命数法

命数法（めいすうほう、英語: Numeral system, または system of numeration）とは、数を名付ける法、即ち与えられた数を表わすための、一連の方式・規則・対応である。

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概要

命数法とは、数値を表すときの数詞の体系^[1]であり、言語により異なる。例えば、1桁の数値では「四の次」を表す数詞(5)を、日本語では「五」、英語では"five"（ファイブ）、ドイツ語では"fünf"、ラテン語では"quinque"という。同じく、十進数における「十の四乗」を表す数(10,000)を、日本語では「一万」、英語では"ten thousand"（テン・サウザンド、十千）と呼ぶ。これらの組み合わせにより任意の数値を表すことができる。言語により同じ数値命数法のうち、数字を用いて数を表す方法を記数法という。

命数には、一般に「一」や「三」など自然数を表す数詞、「零」など無を表す数詞、「百」や「千」など何かの冪乗を表す数詞とがある。

位取りは十進法が圧倒的に多いが、十進法に囚われる必要は無く、十二進法や二十進法も散見される。十を超える数で、十進法から独立している数詞として、十二を意味する"dozen"（日本語ではダース）や"打"（→zh:打）、百四十四を意味する"gross"（グロス）、千七百二十八を意味する"great gross"、二十を意味する"score"（スコア）や"vingt"（フランス語）や"廿"や"kal"（マヤ数詞、以下同じ）、四百を意味する"bak"、八千を意味する"pic"などがある。

以下の記述においては、まず大数の命数法と小数の命数法に大別して解説する。

大数の命数法

万進法系の命数法

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中国に由来する漢数字では、以下の数詞で大数を示す。

一、十、百、千、万、億、兆、京、…

中国の算術書である後漢の徐岳『数術記遺（中国語版）』や北周の甄鸞『五経算術（中国語版）』に、大数の単位が記されているが、当時は載までであり、また𥝱は本来は秭であり、それが日本の『塵劫記』で字形が変化したものである。これらの文献によると、万より大きい数詞の示す値には3種類あり、統一されていなかった。下数、中数、上数である^[2]。

当初は万（10⁴）を区切りとして十万（10⁵）、百万（10⁶）、千万（10⁷）まで表していた。これとは別に、万から1桁ごとに億（10⁵）、兆（10⁶）、と名付けていた。これを下数（かすう）と呼ぶ。

漢代あたりから、上数（じょうすう）が文献に記載され始めた。数詞が表す位の2乗が次の数詞となる。万万が億（10⁸）であるのは今日と同じであるが、次は億億が兆（10¹⁶）、兆兆が京（10³²）となる。実際に使われたことはないようであり、数学書では用いられていない。

その後、千万の次を億とし、十億（10⁹）、百億（10¹⁰）と続けていく方法が考案された。これを中数（ちゅうすう）という。ただし、初期の数学書に示されている中数は万万（10⁸）倍ごとに新たな名称をつける方式であった。すなわち、千億（10¹¹）、万億（10¹²）、十万億（10¹³）と続き、億の万万倍を兆（10¹⁶）、兆の万万倍を京（10²⁴）とする。これを万万進という。後に、万倍ごと、すなわち万万を億、万億を兆（10¹²）とする万進（まんしん、万進法（まんしんほう））に移行した。

元の朱世傑による算学啓蒙で初めて、極以上の単位（そのうち恒河沙以上は仏教に由来する名称）が加わったが、当時不可思議の上は無量大数ではなく無量数であり、明の程大位による算法統宗でも同様であった。極以上の単位は基本的に中数（万進・万万進）のみで使われ、下数や上数で使われることはなかったが、ただ日本の『塵劫記』初版で極以下を下数としており、それによれば極は10¹⁵ということになる。

日本では、1627年（寛永4年）の『塵劫記』の初版において初めて大きな数が登場するが^[3]、極以下が下数、恒河沙以上を万万進の中数（恒河沙＝10²³、阿僧祇＝10³¹、那由他＝10³⁹、不可思議＝10⁴⁷）としていた。1631年（寛永8年）の版では極以下が万進（恒河沙以上は万万進のまま）に改められ、それとともに算学啓蒙・算法統宗にあった不可思議の上の無量数も無量大数という名称として組み込まれた。そして1634年（寛永11年）の版ではすべて万進に統一された。今日でも万進だけが使用されている。

読み方の例を以下に示す。

1 0000 : 一万 (いちまん)
983 6703 : 九百八十三万六千七百三 (きゅうひゃくはちじゅうさんまんろくせんななひゃくさん)
20 3652 1801 : 二十億三千六百五十二万千八百一 (にじゅうおくさんぜんろっぴゃくごじゅうにまんせんはっぴゃくいち)

アラビア数字が使われる場合は、英語のように3桁ごとにコンマが入れられる。アラビア数字と漢数字が同時に使われる場合は、1万以下の数字についてアラビア数字の書き方が使われる場合がある（例: 25,000,000を2,500万と表記する場合)。

大きな数字が漢字で表されるときは、ほとんどの場合でゼロが省かれる。例えば、4002はゼロを表す中国語での「四千零二」ではなく、四千二と表されることが多い。ただし、決算書を読み上げる場合、読まない桁は、「飛び」または「飛んで」で示される場合がある。例えば、通常の「よんせんに」の代わりに、「よんせんとびに」または「よんせんとんでに」のようにもなる。

中国では、近代まで万万進と万進が混用されたままであった。それに加えて、メートル法の接頭語のメガ（10⁶）に「兆」（下数における 10⁶）の字をあてたため、さらに混乱が生じた。今日では、「億」は中数の 10⁸、「兆」は下数の 10⁶ の意味となっており、兆より億の方が大きくなっている。日本でいう兆（10¹²）は「万億」といい、京以上については、例えば 10¹⁶ は「万万億」または「億億」のように呼んでいる。台湾（植民地時代）と朝鮮半島（併合時）は、日本の命数法（万進）が導入されていたので、兆は 10¹² であるが、京以上の命数はほとんど用いられていない。

ベトナムでは西洋式に3桁ずつ新しい名称が使われるが、10⁶を「triệu」（兆）、10⁹を「tỷ」（秭）と呼ぶ。これは下数にあたる。

『塵劫記』での命数は以下のようになっている^[4]。

位の大きなものの名称については版によって相違がある。併記した記数は万進による。

さらに見る 数詞, 読み ...

