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極(きょく、英: Pole)と極線(きょくせん[1]、英: polar, polar line)は、幾何学において、円錐曲線に関する点と直線を指す用語[2][3][4][5]。極は点であることを強調するため極点とも言われる[6][7]。
与円による極と極線の相反変換(Polar reciprocation)は、点を直線に、直線を点に変換する。
極と極線はいくつかの有用な性質を持つ。
円錐曲線が円である場合は反転と深い関係を持つ。もととなる円をCとする。極線Lの極は、Lの円の中心に最も近い点(円の中心を通る垂線の垂足)をCにおいて反転した点となる。逆に、点Qの極線は、QをCにおいて反転した点Pを通り、直線上の点の中で円の中心と最も近い点がPとなるような直線となる。
極と極線の関係は相互的である。点Qの極線q上の点Aの極線aはQを通る。
円の外側に極Pがある場合、その極線は別の定義をすることもできる。Pを通る円の接線は高々2個存在する。この2接線の接点を通る直線はPの極線となる。この定義から、退化していない円錐曲線に対する極と極線へ一般化することができる。
極と極線の概念は射影幾何学にも発展できる。例えば、与えられた極と円錐曲線に対する射影調和共役点の集合は極線となる。 点を曲線に置き換える操作、またその逆の操作は極系(polarity)と呼ばれる[9]。
極系は対合として知られる相互関係でもある。
任意の点Pとその極線pについて、p上の他の点QはPを通る直線qの極である。これは相互的な関係を構築し、その逆の操作も相互的になる[10]。
極と極線の概念は円から円錐曲線(楕円、双曲線、放物線等)へ拡張できる。接続関係や複比、射影変換などに関わる性質は、一般化しても同様に成り立つ。
一般化された円錐曲線は平面直交座標系(x , y)で、二次曲線として次の式で表すことができる。
ただしは定数とする。点(ξ, η)の極線の方程式は次の形で与えられる。
ただし
直線の非退化円錐曲線に関する極は次の2つの過程で求まる。
まず次の式のx,y,zを求める。
が与えられた直線の極となる。
円錐曲線 | 円錐曲線の方程式 | 直線u x + v y = wの極 |
---|---|---|
円 | ||
楕円 | ||
双曲線 | ||
放物線 |
射影幾何学では、平面上の任意の2直線は必ず交わるとされる。 4つの直線は完全四辺形と呼ばれる四角形を成す。また4点を結ぶ直線の交点は対角点(diagonal point)と呼ばれる。
円錐曲線C上にない点Zを与え、Zを通る2つCの割線を作る。割線とCの交点A,B,D,Eから完全四辺形を作る。するとZはこの完全四辺形の対角点の一つとなる。他の二つの対角点を結ぶ直線はZの極線となる(ブロカールの定理、Brocard's theorem)[2][11]。
極と極線は、元はジョセフ・ジェルゴンヌがアポロニウスの問題を解くために定義したものである[12]。
平面力学においてpole(極)は回転の中心、polarは力線、conicは慣性の質量行列の役割を果たす[13]。poleとpolarの関係は剛体の打撃の中心の定義で使用される。極がhinge pointならば、極線はスクリュー理論におけるpercussion lineとなる。
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