Homomorfismo

En álxebra, un homomorfismo é un mapa que preserva a estrutura entre dúas estruturas alxébricas do mesmo tipo (como dous grupos, dous aneis ou dous espazos vectoriais). A palabra homomorfismo provén da lingua grega antiga : ὁμός (homos) que significa "mesmo" e μορφή (morphe) que significa "forma" ou "forma". O termo "homomorfismo" apareceu xa en 1892, cando foi atribuído ao matemático alemán Felix Klein (1849–1925).^[1]

Os homomorfismos dos espazos vectoriais tamén se denominan mapas lineares, e o seu estudo é obxecto da álxebra linear.

O concepto de homomorfismo foi xeneralizado, baixo o nome de morfismo, a moitas outras estruturas que ou ben non teñen un conxunto subxacente, ou non son alxébricas. Esta xeneralización é o punto de partida da teoría de categorías.

Un homomorfismo tamén pode ser un isomorfismo, un endomorfismo, un automorfismo, etc. (ver máis abaixo). Cada un destes pódese definir de forma que se poida xeneralizar a calquera clase de morfismos.

Definición

Un homomorfismo é un mapa ${\displaystyle f:A\to B}$ entre dous conxuntos ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ equipados coa mesma estrutura tal que, se ${\displaystyle \cdot }$ é unha operación da estrutura (suponse aquí, para simplificar, que é unha operación binaria), entón

${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$

para cada par ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ de elementos de ${\displaystyle A}$. Podemos dicir que ${\displaystyle f}$ conserva a operación ou é compatible coa operación.

Formalmente, un mapa ${\displaystyle f:A\to B}$ conserva unha operación ${\displaystyle \mu }$ de aridade ${\displaystyle k}$, definido en ambos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ se

${\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),}$

para todos os elementos ${\displaystyle a_{1},...,a_{k}}$ en ${\displaystyle A}$.

Por exemplo:

• Un homomorfismo monoide é un mapa entre monoides que conserva a operación monoide e mapea o elemento de identidade do primeiro monoide co do segundo monoide (o elemento de identidade é unha operación 0-aria).
• Un homomorfismo de grupos é un mapa entre grupos que preserva a operación do grupo. Isto implica que o homomorfismo de grupos mapea o elemento de identidade do primeiro grupo co elemento de identidade do segundo grupo, e mapea a inversa dun elemento do primeiro grupo coa inversa da imaxe deste elemento.
• Un homomorfismo de aneis é un mapa entre aneis que conserva a suma de aneis, a multiplicación de aneis e a identidade multiplicativa. Se a identidade multiplicativa debe ser preservada depende da definición de anel en uso. Se non se conserva a identidade multiplicativa, un ten un homomorfismo rng.
• Un mapa linear é un homomorfismo de espazos vectoriais; é dicir, un homomorfismo de grupo entre espazos vectoriais que conserva a estrutura do grupo abeliano e a multiplicación escalar.
• Un homomorfismo de módulo, tamén chamado mapa linear entre módulos, defínese de xeito similar.
• Un homomorfismo de álxebra é un mapa que conserva as operacións da álxebra.

Unha estrutura alxébrica pode ter máis dunha operación, e é necesario un homomorfismo para preservar cada operación. Así, un mapa que conserva só algunhas das operacións non é un homomorfismo da estrutura, senón só un homomorfismo da subestrutura obtido ao considerar só as operacións conservadas. Por exemplo, un mapa entre monoides que conserva a operación monoide e non o elemento identidade, non é un homomorfismo monoide, senón só un homomorfismo de semigrupo.

A notación para as operacións non precisa ser a mesma na orixe e no destino dun homomorfismo. Por exemplo, os números reais forman un grupo para a suma e os números reais positivos forman un grupo para a multiplicación. A función exponencial

${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

satisfai

${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$

e é polo tanto un homomorfismo entre estes dous grupos. Incluso é un isomorfismo (ver máis abaixo), xa que a súa función inversa, o logaritmo natural, satisfai

${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),}$

e tamén é un homomorfismo de grupo.

Exemplos

Homomorfismo monoide ${\displaystyle f}$ do monoide ${\displaystyle f}$ (N, +, 0) cara o monoide (N, ×, 1), definido por ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$. É inxectivo mais non sobrexectivo.

