複比 （ふくひ、英: double ratio）は、幾何学 における概念の1つで、交差比 （こうさひ、英: cross-ratio）および非調和比 （ひちょうわひ、英: anharmonic ratio）とも呼ばれ、4つの共線 上の点、特に射影直線 上の点の集合に関連付けられた数値である。直線上の4つの点 A, B, C, D が与えられると、それらの複比は次のように定義される。
(
A
,
B
;
C
,
D
)
=
A
C
⋅
B
D
B
C
⋅
A
D
{\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}}
点A, B, C, D およびA B', C', D' は射影変換によって関連付けられているため、それらの複比(A, B; C, D)および(A', B'; C', D')は等しい。 ここで、各距離の符号は線の向きによって決まり、距離はユークリッド空間 に射影されて測定される。（4つの点の1つが直線の無限遠点である場合、その点を含む2つの距離は式から削除される。）複比が正確に-1の場合、点DはAとBに対するCの調和共役 であり、調和比と呼ばれる。したがって、複比は、4つ組の調和比からの偏差を測定するものとみなせる。そのため非調和比 とも呼ばれる。
複比は線形分数変換 の下で不変である。これは本質的に4つの同一線上の点の唯一の射影不変量 である。このことは射影幾何学 の根底にある重要な性質である。
複比は、古代よりおそらくはユークリッド によって定義され、パップス によってその重要な普遍性特性に注目した考察がなされた。19世紀には広く研究されるようになった。[1]
射影平面上で1点で交わる4線（英: concurrent lines）や、リーマン球面 上の4点についての派生した概念も存在する。双曲幾何学 のケイリー・クラインモデル では、特定の複比により点間の距離が表される。
D はAとB に対するC の調和共役 であるため、交差比(A, B; C, D)は-1に等しい。 アレクサンドリアのパップス は、自身の著書Collection: Book VIIの中 で複比に相当する概念を暗に使用した。パップスの初期の読者には、アイザック・ニュートン 、ミシェル・シャール 、ロバート・シムソン が含まれる。 1986年、アレクサンダー・ジョーンズはパップスの原文を翻訳し、パップスの補題が現代の用語とどのように関係しているかについて解説を書いた。[2]
射影幾何学における複比の現代的な使用は、1803 年にラザール・カルノー の著書Géométrie de Position で始まった。使用された用語は、 le rapport anharmonique（ 非調和比）であった。ドイツの幾何学者はそれをdas Doppelverhältnis （複比）と呼んだ。
直線上の3点が与えられたとき、複比が-1になる4番目の点は射影調和共役 と呼ばれる。 1847 年に、カール・フォン・シュタウト は4番目の点の構成をスロー （英: throw , 独: Wurf ) と呼び、この構成を使用して、幾何学で暗黙的な算術演算を示した。彼によるスロー代数 は、通常は公理とみなされるが、射影幾何学で証明された数値命題へのアプローチを提供している。[3]
英語の"cross-ratio"という用語は、1878 年にウィリアム・キングドン・クリフォード によって導入された。[4]
座標z 1 , z 2 , z 3 , z 4 の実数直線 上の4つの異なる点の複比は次の式で与えられる。
(
z
1
,
z
2
;
z
3
,
z
4
)
=
(
z
3
−
z
1
)
(
z
4
−
z
2
)
(
z
3
−
z
2
)
(
z
4
−
z
1
)
.
{\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2})}{(z_{3}-z_{2})(z_{4}-z_{1})}}.}
また、2つの3点の分割比率の「複比」として記述することもできる。
(
z
1
,
z
2
;
z
3
,
z
4
)
=
z
3
−
z
1
z
3
−
z
2
:
z
4
−
z
1
z
4
−
z
2
.
{\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}:{\frac {z_{4}-z_{1}}{z_{4}-z_{2}}}.}
複比は通常、 z 1 , z 2 , z 3 , z 4 のいずれかが無限大
(
∞
)
{\displaystyle (\infty )}
(
∞
,
z
2
;
z
3
,
z
4
)
=
(
z
3
−
∞
)
(
z
4
−
z
2
)
(
z
3
−
z
2
)
(
z
4
−
∞
)
=
(
z
4
−
z
2
)
(
z
3
−
z
2
)
.