塵劫記（寛永11年版）での命数（日本の現行方式）
数詞	読み	数	10000^m	一（いち）	十（じゅう）	百（ひゃく）	千（せん）	補足
				一 10⁰	十 10¹	百 10²	千 10³
万	まん	10⁴	10000¹	一万 10⁴	十万 10⁵	百万 10⁶	千万 10⁷
億	おく	10⁸	10000²	一億 10⁸	十億 10⁹	百億 10¹⁰	千億 10¹¹
兆	ちょう	10¹²	10000³	一兆 10¹²	十兆 10¹³	百兆 10¹⁴	千兆 10¹⁵
京	けい	10¹⁶	10000⁴	一京 10¹⁶	十京 10¹⁷	百京 10¹⁸	千京 10¹⁹	（きょう）
垓	がい	10²⁰	10000⁵	一垓 10²⁰	十垓 10²¹	百垓 10²²	千垓 10²³
𥝱	じょ	10²⁴	10000⁶	一𥝱 10²⁴	十𥝱 10²⁵	百𥝱 10²⁶	千𥝱 10²⁷	秭（し）
穣	じょう	10²⁸	10000⁷	一穣 10²⁸	十穣 10²⁹	百穣 10³⁰	千穣 10³¹
溝	こう	10³²	10000⁸	一溝 10³²	十溝 10³³	百溝 10³⁴	千溝 10³⁵
澗	かん	10³⁶	10000⁹	一澗 10³⁶	十澗 10³⁷	百澗 10³⁸	千澗 10³⁹
正	せい	10⁴⁰	10000¹⁰	一正 10⁴⁰	十正 10⁴¹	百正 10⁴²	千正 10⁴³
載	さい	10⁴⁴	10000¹¹	一載 10⁴⁴	十載 10⁴⁵	百載 10⁴⁶	千載 10⁴⁷
極	ごく	10⁴⁸	10000¹²	一極 10⁴⁸	十極 10⁴⁹	百極 10⁵⁰	千極 10⁵¹
恒河沙	ごうがしゃ	10⁵²	10000¹³	一恒河沙 10⁵²	十恒河沙 10⁵³	百恒河沙 10⁵⁴	千恒河沙 10⁵⁵
阿僧祇	あそうぎ	10⁵⁶	10000¹⁴	一阿僧祇 10⁵⁶	十阿僧祇 10⁵⁷	百阿僧祇 10⁵⁸	千阿僧祇 10⁵⁹
那由他	なゆた	10⁶⁰	10000¹⁵	一那由他 10⁶⁰	十那由他 10⁶¹	百那由他 10⁶²	千那由他 10⁶³
不可思議	ふかしぎ	10⁶⁴	10000¹⁶	一不可思議 10⁶⁴	十不可思議 10⁶⁵	百不可思議 10⁶⁶	千不可思議 10⁶⁷
無量大数	むりょうたいすう	10⁶⁸	10000¹⁷	一無量大数 10⁶⁸	十無量大数 10⁶⁹	百無量大数 10⁷⁰	千無量大数 10⁷¹

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以下の表に各方式での大数の命数法を示す。

さらに見る 名称, 下数 ...

各方式での大数の命数法
名称	下数	中数（万進・日本の現行方式）	塵劫記寛永8年版	中数（万万進）	上数
十	10¹	10¹	10¹	10¹	10¹
百	10²	10²	10²	10²	10²
千	10³	10³	10³	10³	10³
万	10⁴	10⁴	10⁴	10⁴	10⁴
億	10⁵	10⁸	10⁸	10⁸	10⁸
兆	10⁶	10¹²	10¹²	10¹⁶	10¹⁶
京	10⁷	10¹⁶	10¹⁶	10²⁴	10³²
垓	10⁸	10²⁰	10²⁰	10³²	10⁶⁴
秭（𥝱）	10⁹	10²⁴	10²⁴	10⁴⁰	10¹²⁸
穣	10¹⁰	10²⁸	10²⁸	10⁴⁸	10²⁵⁶
溝	10¹¹	10³²	10³²	10⁵⁶	10⁵¹²
澗	10¹²	10³⁶	10³⁶	10⁶⁴	10¹⁰²⁴
正	10¹³	10⁴⁰	10⁴⁰	10⁷²	10²⁰⁴⁸
載	10¹⁴	10⁴⁴	10⁴⁴	10⁸⁰	10⁴⁰⁹⁶
極	10¹⁵（塵劫記初版）	10⁴⁸	10⁴⁸	10⁸⁸	-
恒河沙	-	10⁵²	10⁵⁶	10⁹⁶	-
阿僧祇	-	10⁵⁶	10⁶⁴	10¹⁰⁴	-
那由他	-	10⁶⁰	10⁷²	10¹¹²	-
不可思議	-	10⁶⁴	10⁸⁰	10¹²⁰	-
無量数（無量大数）	-	10⁶⁸	10⁸⁸	10¹²⁸	-

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なお、無量大数を「無量」と「大数」に分けて説明しているものもあるが、これは『塵劫記』で無量と大数の間に傷ができて間隔があき、別の数のように見える版があったためである。無量大数で一つの数とするのが普通である。

3文字以上の単位は、インドから由来したものが多い。恒河沙はもともと仏教の聖典で無限に大きな数を表すのに使われていた位で、गङ्गा（ガンジス川）から由来している。阿僧祇はअसंख्येय（不可算）から、那由他はनयुत/नयुतःから由来している。それより大きな数の単位は、仏教の単語が中国語に翻訳され、後に単位を与えられたものである。

