (lakh)、カロール (crore) という単語は後述の仏典の華厳経（八十華厳及び四十華厳）における洛叉・倶胝に当たる。またインド英語では今日でも頻繁に使われており、インドでの英字新聞等でも普通に使用される。なお、英語の綴りと実際の発音とは大きくかけ離れている場合が多い。

呼び方	数字	桁数	西洋の記数法と日本語での命数法による呼び方
एक (ek) エーク	1	100	1（一）
दस (das) ダス	10	101	10（十）
सौ (sau) ソウ	100	102	100（百）
सहस्त्र (sahastr) サハストル / हज़ार (hazaar) ハザール	1,000	103	1,000（千）
लाख (lakh) ラーク	1,00,000	105	100,000（十万）
करोड़ (crore) カロール	1,00,00,000	107	10,000,000（千万）
अरब (arawb) アラブ	1,00,00,00,000	109	1,000,000,000（十億）
खरब (kharawb) カラブ	1,00,00,00,00,000	1011	100,000,000,000（千億）
नील (neel) ニール	1,00,00,00,00,00,000	1013	10,000,000,000,000（十兆）
पद्म (padma) パドマ	1,00,00,00,00,00,00,000	1015	1,000,000,000,000,000（千兆）
शंख (shankh) シャンク	1,00,00,00,00,00,00,00,000	1017	100,000,000,000,000,000（十京）
महाशंख (mahashankh) マハーシャンク	1,00,00,00,00,00,00,00,00,000	1019	10,000,000,000,000,000,000（千京）

ヒンディー語において、新聞などでパドマ、カラブの単位までは時折使用されるが、それ以上の単位が登場する事はない。またインド英語においては、アラブ以上の単位は通常用いられない。しかしながら、インド数学の古い文書ではニール、パドマ、シャンクが用いられる事も多い。

高桁数の表記の場合は、ラークとカロールを組み合わせて、1ラーク・カロール（一兆、10¹²）等ということが多い。

ムンバイのギャングなどが話すスラングでは、カロールのことを「コーカー」(khokha)、ラークのことを「ペーティー」(peti) ということがある。

イランでは、50万を表す単語として「コルール」（ペルシア語: کرور‎ Korūr）を最近まで使用していた。

シンハラ語では、カロールを「コーティヤ」(kōţiya)、ラークを「ラクシャヤ」(lakshaya) と呼んでいる。また、カンナダ語のような他の南インド言語では、カロールは「コティ」(koti)、ラークは「ラクシャ」(laksha) と呼ばれている。

ベンガル語にもシャンクと同源の শঙ্খ（/ʃɔŋkʰɔ/ ションコ）という語が見られるが表す数は10¹²、つまり一兆であり、またパドマと同源の পদ্ম（綴り通りにラテン文字転写すれば padma となるが実際の発音は /pɔdːɔ̃/ ポッド）という語も存在するが指す数は10¹³、つまり十兆である^[12]。

