Análise funcional

A análise funcional é a parte da análise matemática adicada ao estudo dos espazos de funcións e das relacións definidas entre eles, sendo unha póla das Matemáticas na que se xuntan a análise matemática e a álxebra. Por iso, esta área ten a súa cerna no estudo dos espazos vectoriais de dimensión infinita que posúen algún tipo de estrutura topolóxica. Tamén pertencen a esta área as xeneralizacións dos conceptos clásicos de derivada, integral, base ou dualidade.

As súas raíces históricas son profundas e antigas e así a verba funcional ten a súa orixe no século XVII, pois ven do cálculo de variacións creado por Jacob Bernoulli. O estudo das Series de Fourier, o seu desenvolvemento nas transformadas de Fourier, os traballos de Erik Ivar Fredholm sobre ecuacións integrais son, entre outros, os que se consideran historicamente máis importantes. Considéranse como fundadores da Análise Funcional a David Hilbert, Stefan Banach, Frigyes Riesz e Maurice René Fréchet.

Espazos vectoriais normados

A clase básica e historicamente primeira de espazos estudados na análise funcional son os espazos vectoriais normados completos sobre os reais ou os números complexos. Estes espazos chámanse espazos de Banach. Un exemplo importante é un espazo de Hilbert, onde a norma xorde dun produto interno. Estes espazos son de fundamental importancia en moitas áreas, incluíndo a formulación matemática da mecánica cuántica, as ecuacións diferenciais parciais e a análise de Fourier.

En xeral, a análise funcional inclúe o estudo dos espazos de Fréchet e outros espazos vectoriais topolóxicos non dotados dunha norma.

Un obxecto de estudo importante na análise funcional son os operadores lineais continuos definidos nos espazos de Banach e Hilbert. Isto leva naturalmente á definición de C*-álxebras e outras álxebras de operadores.

Espazos de Hilbert

Os espazos de Hilbert pódense clasificar completamente: existe un único espazo de Hilbert até isomorfismo para cada cardinalidade da base ortonormal.^[1] Os espazos de Hilbert de dimensión finita están plenamente entendidos na álxebra linear, e os espazos de Hilbert separábeis de dimensión infinita son isomorfos aos espazos ${\displaystyle \ell ^{\,2}(\aleph _{0})\,}$. Dado que a separabilidade é importante para as aplicacións, a análise funcional dos espazos de Hilbert trata, en consecuencia, principalmente este espazo. Un dos problemas abertos na análise funcional é demostrar que todo operador linear limitado nun espazo de Hilbert ten un subespazo invariante propio. Moitos casos especiais deste problema do subespazo invariante xa foron demostrados.

Espazos de Banach

Os espazos de Banach xenéricos son máis complicados que os espazos de Hilbert e non se poden clasificar dun xeito tan sinxelo como estes. En particular, moitos espazos de Banach carecen dunha noción análoga a unha base ortonormal.

Exemplos de espazos de Banach son os espazos ${\displaystyle L^{p}}$ (ou ${\displaystyle L^{p}}$-espazos) para calquera número real ${\displaystyle p\geq 1}$. Dada tamén unha medida ${\displaystyle \mu }$ no conxunto ${\displaystyle X}$, entón ${\displaystyle L^{p}(X)}$, ás veces tamén denotada ${\displaystyle L^{p}(X,\mu )}$ ou ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$, ten como vectores as clases de equivalencia ${\displaystyle [\,f\,]}$ da función medíbel cuxa potencia ${\displaystyle p}$-ésima do seu valor absoluto ten integral finita; é dicir, funcións ${\displaystyle f}$ para as que se ten

${\displaystyle \int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<\infty .}$

Se ${\displaystyle \mu }$ é a medida de contaxe, entón a integral pode ser substituída por unha suma. É dicir, temos

${\displaystyle \sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p}<\infty .}$

Entón non é necesario tratar con clases de equivalencia, e o espazo denótase ${\displaystyle \ell ^{p}(X)}$, escrito de forma máis simple ${\displaystyle \ell ^{p}}$ no caso de que ${\displaystyle X}$ sexa o conxunto de números enteiros non negativos.

Nos espazos de Banach, unha grande parte do estudo implica o espazo dual: o espazo de todas as aplicacións lineares continuas desde o espazo ata o seu campo subxacente, as chamadas funcionais. Un espazo de Banach pode identificarse canonicamente cun subespazo do seu bidual, que é o dual do seu espazo dual. A aplicación correspondente é unha isometría pero en xeral non é sobrexectiva. Un espazo de Banach xenérico e o seu bidual non precisan ser isometricamente isomorfos de ningún xeito, ao contrario da situación de dimensión finita. Isto explícase no artigo sobre o espazo dual.

Alén disto, a noción de derivada pode estenderse a funcións arbitrarias entre espazos de Banach. Véxase, por exemplo, o artigo derivada de Fréchet.

