Գործողություն (ֆիզիկա)

Գործողություն, ֆիզիկական համակարգի շարժման չափը ցույց տվող մեծություն։ Գործողությունը ֆունկցիոնալ է, որն ընդունում է համակարգի հետագիծը (որը կոչվում է նաև ճանապարհ կամ պատմություն) որպես արգումենտ և որպես արդյունք իրական թիվ է ներկայացնում։ Ընդհանրապես գործողությունը տարբեր ճանապարհների համար տարբեր արժեքներ է ընդունում^[1]։ Գործողության չափողականությունը [էներգիա]·[ժամանակ] կամ [իմպուլս]·[երկարություն] է, ՄՄՀ միավորներով՝ ջոուլ-վայրկյան։

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Գործողություն

Ներածություն

Փորձարարական օրենքները հաճախ արտահայտվում են որպես դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք նկարագրում են ֆիզիկական մեծությունների, ինչպես օրինակ դիրքի և իմպուլսի անընդհատ փոփոխությունը ժամանակի ընթացքում։ Ունենալով տվյալ վիճակում սկզբնական և սահմանային պայմանները, այս փորձարարական հավասարումների լուծումների համար ստանում ենք բացահայտ ֆունկցիաներ, որոնք նկարագրում են համակարգի վարքը և կոչվում են շարժման հավասարումներ։

Գործողությունը շարժման հավասարումներ գտնելու այլընտրանքային եղանակ է։ Դասական մեխանիկան պնդում է, որ ֆիզիկական համակարգը շարժվում է այն հետագծով, որով գործողությունը փոքրագույնն է, կամ, ավելի ընդհանուր ասած, կայուն է։ Այլ կերպ ասած, գործողությունը բավարարում է վարիացիոն սկզբունքին՝ փոքրագույն գործողության սկզբունքին։ Գործողությունը սահմանվում է ինտեգրալով, և համակարգի շարժման դասական հավասարումները կարող են արտածվել այդ ինտեգրալի արժեքը մինիմալացնելուց։

Այս պարզագույն սկզբունքը խոր ներըմբռնումների հիմք է ֆիզիկայում և կարևոր հասկացություն է տեսական ֆիզիկայում։

Այս երկու մոտեցումների հավասարակշռությունը պարունակվում է Համիլտոնի սկզբունքում, ըստ որի՝ ցանկացած ֆիզիկական համակարգի համար շարժման դիֆերենցիալ հավասարումները կարելի է վերաձևակերպել որպես ինտեգրալային հավասարումների համարժեքը։ Այն կիրառելի է ոչ միայն դասական մեխանիկայի եզակի մասնիկի նկատմամբ, այլև դասական դաշտերի, ինչպիսիք են էլեկտրամագնիսական և գրավիտացիոն դաշտերը։ Համիլտոնի սկզբունքն ընդլայնվել է նաև քվանտային մեխանիկայում և դաշտի քվանտային տեսությունում, մասնավորապես ըստ հետագծերի ձևակերպման մեջ, որտեղ ֆիզիկական համակարգը միաժամանակ հետևում է բոլոր հնարավոր հետագծերին, իսկ յուրաքանչյուր հետագծի հավանականային լայնույթը որոշվում է տվյալ հետագծի գործողությամբ^[2]։

Պատմություն

Գործողությունը սահմանվել է մի քանի, այժմ հնացած եղանակներով^[3]։

• Գոթֆրիդ Լայբնիցը, Յոհան Բեռնուլին և Պիեռ Լուի դը Մոպերտյուին լույսի համար գործողությունը սահմանել են որպես իր արագության կամ արագության հակադարձի ինտեգրալը իր ճանապարհով։
• Լեոնարդ Էյլերը (և հավանաբար, Լայբնիցը) նյութական կետի գործողությունը սահմանել են որպես մասնիկի արագության ինտեգրալը իր ճանապարհով։
• Պիեռ Լուի դը Մոպերտյուին մեկ հոդվածում ներկայացրել է գործողության մի քանի ad hoc և հակասական սահմանումներ՝ գործողությունը սահմանելով որպես պոտենցիալ էներգիա, որպես վիրտուալ կինետիկ էներգիա և որպես դրանց հիբրիդը, որը ապահովում է իմպուլսի պահպանումը բախումների ժամանակ^[4]։

Մաթեմատիկական սահմանում

Ֆիզիկայում գործողության մի քանի տարբեր սահմանումներ են կիրառվում^[3][5]։ Գործողությունը սովորաբար ինտեգրալ է ըստ ժամանակի։ Սակայն երբ այն դիտարկվում է դաշտերի նկատմամբ, այն կարելի է ինտեգրել նաև ըստ տարածական կոորդինատների։ Որոշ դեպքերում գործողությունն ինտեգրվում է ֆիզիկական համակարգի հետագծով։

