Մատրից

Մատրից (գերմ.՝ Matrize, լատին․՝ matrix՝ աղբյուր, սկիզբ) մաթեմատիկայում թվեր, նշաններ կամ արտահայտություններ պարունակող ուղղանկյուն զանգված է՝ կազմված տողերից ու սյունակներից։ Ստորև ներկայացված է ${\displaystyle n}$ տող ու ${\displaystyle m}$ սյունակ ունեցող օրինակ․

${\displaystyle {\hat {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm}\end{pmatrix}},{\hat {A}}=a_{ij}}$

Նույն չափերով մատրիցների նույն դիրքում գտնվող տարրերի հետ կարելի է գումարման ու հանման գործողություններ կատարել։ Բազմապատկումը հնարավոր է, եթե մատրիցներից մեկի տողերի քանակը հավասար է մյուսի սյունակների քանակին ու հակառակը։ Մատրիցները թեթևացնում են հաշվարկները թե՛ տեսականորեն, թե՛ գործնականորեն։

Մատրիցների գլխավոր կիրառումը գծային ձևափոխումների ներակայացումն է․ ինչը, օրինակ, ${\displaystyle f(x)=4x}$ գծային ֆունկցիայի ընդհանրացումն է մատրիցով։ Եռաչափ տարածության մեջ վեկտորների պտույտն առանցքի շուրջ գծային ձևափոխում է, որ կարող է ներկայացվել համապատասխան ${\displaystyle R}$ մատրիցով։ Եթե ${\displaystyle v}$-ն տարածությունում կետի դիրքը բնութագրող սյունակային վեկտոր(միայն մի սյունակից բաղկացած ${\displaystyle nx1}$ մատրից) է, ապա ${\displaystyle Rv}$ մատրիցը բնութագրում է նույն կետի դիրքը պտույտից հետո․ այդպիսով, երկու մատրիցների արտադրյալը համադրում է դրանց ներկայացրած գծային ձևափոխությունները։

Մատրիցը քառակուսի (տողերի քանակը հավասար է սյունակների քանակին) է, նրա հատկությունները հայտնի են դառնում որոշիչի (դետերմինանտի) հաշվարկից։ Օրինակ, մատրիցի հակադարձը գոյություն ունի միայն այն դեպքում, եթե որոշիչը զրո չի։ Մատրիցը կոչվում է ${\displaystyle n}$-րդ կարգի քառակուսի մատրից, որի գլխավոր անկյունագծի ${\displaystyle a_{11}}$, ${\displaystyle a_{22}}$, ..., ${\displaystyle a_{nm}}$ տարրերի գումարը կոչվում է ${\displaystyle {\hat {A}}}$ մատրիցի հետք։

Երբ քառակուսի մատրիցի գլխավոր անկյունագիծը կազմված է բացառապես մեկերից, իսկ մնացած տարրերը զրոներ են, մատրիցը կոչվում է միավոր մատրից և համարվում է մեկ թվի համարժեքը. այլ մատրիցի հետ բազմապատկելիս վերջինիս արժեքը չի փոխում։ Միայն զրոներից կազմված մատրիցներն են կոչվում զրոյական մատրիցներ։

Սեփական արժեքներն ու սեփական վեկտորները գծային ձևափոխումների մեջ երկրաչափություն են ներմուծում։

Մատրիցների կիրառվում են բազմաթիվ գիտական բնագավառներում։ Ֆիզիկայի բոլոր ճյուղերում, ներառյալ դասական մեխանիկան, օպտիկան, էլեկտրամագնիսականությունը, քվանտային մեխանիկան ու քվանտային էլեկտրադինամիկան, մատրիցներն օգտագործվում են ֆիզիկական երևույթների՝ օրինակ, բացարձակ պինդ մարմինների շարժման ուսումնասիրության համար։ Համակարգչային գրաֆիկայում մատրիցներն եռաչափ մարմինները պատկերում են երկչափ էկրանի վրա։ Հավանականության տեսության ու վիճակագրության մեջ ստոքաստիկ մատրիցները օգտագործվում են հավանական տարբերակների հավաքածուն ներկայացնելու համար․ օրինակ, նրանցով Գուգլը ներկայացնում է փնտրման արդյունքները որոշակի հերթականությամբ։ Մատրիցների հաշվարկները ընդհանրացնում են ածանցյալի ու աստիճանի նման դասական անալիտիկ գրառման ձևերը ավելի բարձր չափումներում։