ラークは最近「ラキ」(laki) としてスワヒリ語にも取り入れられている。

仏典の数詞

八十華厳における命数

名称	読み	n	数 ${\displaystyle 10^{7\times 2^{n}}}$
倶胝	くてい	0	107
阿庾多	あゆた	1	1014
那由他	なゆた	2	1028
頻波羅	ひんばら	3	1056
矜羯羅	こんがら	4	10112
阿伽羅	あから	5	10224
最勝	さいしょう	6	10448
摩婆羅	まばら	7	10896
阿婆羅	あばら	8	101792
多婆羅	たばら	9	103584
界分	かいぶん	10	107168
普摩	ふま	11	1014336
禰摩	ねま	12	1028672
阿婆鈐	あばけん	13	1057344
弥伽婆	みかば	14	10114688
毘攞伽	びらか	15	10229376
毘伽婆	びかば	16	10458752
僧羯邏摩	そうがらま	17	10917504
毘薩羅	びさら	18	101835008
毘贍婆	びせんば	19	103670016
毘盛伽	びじょうが	20	107340032
毘素陀	びすだ	21	1014680064
毘婆訶	びばか	22	1029360128
毘薄底	びばてい	23	1058720256
毘佉擔	びきゃたん	24	10117440512
称量	しょうりょう	25	10234881024
一持	いちじ	26	10469762048
異路	いろ	27	10939524096
顛倒	てんどう	28	101879048192
三末耶	さんまや	29	103758096384
毘覩羅	びとら	30	107516192768
奚婆羅	けいばら	31	1015032385536
伺察	しさつ	32	1030064771072
周広	しゅうこう	33	1060129542144
高出	こうしゅつ	34	10120259084288
最妙	さいみょう	35	10240518168576
泥羅婆	ないらば	36	10481036337152
訶理婆	かりば	37	10962072674304
一動	いちどう	38	101924145348608
訶理蒲	かりぼ	39	103848290697216
訶理三	かりさん	40	107696581394432
奚魯伽	けいろか	41	1015393162788864
達攞歩陀	たつらほだ	42	1030786325577728
訶魯那	かろな	43	1061572651155456
摩魯陀	まろだ	44	10123145302310912
懺慕陀	ざんぼだ	45	10246290604621824
瑿攞陀	えいらだ	46	10492581209243648
摩魯摩	まろま	47	10985162418487296
調伏	ちょうぶく	48	101970324836974592
離憍慢	りきょうまん	49	103940649673949184
不動	ふどう	50	107881299347898368
極量	ごくりょう	51	1015762598695796736
阿麼怛羅	あまたら	52	1031525197391593472
勃麼怛羅	ぼまたら	53	1063050394783186944
伽麼怛羅	がまたら	54	10126100789566373888
那麼怛羅	なまたら	55	10252201579132747776
奚麼怛羅	けいまたら	56	10504403158265495552
鞞麼怛羅	べいまたら	57	101008806316530991104
鉢羅麼怛羅	はらまたら	58	102017612633061982208
尸婆麼怛羅	しばまたら	59	104035225266123964416
翳羅	えいら	60	108070450532247928832
薜羅	べいら	61	1016140901064495857664
諦羅	たいら	62	1032281802128991715328
偈羅	げら	63	1064563604257983430656
窣歩羅	そほら	64	10129127208515966861312
泥羅	ないら	65	10258254417031933722624
計羅	けいら	66	10516508834063867445248
細羅	さいら	67	101033017668127734890496
睥羅	へいら	68	102066035336255469780992
謎羅	めいら	69	104132070672510939561984
娑攞荼	しゃらだ	70	108264141345021879123968
謎魯陀	めいろだ	71	1016528282690043758247936
契魯陀	けいろだ	72	1033056565380087516495872
摩覩羅	まとら	73	1066113130760175032991744
娑母羅	しゃもら	74	10132226261520350065983488
阿野娑	あやしゃ	75	10264452523040700131966976
伽麼羅	かまら	76	10528905046081400263933952
摩伽婆	まかば	77	101057810092162800527867904
阿怛羅	あたら	78	102115620184325601055735808
醯魯耶	けいろや	79	104231240368651202111471616
薜魯婆	べいろば	80	108462480737302404222943232
羯羅波	からは	81	1016924961474604808445886464
訶婆婆	かばば	82	1033849922949209616891772928
毘婆羅	びばら	83	1067699845898419233783545856
那婆羅	なばら	84	10135399691796838467567091712
摩攞羅	まらら	85	10270799383593676935134183424
娑婆羅	しゃばら	86	10541598767187353870268366848
迷攞普	めいらふ	87	101083197534374707740536733696
者麼羅	しゃまら	88	102166395068749415481073467392
馱麼羅	だまら	89	104332790137498830962146934784
鉢攞麼陀	はらまだ	90	108665580274997661924293869568
毘伽摩	びかま	91	1017331160549995323848587739136
烏波跋多	うはばた	92	1034662321099990647697175478272
演説	えんぜつ	93	1069324642199981295394350956544
無尽	むじん	94	10138649284399962590788701913088
出生	しゅっしょう	95	10277298568799925181577403826176
無我	むが	96	10554597137599850363154807652352
阿畔多	あばんた	97	101109194275199700726309615304704
青蓮華	しょうれんげ	98	102218388550399401452619230609408
鉢頭摩	はどま	99	104436777100798802905238461218816
僧祇	そうぎ	100	108873554201597605810476922437632
趣	しゅ	101	1017747108403195211620953844875264
至	し	102	1035494216806390423241907689750528
阿僧祇	あそうぎ	103	1070988433612780846483815379501056
阿僧祇転	あそうぎてん	104	10141976867225561692967630759002112
無量	むりょう	105	10283953734451123385935261518004224
無量転	むりょうてん	106	10567907468902246771870523036008448
無辺	むへん	107	101135814937804493543741046072016896
無辺転	むへんてん	108	102271629875608987087482092144033792
無等	むとう	109	104543259751217974174964184288067584
無等転	むとうてん	110	109086519502435948349928368576135168
不可数	ふかすう	111	1018173039004871896699856737152270336
不可数転	ふかすうてん	112	1036346078009743793399713474304540672
不可称	ふかしょう	113	1072692156019487586799426948609081344
不可称転	ふかしょうてん	114	10145384312038975173598853897218162688
不可思	ふかし	115	10290768624077950347197707794436325376
不可思転	ふかしてん	116	10581537248155900694395415588872650752
不可量	ふかりょう	117	101163074496311801388790831177745301504
不可量転	ふかりょうてん	118	102326148992623602777581662355490603008
不可説	ふかせつ	119	104652297985247205555163324710981206016
不可説転	ふかせつてん	120	109304595970494411110326649421962412032
不可説不可説	ふかせつふかせつ	121	1018609191940988822220653298843924824064
不可説不可説転	ふかせつふかせつてん	122	1037218383881977644441306597687849648128