Os números reais comportanse coma un anel coas súas operacións de suma e multiplicación. O conxunto de todas as matrices 2×2 tamén é un anel, baixo a suma de matrices e a multiplicación de matrices. Se definimos unha función entre estes aneis do seguinte xeito:

${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$

onde r é un número real, entón f é un homomorfismo de aneis, xa que f conserva ambas as dúas sumas:

${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}$

e multiplicación:

${\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}$

Velaquí outro exemplo, os números complexos distintos de cero forman un grupo baixo a operación de multiplicación, así como os números reais distintos de cero. (O cero debe ser excluído de ambos os grupos xa que non ten un inverso multiplicativo, que é necesario para os elementos dun grupo.) Definimos unha función ${\displaystyle f}$ dos números complexos distintos de cero aos números reais distintos de cero por

${\displaystyle f(z)=|z|.}$

É dicir, ${\displaystyle f}$ é o valor absoluto do número complexo ${\displaystyle z}$, daquela ${\displaystyle f}$ é un homomorfismo de grupos, xa que conserva a multiplicación:

${\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{2}).}$

Mais f non se pode estender a un homomorfismo de aneis desde os números complexos ata os números reais, xa que non conserva a suma:

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}$

Un outro exemplo mostra o diagrama superior, un homomorfismo monoide ${\displaystyle f}$ do monoide ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}$ ao monoide ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times ,1)}$. Debido aos diferentes nomes das operacións correspondentes, as propiedades de preservación da estrutura satisfeitas por ${\displaystyle f}$ descríbense como ${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$ e ${\displaystyle f(0)=1}$ .

A álxebra de composición ${\displaystyle A}$ sobre un corpo ${\displaystyle F}$ ten unha forma cadrática, chamada norma, ${\displaystyle N:A\to F}$, que é un homomorfismo de grupos do grupo multiplicativo de ${\displaystyle A}$ ao grupo multiplicativo de ${\displaystyle F}$.

Algúns tipos de homomorfismos

Isomorfismo

Un isomorfismo entre estruturas alxébricas do mesmo tipo defínese comunmente como un homomorfismo bixectivo. ^[2]

Máis precisamente, se

${\displaystyle f:A\to B}$

é un homomorfismo, ten unha inversa se existe un homomorfismo

${\displaystyle g:B\to A}$

tal que

${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{and}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

Se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ teñen conxuntos subxacentes e ${\displaystyle f:A\to B}$ ten unha inversa ${\displaystyle g}$, entón ${\displaystyle f}$ é bixectiva. De feito, ${\displaystyle f}$ é inxectiva, pois ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ implica ${\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}$, e ${\displaystyle f}$ é sobrexectiva, pois para calquera ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle B}$, temos ${\displaystyle x=f(g(x))}$, e ${\displaystyle x}$ é a imaxe dun elemento de ${\displaystyle A}$.

No camiño contrario, se ${\displaystyle f:A\to B}$ é un homomorfismo bixectivo entre estruturas alxébricas, sexa ${\displaystyle g:B\to A}$ o mapa tal que ${\displaystyle g(y)}$ é o elemento único ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle A}$ tal que ${\displaystyle f(x)=y}$. Temos que ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ and }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},}$ e só falta demostrar que g é un homomorfismo. Se ${\displaystyle *}$ é unha operación binaria da estrutura, para cada par ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ de elementos de ${\displaystyle B}$, temos

${\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}$

e ${\displaystyle g}$ é así compatible con ${\displaystyle *.}$ Como a proba é semellante para calquera aridade, isto demostra que ${\displaystyle g}$ é un homomorfismo.

Endomorfismo

Un endomorfismo é un homomorfismo cuxo dominio é igual ao codominio, ou, máis xeralmente, un morfismo cuxa orixe é igual ao seu destino.

O conxunto dos endomorfismos dun espazo vectorial ou dun módulo forman un anel. No caso dun espazo vectorial ou dun módulo libre de dimensión finita, a elección dunha base induce un isomorfismo de anel entre o anel de endomorfismos e o anel de matrices cadradas da mesma dimensión.

Automorfismo

Un automorfismo é un endomorfismo que tamén é isomorfismo. Moitos grupos con nome son grupos de automorfismos dalgunha estrutura alxébrica. Por exemplo, o grupo linear xeral ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ é o grupo de automorfismos dun espazo vectorial de dimensión ${\displaystyle n}$ sobre un corpo ${\displaystyle k}$.

Os grupos de automorfismos de corpos foron os que introduciu Évariste Galois para estudar as raíces dos polinomios, e son a base da teoría de Galois.

Monomorfismo

Para estruturas alxébricas, os monomorfismos defínense comunmente como homomorfismos inxectivos

No contexto máis xeral da teoría de categorías, un monomorfismo defínese como un morfismo que é cancelable pola esquerda.^[3] Isto significa que un (homo)morfismo ${\displaystyle f:A\to B}$ é un monomorfismo se, para calquera par ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle h}$ de morfismos de calquera outro obxecto ${\displaystyle C}$ a ${\displaystyle A}$, entón ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$ implica ${\displaystyle g=h}$.