千進法系の命数法

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西洋の諸言語の命数法には、long scale（ロングスケール）とshort scale（ショートスケール）と呼ばれる2種類がある。これは漢字文化圏でいう万万進と万進の関係に似たものである。万万進と万進の関係と同様に、一部の数詞においては、双方の命数法でそれぞれ異なる数が割り当てられている (「billion」「trillion」など)。long scaleやshort scaleは標準的な用語ではないが、意味するところが明確なので、百科事典や科学的な文章でしばしば使われる。

19世紀から20世紀の大部分では、イギリスでは前者のみ、アメリカでは後者のみが使われていた。それ故、それぞれ「イギリス式」、「アメリカ式」とも呼ばれるが、今日ではイギリスでも後者が使われるため、「イギリス式」という表現は正確ではない。

歴史上フランスでは双方共に用いられており、19世紀はじめには広範囲でshort scaleに移行した。アメリカはこれに従ったもので、long scaleを使用していた20世紀初頭のイギリスにおいてアメリカでは方式が違うことに注意を呼びかけている^[5]。しかし、現在ではフランスも他の英語圏を除くヨーロッパ諸国に合わせてlong scaleに落ちつき、それとは逆にイギリスではshort scaleに移行するという複雑な経緯を辿っている。

1948年、国際度量衡総会はlong scaleの普遍的な使用を提案し、short scaleを使っている国々にlong scaleに戻すよう呼びかけた。しかし、英語圏においては上述の通りアメリカを筆頭にイギリスが移行したこともあり、現在では一般的にshort scaleが使用されている（歴史も参照）。

long scaleとshort scaleの比較

英語の場合は、以下のようになる。千進（せんしん、千進法（せんしんほう））が使われる。

さらに見る 数, short scale ...

数	short scale			long scale			SI接頭語
数	呼び方	カタカナ表記	理由	呼び方	カタカナ表記	理由	SI接頭語
10⁰（一）	one	ワン	1	one	ワン	1	なし
10³（千）	thousand	サウザンド	(10³)¹	thousand	サウザンド	(10⁶)^0.5	k（キロ）
10⁶（百万）	million	ミリオン	(10³)¹⁺¹	million	ミリオン	(10⁶)¹	M（メガ）
10⁹（十億）	billion	ビリオン	(10³)¹⁺²	thousand million (milliard)	サウザンドミリオン（ミリアード）	(10⁶)^1.5	G（ギガ）
10¹²（一兆）	trillion	トリリオン	(10³)¹⁺³	billion	ビリオン	(10⁶)²	T（テラ）
10¹⁵（千兆）	quadrillion	クアドリリオン	(10³)¹⁺⁴	thousand billion (billiard)	サウザンドビリオン（ビリアード）	(10⁶)^2.5	P（ペタ）
10¹⁸（百京）	quintillion	クインティリオン	(10³)¹⁺⁵	trillion	トリリオン	(10⁶)³	E（エクサ）

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millionは、イタリア語で千を意味する “mille” に、拡大接尾辞（他の語の後ろについて意味を誇張する）“-one” がついた “millione” （現代の正書法では milione）が語源である。
bi-（バイ）は2を、tri-（トライ）は3を、quadr-（クアドラ）は4を、quint-（クイント）は5を表すラテン語に由来する倍数接頭辞。
- short scaleでは、1,000倍するごとに新しい名前がつく（千進（せんしん）、千進法（せんしんほう）、thousand millions = billion, thousand billions = trillion, ...）。
- long scaleでは、1,000,000倍するごとに新しい名前がつく（百万進（ひゃくまんしん）、百万進法（ひゃくまんしんほう）、million millions = billion, million billions = trillion, ...）。
古語に十億を表すmilliardがあるが、英語では使われることはない（言語によっては使われる）。だが金融市場においては、誤解を避けるために十億を "yard"（milliardに由来）と言うことがある。
より大きな数の表し方についてはNames of large numbers、数の比較を参照。

歴史

さらに見る 年代, 出来事 ...

年代	出来事
1475年	ジャン・アダムが10¹²（一兆）、10¹⁸（百京）を表す言葉としてbymillion, trimillionを用いた。
1484年	フランスの数学者ニコラ・シュケー（英語版）が著書『Triparty en la science des nombres』の中で、10¹²（一兆）、10¹⁸（百京）、10²⁴（一秭）、10³⁰（百穣）、10³⁶（一澗）、10⁴²（百正）、10⁴⁸（一極）、10⁵⁴（百恒河沙：万進法による）をそれぞれbyllion tryllion, quadrillion, quyllion, sixlion, septyllion, ottyllion, nonyllionと表した。この本は1870年代に初めて発行されたものであったが、この大部分はエスティエンヌ・ド・ラ・ロッシュ（英語版）の著書『L'arismetique』（1520年）からとったものであった。
1549年	ジャック・ペルチエがmilliard (milliart) を "Million de Millions"（millionのmillion）すなわち10¹²（一兆）として用いた。彼はこの用法をフランス人の学者ギヨーム・ビュデ（1467-1540年）によるものだとした。
17世紀	6桁（百万）ごとに名前の変わる伝統的な方式（後のlong scale）から、3桁（千）ごとに名前の変わる新しい方式（後のshort scale）が分かれ、フランスやイタリアでbillionを10⁹（十億）の意味で使う科学者が現れた。それでもthousand millionやmilliard（ペルチエの用語）を用いる方が多数派であった。こちらの用法がイギリスやドイツその他ヨーロッパ全域で採用され、Chuquetのlong scaleのbillion（一兆）が使われ続けることとなった。
18世紀半ば	short scaleの意味でのbillionがアメリカのイギリス植民地にもたらされる。
19世紀はじめ	フランスが広くshort scaleに移行し、アメリカ合衆国がそれに続き、学校でも教えられるようになった。19世紀のフランスの百科事典の多くではlong scaleは省かれたり、「今やもう古い方式である」と書かれたりしていた。
1926年	H. W. Fowlerの『Modern English Usage』に、「アメリカ（フランスに従った）では "billion" はイギリスと同じ意味ではないことを覚えておくべきだ。billionは我々（イギリス人）にとってはmillionの2乗すなわちmillion millions（一兆）を意味するものだが、アメリカ人にとってはthousandの3乗すなわちthousand millions（十億）を表す。これは我々がmilliardと呼んでいるものである。我々の意味におけるbillionが天文学者以外には使い勝手が悪いからといって従わないのは残念なことである」と記された。
1948年	国際度量衡総会はlong scaleの普遍的な使用を提案し、short scaleを使っている国々にlong scaleに戻すよう呼びかけた。
1961年	Journal Officiel（フランスの官報）は、フランスで公式にlong scaleが用いられていることを確認した^[6]。
1974年	イギリス首相ハロルド・ウィルソンは、これからは政府の統計でshort scaleを用いると述べた^[7]。20世紀の最後の四半期には、他の多くの英語圏の国々もこれに続いてshort scaleに切り替えた。しかしながら、これらの全ての国において、わずかながらlong scaleの使用は続いており、また公式にshort scaleが使われていることも明確ではない。
1994年	イタリア政府は公式にlong scaleが用いられていることを確認した^[8]。