Թվաբանական անալիզների հիմնական ճյուղերից մեկը նվիրված է մատրիցների հետ հաշվարկների համար բարձր օգտակարականության ալգորիթմ մշակելուն․ ուսումնասիման առարկա, որ դարերի պատմություն ունի և այսօր փորփրումների ու փտրտուքների լայն ասպարեզ է։

Սահմանում

Մատրիցը թվերի կամ այլ մաթեմատիկական այլ տարրերի ուղղանկյուն զանգված է, որի համար սահմանված են գումարման ու բազմապատկման գործողությունները։ Այլ կերպ ասած՝ ${\displaystyle F}$ ոլորտի մատրիցը ${\displaystyle F}$-ից վերցված սկալյարների զանգվածն է։ Սա հիմնականում վերաբերում է իրական ու կոմպլեքս մատրիցներին՝ մատրիցների, որոնց տարրերը համապատասխանաբար իրական ու կոմպլեքս թվեր են։ Սա իրական մատրիցի օրինակ է․

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-13&6\\204&5\\7&-6.2\end{bmatrix}}}$

Թվերը, նշանները կամ արտահայտությունները, որ տեղ են գտել մատրիցում, կոչվում են մուտքագրումներ կամ տարրեր։ Հորիզոնական և ուղղահայաց գծերը համապատասխանաբար կոչվում են տողեր ու սյունակներ։

Չափը

Մատրիցի չափը որոշվում է իրեն պատկանող տողերով ու սյունակներով։ ${\displaystyle m}$ տողերով ու ${\displaystyle n}$ սյունակներում մատրիցին կոչում են ${\displaystyle mxn}$ մատրից կամ ${\displaystyle m}$-ը ${\displaystyle n}$-ի վրա, մինչդեռ ${\displaystyle m}$-ն ու ${\displaystyle n}$-ը կոչվում են չափումներ։ Վերևում ներկայացվածը 3-ը 2-ի վրա մատրից է։

Միայն մի տողից կամ միայն մի սյունակից բաղկացած մատրիցները կոչվում են համապատասխանաբար տողային կամ սյունակային վեկտորներ։ Նույն քանակով տողեր ու սյունակներ ունեցող մատրիցը կոչվում է քառակուսի։ Անվերջ քանակությամբ տողերով և/կամ սյունակներով մատրիցը կոչվում է անվերջանալի մատրից։ Որոշ դեպքերում, օրինակ, համակարգչային հանրահաշվական ծրագրերում, օգտակար է առանց տողերի կամ սյունակների մատրիցին մարդու տեղ դնել․ այն անվանվում է դատարկ մատրից։

Անուն	Չափս	Օրինակ	Նկարագրություն
Տողային վեկտոր	1 × n	${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}}$	Մի տողից կազմված մատրից, որ երբեմն օգտագործվում է վեկտոր ներկայացնելու համար։
Սյունակային վեկտոր	n × 1	${\displaystyle {\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}}}$	Մի սյունակից կազմված մատրից, որ երբեմն օգտագործվում է վեկտոր ներկայացնելու համար
Քառակաուսի մատրից	n × n	${\displaystyle {\begin{bmatrix}9&13&5\\1&11&7\\2&6&3\end{bmatrix}}}$	Նույն քանակությամբ տողերով ու սյունակներով մատրից, որ երբեմն օգտագործվում է վեկտորական տարածությունից դեպի ինքն իրեն ձևափոխությունը ներկայացնելու համար (օրինակ․ անդրադարձում, պտտում կամ տեղափոխում)

Գրառումը

Մատրիցներին սովորաբար գրառում են քառակուսի փակագծերով, սակայն ընդունելի է նաև կլորագլուխ անալոգը։

Մատրիցների նշանագրման համակարգերը տարածաշրջանից տարածաշրջան բավականին տարբերվում են։ Նրանց սովորաբար գրանցում են լատինատառ մեծատառերով, իսկ տարրերը՝ համապատասխան փոքրատառերով։ Երբեմն որոշ ստեղծարար հեղինակներ մատրիցներին այլ մաթեմատիկական տերմիններից այսուհետև վերջնականապես տարբերակելու համար հատուկ կալիգրաֆիկ տառատեսակներ են օգտագործում կամ կրկնակի ընդգծում են տառը։