{\displaystyle (\infty ,z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{3}-\infty )(z_{4}-z_{2})}{(z_{3}-z_{2})(z_{4}-\infty )}}={\frac {(z_{4}-z_{2})}{(z_{3}-z_{2})}}.}
ユークリッド幾何学 では、 A, B, C, D が共線 上の点である場合、複比は次のように表される。
(
A
,
B
;
C
,
D
)
=
A
C
⋅
B
D
B
C
⋅
A
D
,
{\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}},}
ここで、各距離の符号は、線の一貫した方向に従って決定される。
同じ式を4つの異なる複素数 、またはより一般的には任意の体 の元にも適用でき、1つが∞の場合は上記のような拡張が可能である。
共線上の4点 A , B , C , D の複比は、次のように記述できる。
(
A
,
B
;
C
,
D
)
=
A
C
C
B
:
A
D
D
B
{\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC}{CB}}:{\frac {AD}{DB}}}
ここで
A
C
C
B
{\displaystyle {\frac {AC}{CB}}}
C が線分
A
B
{\displaystyle AB}
A
D
D
B
{\displaystyle {\frac {AD}{DB}}}
D が同じ線分を分割する比率を表す。次に、複比は比の比として現れ、2 つの点 C, D が線分
A
B
{\displaystyle AB}
A, B, C, D が異なる限り、複比 (A, B; C, D) はゼロ以外の実数となる。それは次のように簡単に推測できる。
(A , B ; C , D ) < 0 は、点 C, D の一方が点 A, B の間にあり、他方が点 A, B の間にない場合に限る。
(A , B ; C , D ) = 1 / (A , B ; D , C )
(A , B ; C , D ) = (C , D ; A , B )
(A , B ; C , D ) ≠ (A , B ; C , E ) ↔ D ≠ E 4点を並べる方法は 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
(
A
,
B
;
C
,
D
)
=
(
B
,
A
;
D
,
C
)
=
(
C
,
D
;
A
,
B
)
=
(
D
,
C
;
B
,
A
)
=
λ
(
A
,
B
;
D
,
C
)
=
(
B
,
A
;
C
,
D
)
=
(
C
,
D
;
B
,
A
)
=
(
D
,
C
;
A
,
B
)
=
1
λ
(
A
,
C
;
B
,
D
)
=
(
B
,
D
;
A
,
C
)
=
(
C
,
A
;
D
,
B
)
=
(
D
,
B
;
C
,
A
)
=
1
−
λ
(
A
,
C
;
D
,
B
)
=
(
B
,
D
;
C
,
A
)
=
(
C
,
A
;
B
,
D
)
=
(
D
,
B
;
A
,
C
)
=
1
1
−
λ
(
A
,
D
;
B
,
C
)
=
(
B
,
C
;
A
,
D
)
=
(
C
,
B
;
D
,
A
)
=
(
D
,
A
;
C
,
B
)
=
λ
−
1
λ
(
A
,
D
;
C
,
B
)
=
(
B
,
C
;
D
,
A
)
=
(
C
,
B
;
A
,
D
)
=
(
D
,
A
;
B
,
C
)
=
λ
λ
−
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&(A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A)=\lambda \\[6pt]&(A,B;D,C)=(B,A;C,D)=(C,D;B,A)=(D,C;A,B)={\frac {1}{\lambda }}\\[6pt]&(A,C;B,D)=(B,D;A,C)=(C,A;D,B)=(D,B;C,A)=1-\lambda \\[6pt]&(A,C;D,B)=(B,D;C,A)=(C,A;B,D)=(D,B;A,C)={\frac {1}{1-\lambda }}\\[6pt]&(A,D;B,C)=(B,C;A,D)=(C,B;D,A)=(D,A;C,B)={\frac {\lambda -1}{\lambda }}\\[6pt]&(A,D;C,B)=(B,C;D,A)=(C,B;A,D)=(D,A;B,C)={\frac {\lambda }{\lambda -1}}.\end{aligned}}}
