Rng

En álxebra abstracta, un rng (ou anel non unitario ou pseudoanel) é unha estrutura alxébrica que satisfai as mesmas propiedades que un anel, mais sen asumir a existencia dunha identidade multiplicativa. O termo rng é para suxerir que é un anel sen i, é dicir, sen a necesidade dun elemento de identidade.^[1]

Non hai consenso na comunidade sobre se a existencia dunha identidade multiplicativa debe ser un dos axiomas de anel. O termo rng foi acuñado para aliviar esta ambigüidade cando as persoas queren referirse explicitamente a un anel sen o axioma da identidade multiplicativa.

Definición

Formalmente, un rng é un conxunto R con dúas operacións binarias (+, ·) chamadas adición e multiplicación tal que:

• (R,+) é un grupo abeliano.
• (R,·) é un semigrupo.
• A multiplicación é distributiva sobre a adición.

Un homomorfismo de rngs é unha función f: R → S dun rng a outro tal que

• f(x + y) = f(x) + f(y),
• f(x · y) = f(x) · f(y)

para todos os x e y en R.

Se R e S son aneis, entón un homomorfismo de aneis R → S é o mesmo que un homomorfismo de rng R → S que mapea 1 a 1.

Exemplos

Todos os aneis son rngs. Un exemplo simple dun rng que non é un anel ven dado polos enteiros pares coa suma e multiplicación ordinaria de números enteiros.

Outro exemplo pode ser o conxunto de todos as matrices ${\displaystyle 3\times 3}$ cuxa fila inferior é cero.

Ambos os exemplos son exemplos do feito xeral de que todo ideal é un rng.

Os rng adoitan aparecer con naturalidade na análise funcional cando consideramos os operadores lineares en espazos vectoriais de dimensión infinita. Tomemos por exemplo calquera espazo vectorial de dimensión infinita V e considere o conxunto de todos os operadores lineares f : V → V con rango finito (é dicir, dim f(V) < ∞). Xunto coas operacións adición e composición, este é un rng, mais non un anel. Outro exemplo é o rng de todas as secuencias reais que converxen a 0, coas operacións de compoñentes a compoñente.

Exemplo: números enteiros pares

O conxunto 2Z de números enteiros pares está pechado baixo adición e multiplicación e ten unha identidade aditiva, 0, polo que é un rng, mais non ten unha identidade multiplicativa, polo que non é un anel.

En 2Z, o único multiplicativo idempotente é 0, o único nilpotente é 0.

Exemplo: secuencias finitas quinarias

A suma directa ${\textstyle {\mathcal {T}}=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$ equipada con adición e multiplicación por coordenadas é un rng coas seguintes propiedades::

• Os seus elementos idempotentes forman unha retícula sen límite superior.
• Cada elemento x ten un inverso reflexivo, é dicir, un elemento y tal que xyx = x e yxy = y.
• Para cada subconxunto finito de ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, existe un idempotente en ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ que actúa como unha identidade para todo o subconxunto: a secuencia cun un en cada posición onde unha secuencia do subconxunto ten un elemento non cero nesa posición e cero en cada unha das outras posicións.

Propiedades

• Os ideais, os aneis cocientes e os módulos pódense definir para os rngs do mesmo xeito que para os aneis.
• No entanto, traballar con rngs en lugar de aneis complica algunhas definicións relacionadas. Por exemplo, nun anel A, o ideal pola esquerda (f) xerado por un elemento f, definido como o ideal pola esquerda máis pequeno que contén f, é simplemente Af, mais se A é só un rng, entón Af pode non conter f, polo que debemos dar a definición máis longa

  ${\displaystyle (f)=Rf+\mathbf {Z} f=\{af+nf:a\in A,n\in \mathbf {Z} \},}$

  onde nf debe interpretarse usando suma/resta repetida xa que n non ten por que representar un elemento de A. Complicacións similares xorden na definición de submódulo xerado por un conxunto de elementos dun módulo.
• Algúns teoremas para aneis son falsos para rngs. Por exemplo, nun anel, cada ideal propio está contido nun ideal máximal, polo que un anel distinto de cero sempre ten polo menos un ideal máximal. Estas dúas declaracións fallan para rngs.
• Un homomorfismo de rngs f : R → S asigna a calquera elemento idempotente un elemento idempotente.
• Se f : R → S é un homomorfismo de rngs dun rng a outro rng, e a imaxe de f contén un divisor distinto de cero de S, entón S é un anel e f é un homomorfismo de aneis.

Notas

1. Jacobson (1989).

Véxase tamén

Bibliografía

• Bourbaki, N. (1998). Algebra I, Chapters 1–3. Springer.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Dorroh, J. L. (1932). "Concerning Adjunctions to Algebras". Bull. Amer. Math. Soc. 38 (2): 85–88. doi:10.1090/S0002-9904-1932-05333-2.
• Jacobson, Nathan (1989). "Basic algebra" (2nd ed.). New York: W.H. Freeman. ISBN 0-7167-1480-9.
• Kreinovich, V. (1995). "If a polynomial identity guarantees that every partial order on a ring can be extended, then this identity is true only for a zero-ring". Algebra Universalis 33 (2): 237–242. MR 1318988. doi:10.1007/BF01190935.
• Herstein, I. N. (1996). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-36879-3.
• McCrimmon, Kevin (2004). A taste of Jordan algebras. Springer. ISBN 978-0-387-95447-9.
• Noether, Emmy (1921). "Idealtheorie in Ringbereichen" [Ideal theory in rings]. Mathematische Annalen 83 (1–2): 24–66. doi:10.1007/BF01464225.
• Szele, Tibor (1949). "Zur Theorie der Zeroringe". Mathematische Annalen 121: 242–246. MR 0033822. doi:10.1007/bf01329628.
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958). Commutative Algebra 1. Van Nostrand.

Outros artigos

• Anel (álxebra).

Ligazóns externas

• Qiaochu Yuan "Non-unital rings".