${\displaystyle i}$-րդ տողի ու ${\displaystyle j}$-րդ սյունակի տարրը կրում է համապատասխան իդեքսը՝ ${\displaystyle (i,j)}$, կոչվում է ${\displaystyle (i,j)}$-րդ մուտքագրում ու մեծ մասամբ գրառվում որպես ${\displaystyle {a_{i,j}}}$։

Հիմնական գործողություններ

Մատրիցներին փոփոխությունների հնարավոր է ենթարկել գումարման, սկալյարով կամ մեկ այլ մատրիցով բազմապատկման, տրանսպոզիցիայով, տողային գործողությամբ և ենթամատրիցներով։

Գումարում, բազմապատկում հաստատունով ու տրանսպոզիցիա

Հիմնական հոդվածներ՝ Մատրիցների գումարում, Բազմապատկում հաստատունով, և Տրանսպոզիցիա

Գործողություն	Սահմանում	Օրինակ
Գումարում	${\displaystyle m}$-ը ${\displaystyle n}$-ի վրա ${\displaystyle A}$ ու ${\displaystyle B}$ մատրիցների գումարը հաշվում է հետևյալ բանաձևով․ ${\displaystyle \alpha {\hat {A}}+\beta {\hat {B}}}$= (${\displaystyle {\alpha }{a_{ij}}+}$${\displaystyle {\beta }{b_{ij}}}$)։	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}}$
Բազմապատկում հաստատունով	Մատրիցի բազմապատկումը հետևում է նույն տրամաբանությանը, ինչ գումարումը։ Հաստատունը հատ-հատ բազմապատկվում է յուրաքանչյուր տարի հետ։	${\displaystyle 2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}$
Տրանսպոզիցիա	${\displaystyle m}$-ը ${\displaystyle n}$-ի վրա մատրիցայի տրանսպոզիցիան ընդհանուր առմամբ նույն մատրիցն է, որի սյունակները համապատասխանում են օրիգինալի տողերին, իսկ տողերը՝ սյունակներին։ Նշվում է վերին ինդեքսում ${\displaystyle T}$ տառով։	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}}$

Պատմություն

Մատրիցները գծային հավասարումների համակարագերի լուծման մեջ կիրառման երկար պատմություն ունեն, բայց մինչև 1800-ականներ հայտնի են եղել որպես պարզապես զանգվածներ։ Չինական «Մաթեմատիկայի արվեստի ինը գլուխ» տեքստում, որ գրվել է մեր թվարկությունից առաջ 10-ից 2-րդ դարերում համարվում է առաջին աշխատությունը, որում թե՛ միաժամանակյա հավասարումների լուծման համար կիրառվում է զանգվածների մեթոդը․ թե՛ ներկայացվում է որոշչի գաղափարը։

1545 թվականին իտալացի մաթեմատիկոս Ջերոլամո Կարդանոն, թողարկելով իր «Արս Մագնա»-ն, մեթոդը Եվրոպա է բերում։ Ճապոնացի կոլեգա Սեքի Տաքաքաձուն նույն զանգվածների մեթոդը նույն ոլորտում օգտագործում է 1683 թվականին։ Դանիացի մաթեմատիկոս Յան դե Վիտտն իր 1659 թվականին թողարկված «Կորերի տարրեր» գրքում օգտագործում է զանգվածները ձևափոխությունները ներկայացնելու համար։ 1700 և 1710 թվականների միջև ընկած ժամանակահատվածում Լայբնիցը փորձարկում ու հանրայնացնում է զանգվածների ավելի քան 50 տարբեր համակարգ, որոնք կարելի է կիրառել տեղեկության կամ լուծումների արձանագրման համար։ Գաբրիել Կրամմերը ներկայացնում է իր կանոնը 1750 թվականին։

«Մատրից» տերմինը (լատիներենից թարգմանաբար նշանակում է արգանդ, առաջացել է mater՝ մայր բառից) ներմուծել է Ջեյմս Ջոզեֆ Սիլվեստրը 1850 թվականին։ Նա նշանավորեց մատրիցին որպես տարր, որը սկիզբ կտա բազմաթիվ որոշիչների, որոնք իրենց հերթին այսօր հայտնի կլինեն որպես մինորներ։ 1852 թվականին հրատարակած թղթում Սիլվեստրը գրում է․