Resultados principais e fundamentais

Existen catro teoremas principais que ás veces se denominan os catro piares da análise funcional:

• o teorema de Hahn-Banach
• o teorema de Banach-Schauder ou teorema do mapeamento aberto.
• o teorema do grafo pechado
• o teorema de Banach–Steinhaus, tamén coñecido como o prinicipio de limitación uniforme.

Principio de limitación uniforme

Artigo principal: Teorema de Banach-Steinhaus.

O principio de limitación uniforme ou teorema de Banach-Steinhaus é un dos resultados fundamentais da análise funcional. Xunto co teorema de Hahn-Banach e o teorema do mapeamento aberto, considérase un dos piares do campo. Na súa forma básica, afirma que para unha familia de operadores lineares continuos (e, polo tanto, operadores limitados) cuxo dominio é un espazo de Banach, a limitación punto por punto é equivalente á limitación uniforme na norma do operador.

O teorema foi publicado por primeira vez en 1927 por Stefan Banach e Hugo Steinhaus, pero tamén foi demostrado de forma independente por Hans Hahn.

Principio de limitación uniforme Sexa ${\displaystyle X}$ un espazo de Banach e ${\displaystyle Y}$ un espazo vectorial normado. Supoñamos que ${\displaystyle F}$ é unha colección de operadores lineares continuos desde ${\displaystyle X}$ ata ${\displaystyle Y}$. Se para todo ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle X}$ temos ${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}$ daquela ${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .}$

Teorema espectral

Artigo principal: Teorema espectral.

Existen moitos teoremas coñecidos como o teorema espectral, pero un en particular ten moitas aplicacións na análise funcional.

Teorema espectral[2] Sexa ${\displaystyle A}$ un operador autoadxunto limitado nun espazo de Hilbert ${\displaystyle H}$. Entón existe un espazo de medida ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ e unha función medíbel esencialmente limitada con valores reais ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle X}$ e un operador unitario ${\displaystyle U:H\to L_{\mu }^{2}(X)}$ tal que ${\displaystyle U^{*}TU=A}$ onde T é o operador de multiplicación: ${\displaystyle [T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x)}$ e ${\displaystyle \|T\|=\|f\|_{\infty }}$.

Este é o comezo da vasta área de investigación da análise funcional chamada teoría de operadores; véxase tamén a medida espectral.

Tamén existe un teorema espectral análogo para operadores normais limitados en espazos de Hilbert. A única diferenza na conclusión é que agora ${\displaystyle f}$ pode ter valores complexos.

Teorema de Hahn-Banach

Artigo principal: Teorema de Hahn-Banach.

O teorema de Hahn-Banach é unha ferramenta central na análise funcional. Permite a extensión de funcionais lineares limitados definidos nun subespazo dalgún espazo vectorial a todo o espazo, e tamén mostra que hai "suficientes" funcionais lineares continuos definidos en cada espazo vectorial normado para facer que o estudo do espazo dual sexa "interesante".

Teorema de Hahn-Banach:[3] Se ${\displaystyle p:V\to \mathbb {R} }$ é unha fución sublinear e ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} }$ é un funcional linear nun subespazo linear ${\displaystyle U\subseteq V}$ que está dominado por ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle U}$; isto é, ${\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U}$ entón existe unha extensión linear ${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} }$ de ${\displaystyle \varphi }$ a todo o espazo ${\displaystyle V}$ que está dominado por ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle V}$; é dicir, existe un funcional linear ${\displaystyle \psi }$ tal que ${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\varphi (x)&\forall x\in U,\\\psi (x)&\leq p(x)&\forall x\in V.\end{aligned}}}$

Teorema do mapeamento aberto

Artigo principal: Teorema de mapeo aberto (análise funcional).

O teorema do mapeamento aberto, tamén coñecido como teorema de Banach-Schauder (nomeado así por Stefan Banach e Juliusz Schauder), é un resultado fundamental que afirma que se un operador linear continuo entre espazos de Banach é sobrexectivo, entón é un mapa aberto.^[3]

Teorema do mapeamento aberto Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son espazos de Banach e ${\displaystyle A:X\to Y}$ é un operador linear continuo sobrexectivo, logo ${\displaystyle A}$ é un mapa aberto (isto é, se ${\displaystyle U}$ é un conxunto aberto en ${\displaystyle X}$ entón ${\displaystyle A(U)}$ é aberto en ${\displaystyle Y}$).

A demostración emprega o teorema da categoría de Baire, e a completude tanto de X como de Y é esencial para o teorema. O enunciado do teorema xa non é certo se calquera dos espazos se asume simplemente como un espazo normado, pero si o é se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ se toman como espazos de Fréchet.

Teorema do grafo pechado

Artigo principal: Teorema do grafo pechado.

Se ${\displaystyle X}$ é un espazo topolóxico e ${\displaystyle Y}$ é un espazo de Hausdorff compacto entón o grafo dun mapa linear ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ é pechado se e só se ${\displaystyle T}$ é continua.[4]