後述の非調和群
射影幾何学における複比を使用した透視投影で描かれた地物の実際の寸法の測定。 A, B, C, D, Vは画像上の点であり、それらの間隔はピクセル単位で示される。 A', B', C', D'は実世界にあり、メートル単位で分離される。
* （1）脇道の幅Wは、隣接する店舗の既知の幅から計算される。
* （2）消失点Vが表示されるため、1つの店の幅のみが必要である。
複比は射影直線の射影変換 によって保持されるという意味で射影不変量 である。
特に、4つの点がR 2 の直線L 上にある場合、それらの複比は、原点を選択や線上のスケールを選択に関わらず同じ値になるため well-defined な量である。
さらに {L i i ≤ 4 } は、同じ点Q を通る平面上の4本の異なる直線である。次に、Q を通過しない任意の線L は、4つの異なる点P i L がL i 平行 である場合、対応する交点は「無限遠」にある)。これらの点の（固定された順序で与えられる）複比は、線L の選択に依存しないことがわかる。したがって、4本の線の組 {L i
これは、L とL ′ がQ を通過しない2つの線である場合、Q を中心とするL からL ′ への透視変換は、L 上の4つの点の組 {P i L ′ 上の4つの点の組 {P i ′ } 射影変換となることから理解できる。
したがって、直線の射影的自己同型の下での複比の不変性は、4つの直線 {L i 共線 点 {P i
同一線上にある4つの点がベクトルa , b , c , d によって同次座標 で表され、 c = a + b d = ka + b ｋである。 [5]
アーサー・ケイリー とフェリックス・クライン は、複比の非ユークリッド幾何学 への適用を発見した。実射影平面 の正則円錐曲線 C が与えられると、射影群 G = PGL(3, R )スタビライザー GC はC の内部の点に推移的 に作用 する。ただし、点のペア に対するGC の作用には不変条件がある。実際、そのような不変量はすべて、適切な複比の関数として表現できる。[ 要出典 ]
明示的に円錐曲線を単位円 とする。単位円内部の任意の2点 P, Q に対し、それらを結ぶ直線が円と交差する2点 X, Y を順が X, P, Q, Y となるように決める。このとき双曲平面 のケイリー・クラインモデル におけるP とQ の間の双曲距離は、
d
h
(
P
,
Q
)
=
1
2
|
log
|
X
Q
|
|
P
Y
|
|
X
P
|
|
Q
Y
|
|
{\displaystyle d_{h}(P,Q)={\frac {1}{2}}\left|\log {\frac {|XQ||PY|}{|XP||QY|}}\right|}
のように表せる(曲率 を -1 にするためには係数の 1/2 が必要である)。複比は射影変換の下で不変であるため、双曲線距離は円錐C を保存する射影変換の下で不変であるということになる。
逆に、群G は固定された双曲的距離で単位円盤の点(p , q ) のペアのセットに推移的に作用する。
後に、アンリ・ポアンカレ の影響もあり、円上の4つの複素数 の複比が双曲線計量に使用された。円上にあるということは、メビウス変換 の下で4つの点が4つの実点の像であることを意味するため、複比は実数となる。ポアンカレ半平面モデル とポアンカレの円板モデル は、複素射影直線 における双曲幾何学の2つのモデルである。
これらのモデルは、 ケイリー・クライン計量 の例である。
複比は、次の4つの式のいずれかで定義できる。
(
A
,
B
;
C
,
D
)
=
(
B
,
A
;
D
,
C
)
=
(
C
,
D
;
A
,
B
)
=
(
D
,
C
;
B
,
A
)
.
{\displaystyle (A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A).\,}
これらは、次の（循環表記法 で表現された）変数の順列 によって異なる。
1
,
(
A
,
B
)
(
C
,
D
)
,
(
A
,
C
)
(
B
,
D
)
,
(
A
,
D
)
(
B
,
C
)
.