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現在の使用状況

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short scaleを用いる国

英語圏

現在英語圏の多くの国でshort scaleが用いられている。以下はその一部である。

英語圏以外

10⁹ = milliard、10¹² = trillion

ロシア - 10⁹は一般にмиллиард (milliard)（ロシア語）と呼ばれる。10¹²以上はshort scaleの言い方をする。
ウクライナ
ベラルーシ
エストニア
ラトビア
リトアニア
ジョージア
アルメニア
ルーマニア
モルドバ
ブルガリア - 10⁹は一般にмилиард (miliard)（ブルガリア語）と呼ばれる。10¹²以上はshort scaleの言い方をする。
アルバニア
トルコ - 10⁹は一般にmilyar（トルコ語）と呼ばれる。10¹²以上はshort scaleの言い方をする。
トルクメニスタン
アゼルバイジャン
カザフスタン
キルギス
タジキスタン
ウズベキスタン
アラビア語圏諸国
イスラエル
インドネシア

10⁹ = billion、10¹² = trillion

ブラジル - ポルトガル語を話すが、ポルトガルと異なり、10⁹はbilhão、10¹²はtrilhãoといった言い方をする。
プエルトリコ - スペイン語の話されるアメリカ領で、一般に経済・技術に関することではshort scaleが用いられる（10⁹はbillón、10¹²はtrillón）。一方、プエルトリコ外のラテンアメリカの人に向けた刊行物ではlong scaleが用いられる。
ブルネイ
ミャンマー
アフガニスタン（10⁹はmilliardも行われる）

独自の名称

ギリシャ - 10⁹をdisekatommyrio（「二-百-万」の意）、10¹²をtrisekatommyrio（「三-百-万」の意）という。
キプロス

long scaleを用いる国

英語圏と東欧を除く多くの大陸ヨーロッパの国々ではlong scaleを使う。

例

Milliard

フランス語・デンマーク語・ノルウェー語: milliard、ドイツ語: Milliarde、オランダ語: miljard、ハンガリー語: milliárd、スペイン語: millardo（mil millonesの方が頻繁に用いられる）、イタリア語: miliardo、ポーランド語: miliard、スウェーデン語: miljard（milliardということもある）、フィンランド語: miljardi、チェコ語: miliarda、スロベニア語・クロアチア語・セルビア語: milijarda、アイスランド語: milljarður - 皆10⁹を表す。

Billion

フランス語・デンマーク語・ノルウェー語: billion、ドイツ語: Billion、オランダ語: biljoen、ハンガリー語: billió、スペイン語: billón、ポーランド語・セルビア語: bilion、スウェーデン語: biljon（billionということもある）、フィンランド語: biljoona、クロアチア語: bilijun、ポルトガル語（ポルトガル）: bilião、スロベニア語: bilijon、アイスランド語: billjón - 皆10¹²を表す。

用法

"thousand milliard" の使用

Milliardを用いるこれらの国々において "thousand milliard" という用語が時折使われるが、これは予算についての文脈でのみである。「ドイツの国債が2004年末の時点で約1418 milliardユーロ（1兆4180億ユーロ）であった」というように、milliardは予算の単位としては主要なものとなっている。予算以外については、10¹²はthousand milliardではなくbillionという。

イタリアでの用法

19世紀にはshort scaleを用いていたが20世紀になってlong scaleに戻したヨーロッパの国は2つあるが、イタリアはその1つである（もう1つはフランス）。

イタリア語では、bilioneという単語は公式には10¹²を意味するが、口語では10⁹と10¹²のいずれをも意味し得る。またtrilioneも、10¹²と（まれに）10¹⁸のいずれをも意味する。そのため、曖昧さを避けるために、こうした単語を使う人はほとんどいない。一般には10¹²はmille miliardi (a thousand milliards)、10¹⁵はun milione di miliardi、10¹⁸はun miliardo di miliardi、10²¹はmille miliardi di miliardiという方が多い。

英語圏での用法

アメリカでの用法

アメリカ合衆国では、19世紀初頭から学校でshort scaleが教えられてきた。そのため、専らshort scaleのみが用いられている。

他の国々

アメリカ以外の国では何世紀にもわたってlong scaleが用いられてきた。従って、long scaleの使用もいまだ続いており、そのためshort scaleの公式の立場がはっきりしていない。

イギリスでの用法

イギリス英語においてmilliardという用語は今や時代遅れであり（派生語のyardは使われる。#long scaleとshort scaleの比較を参照）、現在では刊行物でも筆記物でもbillionが10⁹以外を意味することはない。イギリス政府もBBCも専らshort scaleを用いている。イギリス英語で10¹²の意味でbillionを用いた場合、誤解される可能性が高い。

オーストラリアでの用法

オーストラリアでは、2つの物を同じmillionの単位で比較するときなど、10⁹をthousand millionと表すこともある。1999年現在、オーストラリア政府の財務省はshort scaleが標準であるとは見なしていないが、時折short scaleを使っている^[9]。Australian Department of Finance and Administration（AusInfoとして知られる）は現在、short scaleを推奨しており、法的定義もshort scaleである。教育、放送局、文学においても、他の英語圏と同様にshort scaleを用いている。