Epimorfismo

En álxebra, os epimorfismos adoitan definirse como homomorfismos sobrexectivos. ^{[4] :134[5] :43}Por outra banda, na teoría de categorías, os epimorfismos defínense como morfismos cancelables pola dereita. ^[6] Isto significa que un (homo)morfismo ${\displaystyle f:A\to B}$ é un epimorfismo se, para calquera par ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle h}$ de morfismos de ${\displaystyle B}$ a calquera outro obxecto ${\displaystyle C}$, a igualdade ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ implica ${\displaystyle g=h}$.

Kernel (núcleo en alemán)

Calquera homomorfismo ${\displaystyle f:X\to Y}$ define unha relación de equivalencia ${\displaystyle \sim }$ sobre ${\displaystyle X}$ escrita como ${\displaystyle a\sim b}$ se e só se ${\displaystyle f(a)=f(b)}$. A relación ${\displaystyle \sim }$ chámase o kernel de ${\displaystyle f}$. É unha relación de congruencia sobre ${\displaystyle X}$. O conxunto cociente ${\displaystyle X/{\sim }}$ entón pode dar unha estrutura do mesmo tipo que ${\displaystyle X}$, de xeito natural, definindo as operacións do conxunto cociente como ${\displaystyle [x]\ast [y]=[x\ast y]}$, para cada operación ${\displaystyle \ast }$ de ${\displaystyle X}$. Nese caso a imaxe de ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$ baixo o homomorfismo ${\displaystyle f}$ é necesariamente isomorfo a ${\displaystyle X/\!\sim }$ ; este feito é un dos teoremas do isomorfismo.

Cando a estrutura alxébrica é un grupo para algunha operación, a clase de equivalencia ${\displaystyle K}$ do elemento identidade desta operación abonda para caracterizar a relación de equivalencia. Neste caso, o cociente pola relación de equivalencia denotase por ${\displaystyle X/K}$ (normalmente lese como "${\displaystyle X}$ mod ${\displaystyle K}$"). Neste caso, é ${\displaystyle K}$a quen chamamos o kernel de ${\displaystyle f}$. O tipo de estrutura dos kernels é o mesmo que a estrutura orixinal no caso dos grupos abelianos, espazos vectoriais e módulos, mais é diferente e recibe un nome específico noutros casos, como subgrupo normal para os kernels de homomorfismos e ideais para kernels de homomorfismos de aneis (no caso de aneis non conmutativos, os núcleos son os ideais polos dous lados).

Estruturas relacionais

Na teoría de modelos, a noción de estrutura alxébrica xeneralízase a estruturas que implican tanto operacións como relacións. Sexa L unha sinatura formada por símbolos de función e relación, e A, B dúas estruturas L. Entón, un homomorfismo de A a B é un mapeo h do dominio de A ao dominio de B tal que

• h(F ^A (a₁ ,..., a_n )) = F ^B (h(a₁),..., h (a_n)) para cada símbolo de función n-aria F en L,
• R ^A (a₁ ,...,a_n ) implica R ^B (h (a₁),..., h(a_n)) para cada símbolo de relación n-aria R en L.

No caso especial con só unha relación binaria, obtemos a noción de homomorfismo de grafo.

Notas

1. Fricke, Robert (1892). Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen [On the arithmetic character of the triangle functions belonging to the branch points (2,3,7) and (2,4,7)]. Mathematische Annalen (en alemán) 41. pp. 443–468. doi:10.1007/BF01443421.
2. Birkhoff, Garrett (1967) [1940]. Lattice theory. American Mathematical Society Colloquium Publications 25 (3rd ed.). Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1025-5. MR 598630.
3. Mac Lane, Saunders (1971). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer-Verlag. Exercise 4 in section I.5. ISBN 0-387-90036-5. Zbl 0232.18001.
4. Birkhoff (1967). Lattice theory. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1025-5.Birkhoff, Garrett (1967) [1940], Lattice theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 25 (3rd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1025-5, MR 0598630
5. S. Burris and H.P. Sankappanavar (2012). "A course in Universal Algebra" (PDF). ISBN 978-0-9880552-0-9.
6. Mac Lane, Saunders (1971). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90036-5. Zbl 0232.18001.

Véxase tamén

Bibliografía

• Krieger, Dalia (2006). "On critical exponents in fixed points of non-erasing morphisms". En Ibarra, Oscar H.; Dang, Zhe. Developments in language theory : 10th international conference, DLT 2006, Santa Barbara, CA, USA, June 26-29, 2006 : proceedings. Berlin: Springer. pp. 280–291. ISBN 978-3-540-35430-7. OCLC 262693179.
• Stanley N. Burris; H.P. Sankappanavar (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). S. Burris and H.P. Sankappanavar. ISBN 978-0-9880552-0-9.
• Mac Lane, Saunders (1971). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90036-5. Zbl 0232.18001.
• Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (2003). A First Course in Abstract Algebra. Addison-Wesley. ISBN 978-1-292-02496-7.

Outros artigos

• Morfismo