Նախորդ աշխատություններումս ես սահմանել եմ «մատրիցը» որպես տերմինների ուղղանկյուն զանգված, որից առաջացող որոշիչների տարբեր համակարգերի ակունքը կարող է համարվել ընդհանուր ծնողի արգանդը։

Արթուր Քայլեյը հրատարակում է մատրիցներով ներկայացված երկրաչափական ձևափոխությունների մասին տրակտատ, որում, ի տարբերություն նախորդ փորձերի, որտեղ պարզապես գործակիցների հակադարձներն էին, մատրիցների կոնցեպտը հավասարումների համակարգից առանձին ու անկախ էր ներկայացված։ Փոխարենը նա ներկայացրեց գումարումը, հանումը, բազմապատկումն ու բաժանումը որպես նշված մատրիցների ձևափոխություններ ու ապացուցեց, որ բաշխական ու զուգորդական օրենքները գործում են։ Քայլեյը ապացուցեց, որ մատրիցների բազմապատկումը փոխադրման օրենքին ենթակա չէ, իսկ գումարումը՝ ենթակա է։ 1858 թվականին Քայլեյը հրատարակում է իր «հուշեր մատրիցի թեորիայի մասին» աշխատությունը, որում նկարագրվում ու ներկայացվում է Քայլեյ-Համիլտոնի թեորեմը։ Նախկինում մատրիցների մասին թեորիան սահմանափակվում էր զանգվածների ու որոշիչների կիրառմամբ․ Քայլեյլի աբստրակտ գործողություններն հիրավի հեղափոխական էին։

Անգլիացի մաթեմատիկոս Քուլլիսը 1913 թվականին առաջինն էր, որ մատրիցների գրառման համար օգտագործեց փակագծերն ու զուգահեռաբար ներկաայցրեց ${\displaystyle A}$ = [${\displaystyle a}$_{${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$}] ձևը, որտեղ ${\displaystyle a}$_{${\displaystyle i}$}-ն ու ${\displaystyle a}$_{${\displaystyle j}$} հղվում են համապատասխանաբար ${\displaystyle i}$-րդ տողին ու ${\displaystyle j}$-րդ սյունակին։

Որոշիչների ուսմունքը սկիզբ է առնում մի քանի աղբյուրներից։ Թվային-թեորետիկ խնդիրները ուղղորդում են Գաուսին կապ ստեղծել երկրորդ աստիճանի հավասարումները գործակիցների ու եռաչափ մատրիցի գծային քարտեզի միջև։ Էյզենշտեյնը ավելի զարգացրեց գրառման համակարգը, ներառյալ ժամանակակից գրառումը, որ մատրիցների արտադրայլների փոփոխական չեն։ Կոշին առաջինն էր, ով ապացուցեց որոշչի մասին ընդհանուր պնդումները, օգտագործելով ${\displaystyle A}$ = [${\displaystyle a}$_{${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$}] մատրիցի որոշչի սահմանումը հետևյալը ցույց տալու համար՝ ${\displaystyle a}$_{${\displaystyle i}$}^{${\displaystyle k}$} կարելի է բազմանդամում փոխարինել ${\displaystyle a}$_{${\displaystyle ik}$}.

${\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{i<j}(a_{j}-a_{i})\;}$

որտեղ Π-ն նշանագրում է նշված տարրերի արտադրյալը։ Նա նաև 1829 թվականին ցույց է տվել, որ համաչափ մատրիցների սեփական արժեքներն իրական են։ Յաքոբին ուսանել է «ֆունկցիոնալ դետերմինանտները», որոնք հետագայում կոչվել են Սիլվեստերի անունով, կարող են օգտագործվել տեղային մակարդակով՝ երկրաչափական ձևափոխություններ ներկայացնելու համար։ 1903 թվականին հրատարակված գրքերը՝ Քրոնոքեր Լեոպոլդի «Vorlesungen über die Theorie der Determinanten»-ն ու Կառլ Վայերշտրասի «Zur Determinantentheorie»-ը, առաջինն էին, որ որոշչին մոտենում էին աքսիոմատիկորեն․ հակադրվելով անցյալի կոնկրետ մոտեղումներին։ Այդ պահին որոշիչները հիմնավորվեցին։