八十華厳

唐の実叉難陀訳の『華厳経（八十華厳）』（新訳華厳経、唐経、大正蔵279）の第45巻「阿僧祇品第三十」には、右表に示した命数が記述されている^[13][14]。

10⁵ を洛叉、100洛叉（10⁷）を倶胝（くてい）とし、倶胝以上を上数として123の命数が列挙されている。

最大の命数である不可説不可説転は

${\displaystyle 10^{7\times 2^{122}}=10^{37218383881977644441306597687849648128}}$

という巨大な数となる。

クッキークリッカーの日本語バージョンの一つでは、「恒河沙」までは一般的な方式の命数法となっているが、それより先は独自の方式の命数法を採用している。具体的には、一般的な方式の「阿僧祇」「那由他」「不可思議」「無量大数」は登場せず、一般的な方式なら「阿僧祇」にあたる位置に八十華厳の数詞の「頻波羅」が使われており、そこから先は「矜羯羅」「阿伽羅」を採用している。なお「阿伽羅」の次の八十華厳の数詞は「最勝」であるが、これはこのゲームで扱える数値の限界を超えてしまうため、このゲームでは事実上「阿伽羅」が日本語バージョンの最高の単位となっている。

六十華厳

東晋の仏駄跋陀羅訳の『華厳経（六十華厳）』（旧訳華厳経、晋経、大正蔵278）の第29巻「心王菩薩問阿僧祇品第二十五」には、上記の命数法とは異なる命数が記述されている^[15][16]。

10¹⁰ を拘梨とし、拘梨以上を上数として121の命数が列挙されている。

最大の命数である不可説転転は ${\displaystyle 10^{10\times 2^{120}}}$ という巨大な数となる。

四十華厳

唐の般若三蔵訳の『華厳経（四十華厳）』（貞元経、大正蔵293）の第10巻「入不思議解脱境界普賢行願品」には、上記の命数法とは異なる命数が記述されている^[17][18]。

10⁵ を洛叉、100洛叉（10⁷）を倶胝とし、倶胝以上を上数として144の命数が列挙されている。

最大の命数である不可説不可説転は ${\displaystyle 10^{7\times 2^{142}}}$ という巨大な数となる。

これら3つの華厳経では、八十華厳・四十華厳の洛叉は別として、他はいずれも上数で2乗すると次の単位になるため、二重指数関数に当たる。もっとも、これらは実用のものではなく、計算もできないほど大きな数を示して悟りの功徳の大きさを表したものである。