{\displaystyle 1,\ (A,B)(C,D),\ (A,C)(B,D),\ (A,D)(B,C).}
4つの変数の順列は、4つの変数の関数に対する対称群 S4 の作用 と考えることができる。上記の4つの順列は複比を変えないため、この作用の下で複比のスタビライザー K を形成し、複比の軌道上の商群
S
4
/
K
{\displaystyle S_{4}/K}
の有効な作用 を成す。 K の4つの順列は、S4 のクラインの四元群 を実現し、商
S
4
/
K
{\displaystyle S_{4}/K}
3 と同形である。
したがって、4つの変数の他の順列は複比を変え、6要素の群
S
4
/
K
≅
S
3
{\displaystyle S_{4}/K\cong S_{3}}
(
A
,
B
;
C
,
D
)
=
λ
(
A
,
B
;
D
,
C
)
=
1
λ
(
A
,
C
;
D
,
B
)
=
1
1
−
λ
(
A
,
C
;
B
,
D
)
=
1
−
λ
(
A
,
D
;
C
,
B
)
=
λ
λ
−
1
(
A
,
D
;
B
,
C
)
=
λ
−
1
λ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(A,B;C,D)&=\lambda &(A,B;D,C)&={\frac {1}{\lambda }}\\[6pt](A,C;D,B)&={\frac {1}{1-\lambda }}&(A,C;B,D)&=1-\lambda \\[6pt](A,D;C,B)&={\frac {\lambda }{\lambda -1}}&(A,D;B,C)&={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.\end{aligned}}}
λ メビウス変換 の例であり、関数の合成の下でメビウス群PGL(2, Z ) を形成する。 6つの変換は非調和群 として知られる部分群を形成し、これも S3 に同型である。それらはPGL (2, Z )楕円変換 ）である。すなわち、
1
λ
{\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda }}}
1
−
λ
{\displaystyle 1-\lambda \,}
λ
λ
−
1
{\displaystyle {\tfrac {\lambda }{\lambda -1}}}
固定点 −1, 1/2, 2 を持つ位数2（つまり、調和複比の軌道）である。一方、
1
1
−
λ
{\displaystyle {\tfrac {1}{1-\lambda }}}
λ
−
1
λ
{\displaystyle {\tfrac {\lambda -1}{\lambda }}}
PGL(2, Z ) の位数3であり、それぞれが両方の「最も対称的な」複比の値
e
±
i
π
/
3
{\displaystyle e^{\pm i\pi /3}}
非調和群はλ ↦ 1/λ λ ↦ 1 − λ {0, 1, ∞} に対するその作用は S3 との同型を与える。また、前述の6つのメビウス変換[6] 体 上でS3 の射影表現 を生成し、（2つの項が1/−1のみが異なることはないため）常に忠実/単射である。 2元体上では射影直線は3点しか持たないため、この表現は同型であり、例外的な同型
S
3
≈
P
G
L
(
2
,
2
)
{\displaystyle \mathrm {S} _{3}\approx \mathrm {PGL} (2,2)}
−
1
=
[
−
1
:
1
]
{\displaystyle -1=[-1:1]}
2
=
1
/
2
=
−
1
{\displaystyle 2=1/2=-1}
S
4
≈
P
G
L
(
2
,
3
)
{\displaystyle \mathrm {S} _{4}\approx \mathrm {PGL} (2,3)}
−
1
{\displaystyle -1}
S
3
↪
S
4
{\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}
λが 特定の値のとき、対称性が高くなるため交差比の可能な値は6つより少なくなる。 λ のこれらの値は、リーマン球面上のS3 の作用の固定点 に対応する（前述の6つの関数によって与えられる）。言い換えると、この順列群に非自明なスタビライザー を持つこれらの点に対応する。
固定点の最初の集合は{0, 1, ∞} である。ただし、点 A, B, C, D がすべて異なる場合、複比はこれらの値を取ることはできない。これらの値は、座標の1つのペアが互いに接近するときの極限値である。
(
Z
,
B
;
Z
,
D
)
=
(
A
,
Z
;
C
,
Z
)
=
0
{\displaystyle (Z,B;Z,D)=(A,Z;C,Z)=0}
(
Z
,
Z
;
C
,
D
)
=
(
A
,
B
;
Z
,
Z
)
=
1
{\displaystyle (Z,Z;C,D)=(A,B;Z,Z)=1}
(
Z
,
B
;
C
,
Z
)
=
(
A
,
Z
;
Z
,
D
)
=
∞
.
{\displaystyle (Z,B;C,Z)=(A,Z;Z,D)=\infty .}
固定点の2番目の集合は{− 1, 1/2, 2} である。この状況は、古典的に調和複比 と呼ばれるもので、射影調和共役 で起こりうる。実数の範囲では、他に例外的な軌道はない。
複素数の範囲では、最も対称的な複比は
λ
=
e
±
i
π
/
3
{\displaystyle \lambda =e^{\pm i\pi /3}}
複比は、直線の射影変換 の下で不変である。複素 射影線またはリーマン球 の場合、これらの変換はメビウス変換 として知られている。一般的なメビウス変換の形式は次のように表される。
f
(
z
)
=
a
z
+
b
c
z
+
d
,
where
a
,
b
,
c
,
d
∈
C
and
a
d
−
b
c
≠
0.