インドでの用法

他の英語圏の国と同様、現在、インドもアメリカのshort scaleの影響を強く受けている。しかし経済関連のメディア以外ではまちまちであり、話者の教育環境や学歴によるため、イギリスの影響下であったこともあり、多くが伝統的なlong scaleを使い続けると思われる。また、日常生活では、現在でもインド独自の命数法を用いている。（short scaleもlong scaleも用いない国参照）

エスペラントでの用法

エスペラントの公式の単語であるbilionoやtriliono等の意味するところは曖昧であり、long scaleとshort scaleのどちらを支持するかを国家が推定するのを妨げることによって、国際的なエスペラントのコミュニケーションの本質は問題を複雑化させていた。

ただ、現在では非公式だが一般に用いられている -ilion- という接尾辞 (10^6×n) を用いることで曖昧を避けようとする方向に向かっている。これは10⁶のべき乗を表すために追加されたもので、例えばduiliono（duはエスペラントで「二」）は 10^6×2 = 10¹²、triiliono（triはエスペラントで「三」）は 10^6×3 = 10¹⁸ を表す。

miliardoは明確に10⁹を表す単語であるが、最近ではこれを基にした-iliard-を非公式な接尾辞 (10^6×n+3) と見立ててduiliardo = 10^6×2+3 = 10¹⁵、triliono = 10^6×3+3 = 10²¹のように表すことが多い。つまり-ilion-の1000倍の数を表すのである。

これによって、mililiono = 10^6×1000 = 10⁶⁰⁰⁰やmililiardo = 10^6×1000+3 = 10⁶⁰⁰³等の大きな数も簡単に作れるようになった (mil = 1000)。

混乱回避措置

long scaleとshort scaleを使用している国では百万より大きい単位では同じ単語が異なる桁を示すなど表記の仕方が異なる。混乱を回避するために以下のような表示がされる^[10]。なお命数法の違いに加え、小数点や3桁を区切る記号をコンマかピリオド（終止符）かという小数点の問題がある。

もっとも簡単な方法が全数を記述することである。: 例）1,000,000,000,000 これはshort scaleでは1 trillionであるがlong scaleでは1 billionである。

ミリオン（百万）までは共通であるので百万以上の桁を数字で表示する^[11]。: 例）12,345 million（ミリオン）

指数表記で桁を表す。: 1×10⁹、1×10¹⁰、1×10¹¹、1×10¹²などで広く使われている。または一般的ではないがコンピューターで1e9、1e10、1e11、1e12と表記される。

SI接頭語で表す。: SI接頭語は基本単位に非依存の数値の桁のみを表すものでキロ（k, 10³ = 千）、メガ（M, 10⁶ = 百万）、ギガ（G, 10⁹ = 十億）、テラ（T, 10¹² = 兆）などである。これらは科学者・技術者の間で広く使われている。例）キログラム、メガワット、ギガヘルツ、テラバイト。これらはコンピュータの普及により一般にも知られているが、1ギガドルといった表現は一般的ではない。なお日本では電力表示に億kW（キロワット）といった使われ方をする。1億kWは100ギガワット (GW)である。

インド

インドの命数法は、古代インドから現代でもインド、パキスタン、バングラデシュ、ネパール、ミャンマーなどで使用されている。基本的には、西洋で一般的な3桁ごとの位取りや、日本や中国などで一般的な4桁ごとの位取りではなく、インドにおいては2桁ごとの位取りに基づく。

この命数法による表記では、基本的に2桁ごと（下3桁のみ例外）の位取りに基づいて点を置く。例えば3カロール（3千万）ルピーと記する場合はRs. 30,000,000ではなく、Rs. 3,00,00,000とすることが多い。ハザール／サハストル（千）、ラーク（十万）、カロール（千万）で区切っている。

ラーク (lakh)、カロール (crore) という単語は後述の仏典の華厳経（八十華厳及び四十華厳）における洛叉・倶胝に当たる。またインド英語では今日でも頻繁に使われており、インドでの英字新聞等でも普通に使用される。なお、英語の綴りと実際の発音とは大きくかけ離れている場合が多い。

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呼び方	数字	桁数	西洋の記数法と日本語での命数法による呼び方
एक (ek) エーク	1	10⁰	1（一）
दस (das) ダス	10	10¹	10（十）
सौ (sau) ソウ	100	10²	100（百）
सहस्त्र (sahastr) サハストル / हज़ार (hazaar) ハザール	1,000	10³	1,000（千）
लाख (lakh) ラーク	1,00,000	10⁵	100,000（十万）
करोड़ (crore) カロール	1,00,00,000	10⁷	10,000,000（千万）
अरब (arawb) アラブ	1,00,00,00,000	10⁹	1,000,000,000（十億）
खरब (kharawb) カラブ	1,00,00,00,00,000	10¹¹	100,000,000,000（千億）
नील (neel) ニール	1,00,00,00,00,00,000	10¹³	10,000,000,000,000（十兆）
पद्म (padma) パドマ	1,00,00,00,00,00,00,000	10¹⁵	1,000,000,000,000,000（千兆）
शंख (shankh) シャンク	1,00,00,00,00,00,00,00,000	10¹⁷	100,000,000,000,000,000（十京）
महाशंख (mahashankh) マハーシャンク	1,00,00,00,00,00,00,00,00,000	10¹⁹	10,000,000,000,000,000,000（千京）

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ヒンディー語において、新聞などでパドマ、カラブの単位までは時折使用されるが、それ以上の単位が登場する事はない。またインド英語においては、アラブ以上の単位は通常用いられない。しかしながら、インド数学の古い文書ではニール、パドマ、シャンクが用いられる事も多い。

高桁数の表記の場合は、ラークとカロールを組み合わせて、1ラーク・カロール（一兆、10¹²）等ということが多い。

ムンバイのギャングなどが話すスラングでは、カロールのことを「コーカー」(khokha)、ラークのことを「ペーティー」(peti) ということがある。

イランでは、50万を表す単語として「コルール」（ペルシア語: کرور‎ Korūr）を最近まで使用していた。

シンハラ語では、カロールを「コーティヤ」(kōţiya)、ラークを「ラクシャヤ」(lakshaya) と呼んでいる。また、カンナダ語のような他の南インド言語では、カロールは「コティ」(koti)、ラークは「ラクシャ」(laksha) と呼ばれている。

ベンガル語にもシャンクと同源の শঙ্খ（/ʃɔŋkʰɔ/ ションコ）という語が見られるが表す数は10¹²、つまり一兆であり、またパドマと同源の পদ্ম（綴り通りにラテン文字転写すれば padma となるが実際の発音は /pɔdːɔ̃/ ポッド）という語も存在するが指す数は10¹³、つまり十兆である^[12]。

ラークは最近「ラキ」(laki) としてスワヒリ語にも取り入れられている。

仏典の数詞

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...