大和言葉（和語）によるひふみ詞命数法

大和言葉（和語）によって巨大な数を表す方式には、ひふみ詞によるものがあり、10³⁸の桁まで表せる。ただし実際には、「よろず（ろ）」より上が命数法として使用されることはほとんどない。

大和言葉（和語）命数法

名称	数
ひとつ（ひ）	1（一）
ふたつ（ふ）	2（二）
みっつ（み）	3（三）
よっつ（よ）	4（四）
いつつ（い）	5（五）
むっつ（む）	6（六）
ななつ（な）	7（七）
やっつ（や）	8（八）
ここのつ（こ）	9（九）
とお（と）	10（十）
もも（も）	100（百）
ち	1,000（千）
よろず（ろ）	10,000（万）
ら	100,000（十万）
ね	1,000,000（百万）
し	10,000,000（千万）
き	100,000,000（一億）
る	109（十億）
ゆ	1010（百億）
ゐ	1011（千億）
つ	1012（一兆）
わ	1013（十兆）
ぬ	1014（百兆）
そ	1015（千兆）
を	1016（一京）
た	1017（十京）
は	1018（百京）
く	1019（千京）
め	1020（一垓）
か	1021（十垓）
う	1022（百垓）
お	1023（千垓）
ゑ	1024（一𥝱）
に	1025（十𥝱）
さ	1026（百𥝱）
り	1027（千𥝱）
へ	1028（一穣）
て	1029（十穣）
の	1030（百穣）
ま	1031（千穣）
す	1032（一溝）
あ	1033（十溝）
せ	1034（百溝）
え	1035（千溝）
ほ	1036（一澗）
れ	1037（十澗）
け	1038（百澗）

小数の命数法

中国に由来する漢数字では、小数については、一桁（0.1倍）ごとに新たな名前を付ける下数が行われている。これに対し、ヨーロッパ言語やインドにおいては分数の表記としては、half や quarter、en:Roman numerals#Fractions のような表現にはあるが、10進法の小数について桁ごとに名称を付すことは行われていない。漢数字については、位の小さなものの名称については時代や地域、また書物によって相違がある。例えば朱世傑『算学啓蒙（中国語版）』では沙以下は万万進としているほか、「虚空」「清浄」を「虚」「空」「清」「浄」の4つの別の名とするなどの違いがある。以下は一例である。

小数の命数法

呼称	数	備考
一（いち）	100
分（ぶ）	10−1
厘（釐）（りん）	10−2
毛（毫）（もう）	10−3
糸（絲）（し）	10−4
忽（こつ）	10−5
微（び）	10−6
繊（せん）	10−7
沙（しゃ）	10−8
塵（じん）	10−9
埃（あい）	10−10
渺（びょう）	10−11
漠（ばく）	10−12
模糊（もこ）	10−13
逡巡（しゅんじゅん）	10−14
須臾（しゅゆ）	10−15
瞬息（しゅんそく）	10−16
弾指（だんし）	10−17
刹那（せつな）	10−18
六徳（りっとく）	10−19
虚空（こくう）、空虚（くうきょ）	10−20	「虚空」「清浄」を「虚」「空」「清」「浄」と分けた場合、「虚」10−20「空」10−21
清浄（せいじょう）	10−21	「虚空」「清浄」を「虚」「空」「清」「浄」と分けた場合、「清」10−22「浄」10−23

このうち、『塵劫記』では埃以上のみが紹介されている^[19]。

実用で用いられるのは毛あるいは糸くらいまでであり、それ以下については名前がついているだけで実際にはほとんど用いられない。なお、「六徳」は「徳」の6倍という意味ではなく、「六徳」で一つの単位である。

実際に桁を連ねるときは、「二寸三分四厘」のように1の位の後に「基準単位（ここでは「寸」）」をつける。現代的な表現が「2.34寸」のように最後に「基準単位」を付けるのとは異なる。

