Complexo conxugado

En matemáticas, o complexo conxugado dun número complexo é o número cunha parte real igual e unha parte imaxinaria igual en magnitude mais oposto en signo. É dicir, se ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ son números reais entón o complexo conxugado de ${\displaystyle a+bi}$ é ${\displaystyle a-bi.}$ O complexo conxugado de ${\displaystyle z}$ adoita denotarse como ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ou ${\displaystyle z^{*}}$.

Representación xeométrica (diagrama de Argand) de ${\displaystyle z}$ e o seu conxugado ${\displaystyle {\overline {z}}}$ no plano complexo. O complexo conxugado atópase reflectindo ${\displaystyle z}$ a través do eixo real.

En forma polar, se ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \varphi }$ son números reais daquela o conxugado de ${\displaystyle re^{i\varphi }}$ é ${\displaystyle re^{-i\varphi }.}$ Isto pódese mostrar usando a fórmula de Euler.

O produto dun número complexo e o seu conxugado é un número real: ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ (ou ${\displaystyle r^{2}}$ en coordenadas polares).

Se unha raíz dun polinomio univariado con coeficientes reais é complexa, daquela o súa conxugada complexa tamén é unha raíz.

Propiedades

Para dous números complexos calquera, a conxugación é distributiva sobre a suma, resta, multiplicación e división: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}},\\{\overline {z-w}}&={\overline {z}}-{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}},\quad {\text{and}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{if }}w\neq 0.\end{aligned}}}$

Un número complexo é igual ao seu complexo conxugado se a súa parte imaxinaria é cero, é dicir, se o número é real. Noutras palabras, os números reais son os únicos puntos fixos de conxugación.

A conxugación non muda o módulo dun número complexo: ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=|z|.}$

A conxugación é unha involución, é dicir, o conxugado do conxugado dun número complexo ${\displaystyle z}$ é ${\displaystyle z.}$ En símbolos,

${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$^[1]

O produto dun número complexo co seu conxugado é igual ao cadrado do módulo do número:

${\displaystyle z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}.}$

Isto permite o cálculo doado do inverso multiplicativo dun número complexo dado en coordenadas rectangulares:

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad {\text{ para todo }}z\neq 0.}$

A conxugación é conmutativa baixo composición con exponenciación a potencias enteiras, coa función exponencial e co logaritmo natural para argumentos distintos de cero:

${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad {\text{ para todos os }}n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}}$

${\displaystyle \ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}{\text{ se }}z{\text{ é distinto de cero e real negativo }}}$

Se ${\displaystyle p}$ é un polinomio con coeficientes reais e ${\displaystyle p(z)=0,}$ entón ${\displaystyle p\left({\overline {z}}\right)=0}$ tamén o sería. Así, as raíces non reais de polinomios reais ocorren en pares conxugados complexos (ver Teorema da raíz conxugada complexa).

En xeral, se ${\displaystyle \varphi }$ é unha función holomorfa cuxa restrición aos números reais ten valores reais, e ${\displaystyle \varphi (z)}$ e ${\displaystyle \varphi ({\overline {z}})}$ están definidos, daquela

${\displaystyle \varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!}$

Usar como variábel

Unha vez dado un número complexo ${\displaystyle z=x+yi}$ ou ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$, o seu conxugado é suficiente para reproducir as partes da variábel z:

• Parte real: ${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• Parte imaxinaria: ${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• Módulo (ou valor absoluto) : ${\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• Argumento : ${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},}$ por tanto ${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$

Conxugado dun hipercomplexo

A noción de número conxugado pódese estender a números hipercomplexos. Por exemplo, para un hipercomplexo (cuaternión ) temos:

${\displaystyle a+bi+cj+dk\mapsto a-bi-cj-dk}$

Pódese ver que a operación unitaria^[2] de conxugación hipercomplexa é o único automorfismo que deixinvariante a o subconxunto dos números reais diferenteade identidade. As mesmas propiedades que scumprenapara n á conxugación de números complexos cúmprense para a conxugación de números hipercomplexos.