八十華厳における命数
名称	読み	$n$	数 $10^{7\times 2^{n}}$
倶胝	くてい	0	10⁷
阿庾多	あゆた	1	10¹⁴
那由他	なゆた	2	10²⁸
頻波羅	ひんばら	3	10⁵⁶
矜羯羅	こんがら	4	10¹¹²
阿伽羅	あから	5	10²²⁴
最勝	さいしょう	6	10⁴⁴⁸
摩婆羅	まばら	7	10⁸⁹⁶
阿婆羅	あばら	8	10¹⁷⁹²
多婆羅	たばら	9	10³⁵⁸⁴
界分	かいぶん	10	10⁷¹⁶⁸
普摩	ふま	11	10¹⁴³³⁶
禰摩	ねま	12	10²⁸⁶⁷²
阿婆鈐	あばけん	13	10⁵⁷³⁴⁴
弥伽婆	みかば	14	10¹¹⁴⁶⁸⁸
毘攞伽	びらか	15	10²²⁹³⁷⁶
毘伽婆	びかば	16	10⁴⁵⁸⁷⁵²
僧羯邏摩	そうがらま	17	10⁹¹⁷⁵⁰⁴
毘薩羅	びさら	18	10^1835008
毘贍婆	びせんば	19	10^3670016
毘盛伽	びじょうが	20	10^7340032
毘素陀	びすだ	21	10^14680064
毘婆訶	びばか	22	10^29360128
毘薄底	びばてい	23	10^58720256
毘佉擔	びきゃたん	24	10^117440512
称量	しょうりょう	25	10^234881024
一持	いちじ	26	10^469762048
異路	いろ	27	10^939524096
顛倒	てんどう	28	10^1879048192
三末耶	さんまや	29	10^3758096384
毘覩羅	びとら	30	10^7516192768
奚婆羅	けいばら	31	10^15032385536
伺察	しさつ	32	10^30064771072
周広	しゅうこう	33	10^60129542144
高出	こうしゅつ	34	10^120259084288
最妙	さいみょう	35	10^240518168576
泥羅婆	ないらば	36	10^481036337152
訶理婆	かりば	37	10^962072674304
一動	いちどう	38	10^{1924145348608}
訶理蒲	かりぼ	39	10^{3848290697216}
訶理三	かりさん	40	10^{7696581394432}
奚魯伽	けいろか	41	10^{15393162788864}
達攞歩陀	たつらほだ	42	10^{30786325577728}
訶魯那	かろな	43	10^{61572651155456}
摩魯陀	まろだ	44	10^{123145302310912}
懺慕陀	ざんぼだ	45	10^{246290604621824}
瑿攞陀	えいらだ	46	10^{492581209243648}
摩魯摩	まろま	47	10^{985162418487296}
調伏	ちょうぶく	48	10^{1970324836974592}
離憍慢	りきょうまん	49	10^{3940649673949184}
不動	ふどう	50	10^{7881299347898368}
極量	ごくりょう	51	10^{15762598695796736}
阿麼怛羅	あまたら	52	10^{31525197391593472}
勃麼怛羅	ぼまたら	53	10^{63050394783186944}
伽麼怛羅	がまたら	54	10^{126100789566373888}
那麼怛羅	なまたら	55	10^{252201579132747776}
奚麼怛羅	けいまたら	56	10^{504403158265495552}
鞞麼怛羅	べいまたら	57	10^{1008806316530991104}
鉢羅麼怛羅	はらまたら	58	10^{2017612633061982208}
尸婆麼怛羅	しばまたら	59	10^{4035225266123964416}
翳羅	えいら	60	10^{8070450532247928832}
薜羅	べいら	61	10^{16140901064495857664}
諦羅	たいら	62	10^{32281802128991715328}
偈羅	げら	63	10^{64563604257983430656}
窣歩羅	そほら	64	10^{129127208515966861312}
泥羅	ないら	65	10^{258254417031933722624}
計羅	けいら	66	10^{516508834063867445248}
細羅	さいら	67	10^{1033017668127734890496}
睥羅	へいら	68	10^{2066035336255469780992}
謎羅	めいら	69	10^{4132070672510939561984}
娑攞荼	しゃらだ	70	10^{8264141345021879123968}
謎魯陀	めいろだ	71	10^{16528282690043758247936}
契魯陀	けいろだ	72	10^{33056565380087516495872}
摩覩羅	まとら	73	10^{66113130760175032991744}
娑母羅	しゃもら	74	10^{132226261520350065983488}
阿野娑	あやしゃ	75	10^{264452523040700131966976}
伽麼羅	かまら	76	10^{528905046081400263933952}
摩伽婆	まかば	77	10^{1057810092162800527867904}
阿怛羅	あたら	78	10^{2115620184325601055735808}
醯魯耶	けいろや	79	10^{4231240368651202111471616}
薜魯婆	べいろば	80	10^{8462480737302404222943232}
羯羅波	からは	81	10^{16924961474604808445886464}
訶婆婆	かばば	82	10^{33849922949209616891772928}
毘婆羅	びばら	83	10^{67699845898419233783545856}
那婆羅	なばら	84	10^{135399691796838467567091712}
摩攞羅	まらら	85	10^{270799383593676935134183424}
娑婆羅	しゃばら	86	10^{541598767187353870268366848}
迷攞普	めいらふ	87	10^{1083197534374707740536733696}
者麼羅	しゃまら	88	10^{2166395068749415481073467392}
馱麼羅	だまら	89	10^{4332790137498830962146934784}
鉢攞麼陀	はらまだ	90	10^{8665580274997661924293869568}
毘伽摩	びかま	91	10^{17331160549995323848587739136}
烏波跋多	うはばた	92	10^{34662321099990647697175478272}
演説	えんぜつ	93	10^{69324642199981295394350956544}
無尽	むじん	94	10^{138649284399962590788701913088}
出生	しゅっしょう	95	10^{277298568799925181577403826176}
無我	むが	96	10^{554597137599850363154807652352}
阿畔多	あばんた	97	10^{1109194275199700726309615304704}
青蓮華	しょうれんげ	98	10^{2218388550399401452619230609408}
鉢頭摩	はどま	99	10^{4436777100798802905238461218816}
僧祇	そうぎ	100	10^{8873554201597605810476922437632}
趣	しゅ	101	10^{17747108403195211620953844875264}
至	し	102	10^{35494216806390423241907689750528}
阿僧祇	あそうぎ	103	10^{70988433612780846483815379501056}
阿僧祇転	あそうぎてん	104	10^{141976867225561692967630759002112}
無量	むりょう	105	10^{283953734451123385935261518004224}
無量転	むりょうてん	106	10^{567907468902246771870523036008448}
無辺	むへん	107	10^{1135814937804493543741046072016896}
無辺転	むへんてん	108	10^{2271629875608987087482092144033792}
無等	むとう	109	10^{4543259751217974174964184288067584}
無等転	むとうてん	110	10^{9086519502435948349928368576135168}
不可数	ふかすう	111	10^{18173039004871896699856737152270336}
不可数転	ふかすうてん	112	10^{36346078009743793399713474304540672}
不可称	ふかしょう	113	10^{72692156019487586799426948609081344}
不可称転	ふかしょうてん	114	10^{145384312038975173598853897218162688}
不可思	ふかし	115	10^{290768624077950347197707794436325376}
不可思転	ふかしてん	116	10^{581537248155900694395415588872650752}
不可量	ふかりょう	117	10^{1163074496311801388790831177745301504}
不可量転	ふかりょうてん	118	10^{2326148992623602777581662355490603008}
不可説	ふかせつ	119	10^{4652297985247205555163324710981206016}
不可説転	ふかせつてん	120	10^{9304595970494411110326649421962412032}
不可説不可説	ふかせつふかせつ	121	10^{18609191940988822220653298843924824064}
不可説不可説転	ふかせつふかせつてん	122	10^{37218383881977644441306597687849648128}

