Aplicación linear

En matemáticas unha aplicación linear é unha aplicación entre dous espazos vectoriais, que preserva as operacións de adición de vectores e multiplicación por un escalar.

En álxebra abstracta e en álxebra linear unha aplicación linear é un homomorfismo entre espazos vectoriais ou na linguaxe da teoría de categorías un morfismo sobre a categoría dos espazos vectoriais sobre un corpo dado.

Definición

Denomínase aplicación linear, función linear ou transformación linear á aplicación en que os seus dominio e codominio sexan espazos vectoriais que cumpra a seguinte definición:

Sexan ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ espazos vectoriais sobre o mesmo corpo ${\displaystyle K}$. Unha aplicación ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle W}$ é unha transformación linear se para todo par de vectores ${\displaystyle u,v\in V}$ e para todo escalar ${\displaystyle k\in K}$, se satisfai que:

1. ${\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)\,}$
2. ${\displaystyle T(ku)=kT(u)\,}$.

Exemplos

1. A aplicación ${\displaystyle B:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ que envía ${\displaystyle \alpha }$ en ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ (o seu conxugado) é unha transformación linear se se considera ${\displaystyle \mathbb {C} }$ como un ${\displaystyle \mathbb {R} }$-espazo vectorial. Non obstante, non o é se se pensa como ${\displaystyle \mathbb {C} }$-espazo vectorial, xa que ${\displaystyle B(i)=-i\neq iB(1)=i}$.
2. Dado un espazo vectorial calquera, pódese definir a función identidade ${\displaystyle T:V\rightarrow V\quad /\quad T(x)=x,}$ ${\displaystyle \forall x\in V}$, que resulta unha transformación linear.
3. As homotecias: ${\displaystyle T:\mathbb {K} ^{n}\rightarrow \mathbb {K} ^{n}\quad /\quad T(x)=kx}$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {K} }$. Se k > 1 denomínanse dilatacións e se k < 1 denomínanse contraccións.
4. Dada unha matriz ${\displaystyle A\in M_{n\times m}(K)}$, a función ${\displaystyle L_{A}:K^{m}\rightarrow K^{n}}$ definida como ${\displaystyle L_{A}(x)=Ax}$ é unha transformación linear. Grazas á matriz asociada, pódese concluír que calquera transformación linear definida entre espazos vectoriais de dimensión finita pode verse como multiplicar por unha matriz.
5. Sexa ${\displaystyle V}$ o conxunto de funcións continuas en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e defínase ${\displaystyle \phi :V\rightarrow V}$ mediante ${\displaystyle \phi (f)(t)=\int _{0}^{t}f(x)\,dx}$, ocorre que:

${\displaystyle \int _{0}^{t}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{0}^{t}f(x)\,dx+\int _{0}^{t}g(x)\,dx}$

e

${\displaystyle \int _{0}^{t}cf(x)\,dx=c\int _{0}^{t}f(x)\,dx}$ para ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$

Polo tanto, cúmprese que ${\displaystyle \phi (f+g)=\phi (f)+\phi (g)}$ e ${\displaystyle \phi (cf)=c\,\phi (f)}$ para todo ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle V}$ e todo ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, así que ${\displaystyle \phi }$ é unha aplicación linear de ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle V}$.^[1]

Propiedades das transformacións lineares

Sexan ${\displaystyle V_{}^{}}$ e ${\displaystyle W_{}^{}}$ espazos vectoriais sobre ${\displaystyle K_{}^{}}$ (onde ${\displaystyle K_{}^{}}$ representa o corpo), satisfaise que: Se ${\displaystyle T:V\rightarrow W}$ é linear, defínese o núcleo (ker) e a imaxe (Im) de ${\displaystyle T_{}^{}}$ como:

${\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\{\,v\in V:T(v)=0_{W}\,\}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (T)=\{\,w\in W:\exists v\in V:T(v)=w\,\}}$

É dicir, que o núcleo dunha transformación linear está formado polo conxunto de todos os vectores do dominio que teñen por imaxe o vector nulo do codominio.