日本語

現代の日本では、上記の小数の命数法は、野球選手の打率や守備率、スポーツチームの勝率、レートまたは割引を表す場合によく用いられる。「３６度５分」(36.5 ℃)のように、温度を表す時にも、慣用表現 (「五分五分の勝負」、「九分九厘」、「七分袖」など) でも用いられる。

かつては尺貫法において、基準となる計量単位（寸、文、匁）とともによく用いられていた（分 (数)#計量単位など）。現代では例えば 36.5 度と表記するが、伝統的には３６度５分というように基準単位（ここでは「度」）の後に小数の数詞（「分」）を付して記述する。長さの場合は、2寸3分4厘 のようになる。 意味は 2.34寸と同じである。

また、割と用いられることも多い。例えば、２割４分７厘は、分は割の1/10、厘は割の1/100であるので、現代風に書くと、2.47 割ということになる。

割と共に用いる場合の誤解

→「分 (数) § 百分の一を意味するとの誤解」も参照

基準単位として「割」を使う場合は「2割4分7厘」のようになることから、「分は全体の 1/100、厘は全体の 1/1000 」と勘違いをされることがある。しかし、これは「2.47割」の意味であって、「分は割の 1/10、厘は割の 1/100」であって、長さの場合の「2寸3分4厘 = 2.34寸」と同様の表現である。

上記の勘違いを生ずる原因は、割を用いる場合に割そのものが 1/10 を意味するために、「分が全体の 1/100、厘が全体の 1/1000 」と誤解するからである。分、厘、毛などの数詞は、「基準単位」（例えば、寸、割、匁など）の小数を意味することを理解しておく必要がある。

小数点と3桁区切り

小数点には地域（言語）によって、ピリオド（.）又はコンマ（,）が使われる（小数点#二つの方式）。日本ではピリオドが使われることがほとんどである。

3桁区切りについては、国際機関では小数点を基準に3桁毎にコンマ（,）やピリオド（.）を入れることを禁止しており、その代わりにスペース（通常は半角スペース(en:thin space)）を入れると規定している。これは小数点にピリオドとコンマの両方が使われていることから、３桁毎にコンマやピリオドを入れると重大な誤読を招くおそれがあるからである。

国際単位系国際文書 （SI文書）の要約は次のように記している。

数字の桁数が多い場合は、読み易くするために、小数点から3桁ごとにグループ分けすることが習慣化している。これは必須ではないが、このようにされることが多く、一般的に分かり易い。この書式を使う場合、3桁ごとのグループ分けには空白のみを用い、点やカンマを使ってはならない。^[20]　

short scale（英語など）での呼び方

数	short scale	対応する漢数字	補足
1	one	一	1
102	hundred	百	100
103	thousand	千	1000
106	million	百万	1000×1000 (＝1,000,000)
109	billion	十億	1000×10002 (＝1,000,000,000)
1012	trillion	一兆	1000×10003 (＝1,000,000,000,000)
1015	quadrillion	千兆	1000×10004 (＝1,000,000,000,000,000)
1018	quintillion	百京	1000×10005
1021	sextillion	十垓	1000×10006
1024	septillion	一𥝱	1000×10007
1027	octillion	千𥝱	1000×10008
1030	nonillion	百穣	1000×10009
1033	decillion	十溝	1000×100010
1036	undecillion	一澗	1000×100011
1039	duodecillion	千澗	1000×100012
1042	tredecillion	百正	1000×100013
1045	quattuordecillion	十載	1000×100014
1048	quindecillion	一極	1000×100015
1051	sexdecillion	千極	1000×100016
1054	septendecillion	百恒河沙	1000×100017
1057	octodecillion	十阿僧祇	1000×100018
1060	novemdecillion	一那由他	1000×100019
1063	vigintillion	千那由他	1000×100020
1066	unvigintillion	百不可思議	1000×100021
1069	duovigintillion	十無量大数	1000×100022
1072	tresvigintillion	※※※	1000×100023
1093	trigintillion	※※※	1000×100030
10100	googol	※※※	10×100033
10123	quadragintillion	※※※	1000×100040