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八十華厳

唐の実叉難陀訳の『華厳経（八十華厳）』（新訳華厳経、唐経、大正蔵279）の第45巻「阿僧祇品第三十」には、右表に示した命数が記述されている^[13]^[14]。

10⁵ を洛叉、100洛叉（10⁷）を倶胝（くてい）とし、倶胝以上を上数として123の命数が列挙されている。

最大の命数である不可説不可説転は

10^{7\times 2^{122}}=10^{37218383881977644441306597687849648128}

という巨大な数となる。

クッキークリッカーの日本語バージョンの一つでは、「恒河沙」までは一般的な方式の命数法となっているが、それより先は独自の方式の命数法を採用している。具体的には、一般的な方式の「阿僧祇」「那由他」「不可思議」「無量大数」は登場せず、一般的な方式なら「阿僧祇」にあたる位置に八十華厳の数詞の「頻波羅」が使われており、そこから先は「矜羯羅」「阿伽羅」を採用している。なお「阿伽羅」の次の八十華厳の数詞は「最勝」であるが、これはこのゲームで扱える数値の限界を超えてしまうため、このゲームでは事実上「阿伽羅」が日本語バージョンの最高の単位となっている。

六十華厳

東晋の仏駄跋陀羅訳の『華厳経（六十華厳）』（旧訳華厳経、晋経、大正蔵278）の第29巻「心王菩薩問阿僧祇品第二十五」には、上記の命数法とは異なる命数が記述されている^[15]^[16]。

10¹⁰ を拘梨とし、拘梨以上を上数として121の命数が列挙されている。

最大の命数である不可説転転は $10^{10\times 2^{120}}$ という巨大な数となる。

四十華厳

唐の般若三蔵訳の『華厳経（四十華厳）』（貞元経、大正蔵293）の第10巻「入不思議解脱境界普賢行願品」には、上記の命数法とは異なる命数が記述されている^[17]^[18]。

10⁵ を洛叉、100洛叉（10⁷）を倶胝とし、倶胝以上を上数として144の命数が列挙されている。

最大の命数である不可説不可説転は $10^{7\times 2^{142}}$ という巨大な数となる。

これら3つの華厳経では、八十華厳・四十華厳の洛叉は別として、他はいずれも上数で2乗すると次の単位になるため、二重指数関数に当たる。もっとも、これらは実用のものではなく、計算もできないほど大きな数を示して悟りの功徳の大きさを表したものである。

大和言葉（和語）によるひふみ詞命数法

大和言葉（和語）によって巨大な数を表す方式には、ひふみ詞によるものがあり、10³⁸の桁まで表せる。ただし実際には、「よろず（ろ）」より上が命数法として使用されることはほとんどない。

さらに見る 名称, 数 ...