O núcleo de toda transformación linear é un subespazo vectorial do dominio:

1. ${\displaystyle 0_{V}\in \operatorname {ker} (T)}$ dado que ${\displaystyle T(0_{V})=0_{W}}$ (para probar isto, obsérvese que ${\displaystyle T(0_{V})=T(0_{V}+0_{V})=T(0_{V})+T(0_{V})}$).
2. Dados ${\displaystyle u,v\in \operatorname {ker} (T):T(u+v)=T(u)+T(v)=0_{W}+0_{W}=0_{W}\Rightarrow u+v\in \operatorname {ker} (T)}$
3. Dados ${\displaystyle u\in \operatorname {ker} (T)\land k\in \Re :T(ku)=kT(u)\land T(ku)=k0_{W}=0_{W}\Rightarrow ku\in \operatorname {ker} (T)}$

Denomínase nulidade á dimensión do núcleo. ${\displaystyle \operatorname {null} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T))}$

A imaxe dunha transformación linear está formada polo conxunto de todos os vectores do codominio que son imaxe de polo menos algún vector do dominio.

• A imaxe de toda transformación linear é un subespazo do codominio.
• O rango dunha transformación linear é a dimensión da imaxe.

${\displaystyle \operatorname {ran} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {Im} (T))}$

Obtención de novas transformacións lineares a partir doutras dadas

Se f₁:${\displaystyle V}$→${\displaystyle W}$ e f₂:${\displaystyle V}$→${\displaystyle W}$ son lineares, entón tamén o é a súa suma f₁+f₂ (definida como (f₁+f₂)(x)=f₁(x)+f₂(x)).

Se f :${\displaystyle V}$→${\displaystyle W}$ é linear e a é un elemento do corpo K, entón a función af, definida como (af)(x) = a(f(x)), tamén é linear.

Grazas a estas dúas propiedades, e a que a función que envía todo ao elemento nulo é unha aplicación linear, é que o conxunto de transformacións lineares f:${\displaystyle V}$→${\displaystyle W}$ forma un subespazo das funcións de ${\displaystyle V}$ en W. A este subespazo denótase L(${\displaystyle W}$,${\displaystyle W}$) ou Hom(${\displaystyle W}$,${\displaystyle W}$). A dimensión de L(${\displaystyle V}$,${\displaystyle W}$) é igual ao produto das dimensións de ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$.

Se f:${\displaystyle V}$→${\displaystyle W}$ e g:${\displaystyle W}$→${\displaystyle Z}$ son lineares entón a súa composición g∘f:${\displaystyle V}$→${\displaystyle Z}$ tamén o é.

Dado un espazo vectorial ${\displaystyle V}$, o espazo vectorial L(${\displaystyle V}$,${\displaystyle V}$), que adoita denotarse End(${\displaystyle V}$), forma unha álxebra asociativa sobre o corpo base, onde a multiplicación é a composición e a unidade é a transformación identidade.

Se f:${\displaystyle V}$→${\displaystyle W}$ é unha transformación linear bixectiva, entón a súa inversa tamén é transformación linear.

Teoremas básicos das transformacións

• Sexa B = {v_i: i ∈ J} base de ${\displaystyle V}$ e C = {w_i: i ∈ J} unha colección de vectores de ${\displaystyle W}$ non necesariamente distintos, entón existe unha única transformación linear T: V → W que satisfai:

${\displaystyle T(v_{i})=w_{i},\ \forall i\in J}$

• Sexa ${\displaystyle T:V\rightarrow W}$ unha transformación linear.

entón ${\displaystyle \dim(V)=\dim(N(T))+\dim(\operatorname {Im} (T))}$

Como corolario básico deste teorema, obtense que unha transformación linear dun espazo vectorial de dimensión finita nel mesmo é un isomorfismo se e só se é un epimorfismo se e só se é un monomorfismo.