{\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\;,\quad {\mbox{where }}a,b,c,d\in \mathbb {C} {\mbox{ and }}ad-bc\neq 0.}
これらの変換は、リーマン球 に作用 する群 、メビウス群 を形成する。
複比の射影不変性は、
(
f
(
z
1
)
,
f
(
z
2
)
;
f
(
z
3
)
,
f
(
z
4
)
)
=
(
z
1
,
z
2
;
z
3
,
z
4
)
.
{\displaystyle (f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}).\ }
すべてのメビウス変換が一般化された円 を一般化された円にマッピングするという事実より、4つの点が共線 または共円 である場合にのみ複比が実数 になる。
メビウス群の作用は、リーマン球の異なる点の三つ組の集合上で単純に推移的 である。異なる点の任意の順序付き三つ組(z 2 , z 3 , z 4 ) が与えられると、一意なメビウス変換f (z )が存在する。この変換は複比を用いて簡単に記述できる。(z , z 2 ; z 3 , z 4 ) は(f (z ), 1; 0, ∞) に等しくなければならず、これはf (z )に等しいため、次の式が得られる。
f
(
z
)
=
(
z
,
z
2
;
z
3
,
z
4
)
.
{\displaystyle f(z)=(z,z_{2};z_{3},z_{4}).}
複比の不変性の別の説明は、直線の射影変換の群が平行移動、相似性、乗法的反転によって生成されるという事実に基づいている。差z j − z k F の定数 aに対する 平行移動 、
z
↦
z
+
a
{\displaystyle z\mapsto z+a}
の下で不変である。また、分割比はF の非ゼロ定数bに対する 相似変換 、
z
↦
b
z
{\displaystyle z\mapsto bz}
の下で不変である。したがって、複比はアフィン変換 の下で不変である。
well-defined な反転マッピング
T
:
z
↦
z
−
1
,
{\displaystyle T:z\mapsto z^{-1},}
を得るために、アフィン線は、射影線P 1 (F ) を形成する ∞ で示される無限遠の点 によって拡張される必要がある。各アフィン写像 f : F → F P 1 (F ) のそれ自体への写像に一意に拡張できる。写像T は 0 と ∞ を交換する。射影群はTによって 生成 され、アフィン写像はP 1 (F ) に拡張される。 F = C 複素平面 の場合、これはメビウス群 になる。複比もT の下で不変であるため、P 1 (F )のそれ自体への射影写像の下で不変である。
複素数点をベクトル
x
→
n
=
[
ℜ
(
z
n
)
,
ℑ
(
z
n
)
]
T
{\displaystyle {\overrightarrow {x}}_{n}=[\Re (z_{n}),\Im (z_{n})]^{\rm {T}}}
x
n
m
=
x
n
−
x
m
{\displaystyle x_{nm}=x_{n}-x_{m}}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
C
1
=
(
x
12
,
x
14
)
(
x
23
,
x
34
)
−
(
x
12
,
x
34
)
(
x
14
,
x
23
)
+
(
x
12
,
x
23
)
(
x
14
,
x
34
)
|
x
23
|
2
|
x
14
|
2
{\displaystyle C_{1}={\frac {(x_{12},x_{14})(x_{23},x_{34})-(x_{12},x_{34})(x_{14},x_{23})+(x_{12},x_{23})(x_{14},x_{34})}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}}
これは、反転
x
μ
→
x
μ
|
x
|
2
{\displaystyle x^{\mu }\rightarrow {\frac {x^{\mu }}{|x|^{2}}}}
特殊等角写像 の不変量である。
虚部は2次元の外積
a
×
b
=
[
a
,
b
]
=
a
2
b
1
−
a
1
b
2
{\displaystyle a\times b=[a,b]=a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}
C
2
=
(
x
12
,
x
14
)
[
x
34
,
x
23
]
−
(
x
43
,
x
23
)
[
x
12
,
x
34
]
|
x
23
|
2
|
x
14
|
2
{\displaystyle C_{2}={\frac {(x_{12},x_{14})[x_{34},x_{23}]-(x_{43},x_{23})[x_{12},x_{34}]}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}}
複比の概念は、加法、乗法、反転の環 演算にのみ依存する（ただし、特定の元の反転は環ではその限りではない）。複比へのひとつのアプローチは、指定された3点を 0、1、無限大 にするホモグラフィ として解釈することである。逆数に関する制限の下で、環上の射影直線 による環操作を使用してそのような写像を生成することが可能である。 4 点の複比は、4点目でのこのホモグラフィの評価である。
この理論は、4つの点が近接するにつれて、微分計算の側面を帯びる。これは、シュワルツ導関数 の理論につながり、より一般的には射影接続 の理論につながる。
複比は、点の構成の他の幾何学的特性、特に共線性により、単純な方法ではより高い次元に一般化されない。構成空間 はより複雑であり、点の異なるk-組 は一般化位置 にない。