大和言葉（和語）命数法
名称	数
ひとつ（ひ）	1（一）
ふたつ（ふ）	2（二）
みっつ（み）	3（三）
よっつ（よ）	4（四）
いつつ（い）	5（五）
むっつ（む）	6（六）
ななつ（な）	7（七）
やっつ（や）	8（八）
ここのつ（こ）	9（九）
とお（と）	10（十）
もも（も）	100（百）
ち	1,000（千）
よろず（ろ）	10,000（万）
ら	100,000（十万）
ね	1,000,000（百万）
し	10,000,000（千万）
き	100,000,000（一億）
る	10⁹（十億）
ゆ	10¹⁰（百億）
ゐ	10¹¹（千億）
つ	10¹²（一兆）
わ	10¹³（十兆）
ぬ	10¹⁴（百兆）
そ	10¹⁵（千兆）
を	10¹⁶（一京）
た	10¹⁷（十京）
は	10¹⁸（百京）
く	10¹⁹（千京）
め	10²⁰（一垓）
か	10²¹（十垓）
う	10²²（百垓）
お	10²³（千垓）
ゑ	10²⁴（一𥝱）
に	10²⁵（十𥝱）
さ	10²⁶（百𥝱）
り	10²⁷（千𥝱）
へ	10²⁸（一穣）
て	10²⁹（十穣）
の	10³⁰（百穣）
ま	10³¹（千穣）
す	10³²（一溝）
あ	10³³（十溝）
せ	10³⁴（百溝）
え	10³⁵（千溝）
ほ	10³⁶（一澗）
れ	10³⁷（十澗）
け	10³⁸（百澗）

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小数の命数法

中国に由来する漢数字では、小数については、一桁（0.1倍）ごとに新たな名前を付ける下数が行われている。これに対し、ヨーロッパ言語やインドにおいては分数の表記としては、half や quarter、en:Roman numerals#Fractions のような表現にはあるが、10進法の少数について桁ごとに名称を付すことは行われていない。漢数字については、位の小さなものの名称については時代や地域、また書物によって相違がある。例えば朱世傑『算学啓蒙（中国語版）』では沙以下は万万進としているほか、「虚空」「清浄」を「虚」「空」「清」「浄」の4つの別の名とするなどの違いがある。以下は一例である。

さらに見る 呼称, 数 ...

小数の命数法
呼称	数	備考
一（いち）	10⁰
分（ぶ）	10⁻¹
厘（釐）（りん）	10⁻²
毛（毫）（もう）	10⁻³
糸（絲）（し）	10⁻⁴
忽（こつ）	10⁻⁵
微（び）	10⁻⁶
繊（せん）	10⁻⁷
沙（しゃ）	10⁻⁸
塵（じん）	10⁻⁹
埃（あい）	10⁻¹⁰
渺（びょう）	10⁻¹¹
漠（ばく）	10⁻¹²
模糊（もこ）	10⁻¹³
逡巡（しゅんじゅん）	10⁻¹⁴
須臾（しゅゆ）	10⁻¹⁵
瞬息（しゅんそく）	10⁻¹⁶
弾指（だんし）	10⁻¹⁷
刹那（せつな）	10⁻¹⁸
六徳（りっとく）	10⁻¹⁹
虚空（こくう）、空虚（くうきょ）	10⁻²⁰	「虚空」「清浄」を「虚」「空」「清」「浄」と分けた場合、「虚」10⁻²⁰「空」10⁻²¹
清浄（せいじょう）	10⁻²¹	「虚空」「清浄」を「虚」「空」「清」「浄」と分けた場合、「清」10⁻²²「浄」10⁻²³

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このうち、『塵劫記』では埃以上のみが紹介されている^[19]。

実用で用いられるのは毛あるいは糸くらいまでであり、それ以下については名前がついているだけで実際にはほとんど用いられない。なお、「六徳」は「徳」の6倍という意味ではなく、「六徳」で一つの単位である。

実際に桁を連ねるときは、「二寸三分四厘」のように1の位の後に「基準単位（ここでは「寸」）」をつける。現代的な表現が「2.34寸」のように最後に「基準単位」を付けるのとは異なる。

日本語

現代の日本では、上記の小数の命数法は、野球選手の打率や守備率、スポーツチームの勝率、レートまたは割引を表す場合によく用いられる。「３６度５分」(36.5 ℃)のように、温度を表す時にも、慣用表現 (「五分五分の勝負」、「九分九厘」、「七分袖」など) でも用いられる。

かつては尺貫法において、基準となる計量単位（寸、文、匁）とともによく用いられていた（分 (数)#計量単位など）。現代では例えば 36.5 度と表記するが、伝統的には３６度５分というように基準単位（ここでは「度」）の後に小数の数詞（「分」）を付して記述する。長さの場合は、2寸3分4厘のようになる。意味は 2.34寸と同じである。

また、割と用いられることも多い。例えば、２割４分７厘は、分は割の1/10、厘は割の1/100であるので、現代風に書くと、2.47 割ということになる。

割と共に用いる場合の誤解

→「分 (数) § 百分の一を意味するとの誤解」も参照

基準単位として「割」を使う場合は「2割4分7厘」のようになることから、「分は全体の 1/100、厘は全体の 1/1000 」と勘違いをされることがある。しかし、これは「2.47割」の意味であって、「分は割の 1/10、厘は割の 1/100」であって、長さの場合の「2寸3分4厘 = 2.34寸」と同様の表現である。

上記の勘違いを生ずる原因は、割を用いる場合に割そのものが 1/10 を意味するために、「分が全体の 1/100、厘が全体の 1/1000 」と誤解するからである。分、厘、毛などの数詞は、「基準単位」（例えば、寸、割、匁など）の小数を意味することを理解しておく必要がある。

小数点と3桁区切り

小数点には地域（言語）によって、ピリオド（.）又はコンマ（,）が使われる（小数点#二つの方式）。日本ではピリオドが使われることがほとんどである。

3桁区切りについては、国際機関では小数点を基準に3桁毎にコンマ（,）やピリオド（.）を入れることを禁止しており、その代わりにスペース（通常は半角スペース(en:thin space)）を入れると規定している。これは小数点にピリオドとコンマの両方が使われていることから、３桁毎にコンマやピリオドを入れると重大な誤読を招くおそれがあるからである。

国際単位系国際文書（SI文書）の要約は次のように記している。

数字の桁数が多い場合は、読み易くするために、小数点から3桁ごとにグループ分けすることが習慣化している。これは必須ではないが、このようにされることが多く、一般的に分かり易い。この書式を使う場合、3桁ごとのグループ分けには空白のみを用い、点やカンマを使ってはならない。^[20]　