Clasificación das transformacións lineares

• Funcional linear: So as transformación lineares ${\displaystyle T:V\rightarrow \mathbb {K} }$ (onde ${\displaystyle \mathbb {K} }$ é o corpo base de V).
• Monomorfismo: Se ${\displaystyle T:V\rightarrow W}$ é inxectiva; equivalentemente, se o único elemento do núcleo é o vector nulo. ${\displaystyle \operatorname {ker} (T)={0_{V}}}$
• Epimorfismo: Se ${\displaystyle T:V\rightarrow W}$ é sobrexectiva.
• Isomorfismo: Se ${\displaystyle T:V\rightarrow W}$ é bixectiva (inxectiva e sobrexectiva)
• Endomorfismo: Transformación linear en que dominio e codominio coinciden.
• Automorfismo: Endomorfismo bixectivo.

Matriz asociada a unha transformación linear

Se ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ teñen dimensión finita e se teñen escollidas bases en cada un dos espazos, entón toda transformación linear de ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle W}$ pode representarse por unha matriz. Reciprocamente, toda matriz representa unha transformación linear.

Sexan ${\displaystyle T}$:${\displaystyle V}$→${\displaystyle W}$ unha transformación linear, B={v₁, ..., v_n} unha base de ${\displaystyle V}$, C={w₁, ..., w_m} base de ${\displaystyle W}$. Para calcular a matriz asociada a ${\displaystyle T}$ bas bases B e C cómpre calcular ${\displaystyle T}$(v_i) para cada i=1,...,n e escribilo como combinación linear da base C: ${\displaystyle T}$(v₁)=a₁₁w₁+ ...+a_m1 w_m, ..., ${\displaystyle T}$(v_n)=a_1nw₁+ ...+a_mn w_m.

A matriz asociada denótase _C[T]_B e é:

${\displaystyle _{C}[T]_{B}={\begin{pmatrix}a_{11}&...&a_{1n}\\...&...&...\\a_{m1}&...&a_{mn}\end{pmatrix}}}$ .

Como un vector de ${\displaystyle W}$ se escribe de forma única como combinación linear de elementos de C, a matriz é única.

Como dada calquera escolla de u₁, ..., u_n existe e é única a transformación linear que envía v_i en u_i, entón, dada A calquera matriz m×n, existe e é única a transformación linear ${\displaystyle T}$:${\displaystyle V}$→${\displaystyle W}$ tal que _C [T] _B=A.

Ademais, as matrices asociadas cumpren que _C [aT+bS] _B = a _C [T] _B + b _C [S] _B para calquera a,b∈ℝ, T,S∈ L(V,W). Por isto, a aplicación que fai corresponder cada transformación linear coa súa matriz asociada é un isomorfismo entre L(${\displaystyle V}$,${\displaystyle W}$) e M_n×mC (K).

De restrinxirse ao caso ${\displaystyle V}$=${\displaystyle W}$, C=B, tense ademais que esta aplicación é un isomorfismo entre álxebras.

Notas

1. "Álgebra lineal y matrices" (1989) Herstein y Winter ISBN 968-7270-52-7; pág. 331

Véxase tamén

Bibliografía

• Halmos, Paul R. (1974). Finite-Dimensional Vector Spaces. Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90093-4.
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (Second ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83940-2.
• Lang, Serge (1987). Linear Algebra (Third ed.). Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96412-6.
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (Third ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-085613-3.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (Second ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054236-8.

Outros artigos

• Álxebra linear
• Teorema rango-nulidade
• Lista de funcións matemáticas
• Operador linear limitado

Ligazóns externas

• Universidad Politécnica de Madrid: Aplicaciones lineales
• Universidad Politécnica de Catalunya: Aplicaciones Lineales Arquivado 06 de outubro de 2010 en Wayback Machine.
• Matemáticas para todos: Aplicaciones Lineales
• Universidad de Cantabria: Aplicaciones lineales