射影線の射影線型群は3推移的（任意の3つの異なる点を他の任意の3 点に写像できる）であり、実際には単純な3推移的である（任意の三つ組を別の三つ組に取る一意の 射影写像がある）が、したがって、複比は4つの点の集合の一意の射影不変量であり、高次元には基本的な幾何学的不変量がある。 n 空間の射影線型群
P
n
=
P
(
K
n
+
1
)
{\displaystyle \mathbf {P} ^{n}=\mathbf {P} (K^{n+1})}
n + 1)2 − 1次元を持つ（
P
G
L
(
n
,
K
)
=
P
(
G
L
(
n
+
1
,
K
)
)
{\displaystyle \mathrm {PGL} (n,K)=\mathbf {P} (\mathrm {GL} (n+1,K))}
n 2 点の一意の不変量を提供する一般化交差比は存在しない。
共線性は、維持する必要がある点の構成の唯一の幾何学的特性ではない。例えば、 5つの点は円錐曲線を決定する が、6つの点は一般に円錐曲線上にないため、「点の6つ組が円錐曲線上にあるか否か」も射影不変量となる。一般化位置 での点の軌道を調べることができる（「一般化位置」の直線では区別することと同等だが、より高い次元では、議論したように幾何学的な考慮が必要である）が、上記のように、これはより複雑で情報が少なくなる。
ただし、アベル・ヤコビ写像 とシータ関数 を用いた、種数 が正のリーマン面 への一般化が存在する。
A theorem on the anharmonic ratio of lines appeared in the work of Pappus , but Michel Chasles , who devoted considerable efforts to reconstructing lost works of Euclid , asserted that it had earlier appeared in his book Porisms . Howard Eves (1972) A Survey of Geometry , Revised Edition, page 73, Allyn and Bacon
Lars Ahlfors (1953,1966,1979) Complex Analysis , 1st edition, page 25; 2nd & 3rd editions, page 78, McGraw-Hill ISBN 0-07-000657-1 .Viktor Blåsjö (2009) "Jakob Steiner’s Systematische Entwickelung: The Culmination of Classical Geometry ", Mathematical Intelligencer 31(1): 21– 9.
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![{\displaystyle {\begin{aligned}&(A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A)=\lambda \\[6pt]&(A,B;D,C)=(B,A;C,D)=(C,D;B,A)=(D,C;A,B)={\frac {1}{\lambda }}\\[6pt]&(A,C;B,D)=(B,D;A,C)=(C,A;D,B)=(D,B;C,A)=1-\lambda \\[6pt]&(A,C;D,B)=(B,D;C,A)=(C,A;B,D)=(D,B;A,C)={\frac {1}{1-\lambda }}\\[6pt]&(A,D;B,C)=(B,C;A,D)=(C,B;D,A)=(D,A;C,B)={\frac {\lambda -1}{\lambda }}\\[6pt]&(A,D;C,B)=(B,C;D,A)=(C,B;A,D)=(D,A;B,C)={\frac {\lambda }{\lambda -1}}.\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d183595870a6d516df017a1ae4c6af3bd142b15)
&={\frac {1}{1-\lambda }}&(A,C;B,D)&=1-\lambda \\[6pt](A,D;C,B)&={\frac {\lambda }{\lambda -1}}&(A,D;B,C)&={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056eb286b7321522447c94b426f0c4cf48ee09b9)
![{\displaystyle -1=[-1:1]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24adc46c179c53ef270f071518cb7d308300fdeb)
![{\displaystyle {\overrightarrow {x}}_{n}=[\Re (z_{n}),\Im (z_{n})]^{\rm {T}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470f3991f5806e33b77e9e9695b4a9f36bbafc19)
![{\displaystyle a\times b=[a,b]=a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f245d88996a813e2730e805cf059f1162ec30464)
![{\displaystyle C_{2}={\frac {(x_{12},x_{14})[x_{34},x_{23}]-(x_{43},x_{23})[x_{12},x_{34}]}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0702314588cb44e101aa76943658393dca6b1ddc)