long scale での呼び方

数	long scale	対応する漢数字	補足
106	million	百万	(1 000 000)1
1012	billion	一兆	(1 000 000)2 (＝1 000 000 000 000)
1018	trillion	百京	(1 000 000)3 (＝1 000 000 000 000 000 000)
1024	quadrillion	一𥝱	(1 000 000)4 (＝1 000 000 000 000 000 000 000 000)
1030	quintillion	百穣	(1 000 000)5 (＝1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000)
1036	sextillion	一澗	(1 000 000)6 (＝1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000)
1042	septillion	百正	(1 000 000)7
1048	octillion	一極	(1 000 000)8
1054	nonillion	百恒河沙	(1 000 000)9
1060	decillion	一那由他	(1 000 000)10
1066	undecillion	百不可思議	(1 000 000)11
1072	duodecillion	※※※	(1 000 000)12

脚注

1. 「命数-法」『新明解国語辞典 第六版』三省堂、2005年
2. wikisource:zh:五經算術：按黃帝為法、數有十等。 及其用也、乃有三焉。十等者、謂億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載也。三等者、謂上、中、下也。其下數者、十十變之。若言十萬曰億、十億曰兆、十兆曰京也。中數者、萬萬變之。若言萬萬曰億、萬萬億曰兆、萬萬兆曰京也。上數者、數窮則變。若言萬萬曰億、億億曰兆、兆兆曰京也。若以下數言之、則十億曰兆；若以中數言之、則萬萬億曰兆；若以上數言之、則億億曰兆。
3. 山崎与右衛門; 竹内乙彦; 鈴木久男 (1968). 日本のそろばん. 暁出版. pp. 151, 168. NDLJP:1384357. "日本珠算史年表"
4. “新編塵劫記第3巻”. p. 4. doi:10.11501/3508170. 2018年3月2日閲覧。第一：大数の名の事
5. H. W. Fowler "Modern English Usage"
6. Décret 61-501, page 4587, note 3 and erratum on page 7572
8. Direttiva CE 1994 n. 55, page 12
10. 英語版のLong and short scales#Using neitherより
11. “BBC: GCSE Bitesize – The origins of the universe”. BBC. 2011年7月28日閲覧。
12. দাস, জ্ঞানেন্দ্রমোহন (1937). “পদ্ম; শঙ্খ”. বাঙ্গলা ভাষার অভিধান (2nd ed.). কলিকাতা: দি ইণ্ডিয়ান্ পাব্লিশিং হাউস. p. 1264, 1920（ベンガル語）
13. “SAT大正新脩大藏經テキストデータベース2018（T0279）”. SAT大正新脩大藏經テキストデータベース. 2019年9月19日閲覧。
14. “T10n0279_045 大方廣佛華嚴經 第45卷”. CBETA 漢文大藏經. 2019年9月19日閲覧。
15. “SAT大正新脩大藏經テキストデータベース2018（T0278）”. SAT大正新脩大藏經テキストデータベース. 2019年9月19日閲覧。
16. “T09n0278_029 大方廣佛華嚴經 第29卷”. CBETA 漢文大藏經. 2019年9月19日閲覧。
17. “SAT大蔵経テキストデータベース2018（T0293）”. SAT大正新脩大藏經テキストデータベース. 2019年9月19日閲覧。
18. “T10n0293_010 大方廣佛華嚴經 第10卷”. CBETA 漢文大藏經. 2019年9月19日閲覧。
19. “新編塵劫記第3巻”. p. 4. doi:10.11501/3508170. 2018年3月2日閲覧。第二：小数の名の事
20. 国際単位系（SI）第9版（2019）要約 日本語版 p.192、国際単位系（SI）基本単位の定義改定と計量標準、2020年3月、 国立研究開発法人産業技術総合研究所 計量標準総合センター

関連項目

• 漢数字
• 小数点
• 助数詞#日本語の助数詞
• 日本語
• 数の一覧
• 数の比較
• 単位一覧
• 位取り記数法
• 倍数接頭辞 - billion、trillion、quadrillion等、ギリシャ語やラテン語に由来する数の接頭辞に関する項目。
• 語呂合わせ
• 巨大数

外部リンク

• 高杉親知. “無量大数の彼方へ”. 2021年4月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年3月29日閲覧。
• 大数の名前