Շատ թեորեմներ սկզբնական շրջանում ճիշտ էին միայն փոքր մատրիցների համար։ Ֆրոբենիուսը աշխատելով երկգծային ձևերով, 1898 թվականին ընդհանրականցրեց Քայլեյ-Համիլտենի թեորեմը բոլոր չափումների համար։ Մինչ այդ այն ապացուցված էր միայն ${\displaystyle 2x2}$ և ${\displaystyle 4x4}$ չափումների համար։ 19-րդ դարի ավարտին Ջորդանը հիմնադրեց Գաուս-Ջորդանի մեթոդը ․հատուկ դեպքն ընդհանրականցնող մեթոդ, որն այժմ հայտնի է Գաուսի մեթոդ անվամբ։ 20-րդ դարի սկզբին մատրիցները գրավեցին գծային հանրահաշվում իրենց կենտրոնական դերը, մասնավորապես իրենց՝ նախորդ դարի գերկոմպլեքս թվերի դասակարգման մեջ օգտագործման համար։

Հայզենբերգի, Բորնի ու Ջորդանի մատրիցների մեխանիկայի նախնական հետազոտությունները ուղղորդեցին անսահաման մեծ չափումներով մատրիցների ուսումնասիրությանը։

Այլ

Միևնույն չափանի ${\displaystyle {\hat {A}}=a_{ij}}$, ${\displaystyle {\hat {B}}}$=${\displaystyle b_{ij}}$ մատրիցների համար ${\displaystyle {\alpha {\hat {A}}}}$+${\displaystyle {\beta {\hat {B}}}}$ (${\displaystyle \alpha }$-ն և ${\displaystyle \beta }$-ն թվեր են)։ ${\displaystyle n}$X${\displaystyle m}$ - չափանի ${\displaystyle {\hat {A}}}$ և ${\displaystyle n}$X${\displaystyle k}$ - չափանի ${\displaystyle {\hat {B}}}$ մատրիցների արտադրյալը ${\displaystyle n}$X${\displaystyle k}$ -չափանի մատրից է և որոշվում է այսպես.

${\displaystyle {\hat {A}}}$*${\displaystyle {\hat {B}}}$= (${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle b_{ij}}$+...${\displaystyle a_{im}}$${\displaystyle b_{mj}}$։

${\displaystyle i=1}$, ..., ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle j=1}$, ..., ${\displaystyle k}$

${\displaystyle n}$-րդ կարգի բոլոր քառակուսի մատրիցների բազմությունը նշված գործողությունների նկատմամբ կազմում է զուգորդական օղակ, իսկ ${\displaystyle n}$X${\displaystyle m}$ -չափանի բոլոր մատրիցների բազմությունը՝ գծային-տարածություն։ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ մատրիցի որոշիչը նշանակվում է ${\displaystyle |{\hat {A}}|}$ կամ det ${\displaystyle {\hat {A}}}$։ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ մատրիցի առավելագույն գծորեն անկախ տողերի (կամ սյունակների) թիվը կոչվում է մատրիցի ռանգ և նշանակվում՝ ${\displaystyle r}$ (${\displaystyle {\hat {A}}}$)։ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ քառակուսի մատրիցը կոչվում է հակադարձելի, եթե գոյություն ունի այնպիսի ${\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}$ մատրից (կոչվում է ${\displaystyle {\hat {A}}}$-ի հակադարձ մատրից), որ ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}$=${\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$=${\displaystyle {\hat {E}}}$։ Հայտնի են մատրիցների մի շարք կարևոր դասեր, սիմետրիկ, ինքնահամալուծ, ունիտար, մարկովյան, լյապունովյան, ժորդանյան և այլն։ Մաթեմատիկայում և կիրառություններում հանդիպում են նան այնպիսի մատրիցներ, որոնք կազմված են անվերջ թվով տողերից կամ սյունակներից, և այնպիսիներ, որոնց տարրերը պատկանում են որևէ օղակի։ Մատրիցները օգտակար միջոց են մաթեմատիկական և կիրառական շատ խնդիրներ լուծելու համար, օրինակ՝ գծային հավասարումների համակարգերի լուծման ժամանակ։ Դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության մեջ կարևոր է մատրիցի սեփական արժեքների և սեփական վեկտորների գտնելու խնդիրը։ Մատրիցները մեծ կիրառություն ունեն նաև քվանտային մեխանիկայում։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 7, էջ 293)։