Գործողությունը հիմնականում ներկայացվում է որպես ինտեգրալ ըստ ժամանակի՝ վերցնելով համակարգի սկզբնական վիճակի և վերջնական վիճակի ժամանակները^[3]՝

${\displaystyle S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,{\dot {q}},t)dt}$

կամ

${\displaystyle S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t){\bigg )}dt}$,

որտեղ

• ${\displaystyle t}$-ն ժամանակն է,
• ${\displaystyle q=\{q_{1},q_{2},\dots ,q_{N}\}}$-ը՝ դինամիկ համակարգը նկարագրող կոորդինատների լրիվ հավաքածուն,
• ${\displaystyle {\dot {q}}=\{{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\dots ,{\dot {q}}_{N}\}}$-ը՝ արագությունների հավաքածուն (${\displaystyle q}$-ի ածանցյալն ըստ ժամանակի),
• ${\displaystyle L}$-ը՝ Լագրանժի ֆունկցիան, որը կախված է N կոորդինատներից, N արագություններից, և երբեմն բացահայտ տեսքով նաև ժամանակից․ դասական մեխանիկայում համընկնում է կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների տարբերությանը,
• ${\displaystyle H}$-ը Համիլտոնի ֆունկցիան է, որն իրենից ներկայացնում է համակարգի լրիվ էներգիան՝ արտահայտված N կոորդինատներով, նրանց համալուծ N իմպուլսներով և երբեմն նաև բացահայտ՝ նաև ժամանակով։

Երկու ${\displaystyle S}$ մեծություններն էլ գործնականում համընկնում են, սակայն տարբեր կերպ են արտահայտված․ առաջինն ըստ լագրանժյան ֆորմալիզմի է, իսկ երկրորդը՝ ըստ համիլտոնյան ֆորմալիզմի։

Բերված գործողություն ընդունված է անվանել

${\displaystyle S_{0}=\int \limits _{A}^{B}\sum _{i}p_{i}dq_{i}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {p}}\cdot {\vec {v}}dt}$

մեծությունը, որտեղ նշանակումները համընկնում են վերը բերվածներին, իսկ վերջին ինտեգրալի արտահայտությունը իմպուլսի և արագության վեկտորների սկալյար արտադրյալն է, որը մեկ մասնիկի դեպքում կարելի է դիտարկել սովորական նյուտոնյան իմաստով։

Այստեղ ${\displaystyle q_{i},{\dot {q}}_{i}}$ և ${\displaystyle p_{i}}$ ընդհանրացված կոորդինատներն են (որոնք պարտադիր չէ համընկնեն դեկատրյան կոորդինատների հետ), դրանց համապատասխանող ընդհանրացված արագությունները և այդ կոորդինատներին կանոնիկ համալուծ իմպուլսները։ Մասնավոր դեպքում որպես այդպիսին կարող են ընտրվել դեկարտյան կոորդինատները, այդ ժամանակ համապատասխան իմպուլսներն իրենցից ներկայացնում են համակարգի նյութական կետերի վեկտորական իմպուլսների սովորական բաղադրիչները։

Բաշխված համակարգերի համար (օրինակ, դաշտերի և առաձգական հոծ միջավայրերի) գործողությունը սովորաբար կարելի է գրել այսպես․

${\displaystyle S=\int {\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},x,t)dVdt}$

կամ

${\displaystyle S=\int {\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,x,t){\bigg )}dVdt}$,

որտեղ

• ${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {H}}}$-ը համապասխանաբար Լագրանժի և Համիլտոնի ֆունկցիաների խտություններն են,
• ${\displaystyle x}$-ը դաշտով կամ միջավայրով զբաղեցված տարածության կետ է,
• ${\displaystyle dV}$-ը այդ տարածության ծավալի տարրն է,
• ${\displaystyle q_{i},p_{i}}$-ը ընդհանրացված կոորդինատները և ընդհանրացված իմպուլսներն են բաշխված համակարգի տրված ${\displaystyle x}$ կետի համար։

Ինտեգրումն արվում է և ըստ տարածության և ըստ ծավալի։ Համակարգը նկարագրող ${\displaystyle q_{i},p_{i}}$ կոորդինատների և իմպուլսների ընդհանուր քանակը, ինչպես տեսնում ենք, այս դեպքում անվերջ է, քանի որ նրանց քանակը վերջավոր է միայն մեկ ${\displaystyle x}$-ի համար, իսկ ${\displaystyle x}$-երի բազմությունը անվերջ է։

Գործողությունն ունի [էներգիա]·[ժամանակ] չափականությունը, իսկ ՄՄ համակարգում դրա համարժեքը ջոուլ-վայրկյանն է, որը նույնական է անկյունային մոմենտի միավորին։

Ծանոթագրություններ

1. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
2. Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
3. Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
4. Œuvres de Mr de Maupertuis (pre-1801 Imprint Collection at the Library of Congress).
5. Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN 3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN 0-89573-752-3 (VHC Inc.)