Fórmula de Euler

A fórmula de Euler ou relación de Euler, atribuída a Leonhard Euler, establece o teorema, no que:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\,\operatorname {sen} x}$

para todo número real x, que representa un ángulo no plano complexo. Nela, e é a base do logaritmo natural, i é a unidade imaxinaria, ${\displaystyle \operatorname {sen} x}$ e ${\displaystyle \cos x}$ son as funcións trigonométricas seno e coseno.

Tamén adoita expresarse como:

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\,\operatorname {sen} \,y)}$

onde z ${\displaystyle z}$ é a variable complexa definida por ${\displaystyle z=x+iy}$

Demostración

Nótese que esta non é unha demostración baseada nas propiedades dos números complexos e da función exponencial, senón que é necesaria a definición da exponencial complexa como o equivalente á serie de Taylor sobre os números reais para parámetros complexos.

A fórmula pode interpretarse xeometricamente como unha circunferencia unidade no plano complexo, debuxada pola función e^ix ao variar ${\displaystyle x}$ sobre os números reais. Así, ${\displaystyle x}$ é o ángulo dunha recta que conecta a orixe do plano e un punto sobre a circunferencia unidade, co eixe positivo real, medido no sentido contrario ás agullas do reloxo e en radiáns. A fórmula só é válida se tamén o seno e o coseno teñen os seus argumentos en radianes.

A fórmula de Euler foi formulada por primeira vez por Roger Cotes en 1714,^[1] e logo redescuberta e popularizada por Euler en 1748.^[2] É interesante notar que ningún dos descubridores viu a interpretación xeométrica sinalada anteriormente: a visión dos números complexos como puntos no plano xurdiu en 1787 por parte do matemático Caspar Wessel no seu único informe para a Real Academia Danesa.

Demostración usando as series de Taylor

A fórmula de Euler ilustrada no plano complexo.

Sabendo que:

${\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\\\end{aligned}}}$

e así sucesivamente.^[3] Ademais disto, as funcións e^x, cos(x) e sen(x) (asumindo que x sexa un número real) poden ser expresadas empregando as súas series de Taylor ao redor de cero.

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&{}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \\\cos x&{}={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}={\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}$

Outra definición que se lle pode dar a e elevado a xe baseándose nas series de Taylor é a seguinte:

${\displaystyle e^{x}=1+{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}}$

tamén valido para.

${\displaystyle \cos x=1+{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}}$

${\displaystyle \sin x=1+{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}}$

Defínese cada unha destas funcións polas series anteriores, substituíndo x por i·z, onde z é unha variable real e i a unidade imaxinaria. Isto é posible porque o raio de converxencia é infinito en cada serie. Entón atópase que:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&{}={\frac {(iz)^{0}}{0!}}+{\frac {(iz)^{1}}{1!}}+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}={\frac {z^{0}}{0!}}+i{\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}-i{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+i{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-i{\frac {z^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left({\frac {z^{0}}{0!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left({\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos(z)+i\sin(z)\end{aligned}}}$

O reordenamento é posible debido a que cada serie é absolutamente converxente. Substituíndo z = x como un número real resulta identidade orixinal como a descubriu Euler.

Relevancia matemática

A fórmula proporciona unha potente conexión entre a análise matemática e a trigonometría. Utilízase para representar os números complexos en coordenadas polares e permite definir o logaritmo para números negativos e números complexos.

Logaritmo dun número negativo

Neste caso, a fórmula de Euler avalíase en ${\displaystyle x=\pi }$, obtendo a identidade de Euler:

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \,\operatorname {sen} \pi =-1}$

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }=-1\,\!}$

Logo, ao aplicar o logaritmo natural obtense:

${\displaystyle \mathrm {i} \pi =\ln(-1)\,\!}$.

Logaritmo dun número negativo calquera

Como extensión da ecuación anterior, o logaritmo de calquera número negativo defínese como:

${\displaystyle \ln(-a)=\ln(a)+\ln(-1)=\ln(a)+\mathrm {i} \pi \,\!}$. Onde ${\displaystyle a>0}$.

Ademais pode definirse o logaritmo dun número negativo en calquera base, a partir do logaritmo natural e a fórmula de cambio de base.

Integración e derivación

Unha propiedade importante da fórmula de Euler é que é a única función matemática que permanece coa mesma forma (excepto pola unidade imaxinaria) coas operacións de integración e derivación do cálculo integral, o que permite que se empregue para converter ecuacións diferenciais en ecuacións con forma alxébrica, simplificando enormemente esas operacións.

Das regras da exponenciación

${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}\cdot e^{b}}$

e

${\displaystyle (e^{a})^{b}=e^{a\cdot b}}$

(válidas para todo par de números complexos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$), pódense derivar varias identidades trigonométricas, así como a fórmula de De Moivre.

Funcións trigonométricas

A fórmula de Euler tamén permite interpretar as funcións seno e coseno como simples variacións da función exponencial:

${\displaystyle \cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}$

${\displaystyle \operatorname {sen} x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}}$

A partir destas igualdades, é posible definir as funcións trigonométricas para os números complexos deste xeito:^[4]

${\displaystyle \operatorname {sen} z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}}}$

${\displaystyle \cos z={\cfrac {e^{zi}+e^{-zi}}{2}}}$

${\displaystyle \tan z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{e^{zi}+e^{-zi}}}*{\cfrac {1}{i}}}$

sendo ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, é dicir, que pertence ao conxunto de números complexos. Estas funcións trigonométricas cumpren as leis das súas similares aplicadas aos números reais. Sexan os números complexos ${\displaystyle z}$ e ${\displaystyle w}$, é dicir ${\displaystyle z\land w\in \mathbb {C} }$, entón son válidas as seguintes igualdades:

${\displaystyle \cos ^{2}{z}+\operatorname {sen} ^{2}{z}=1}$

${\displaystyle \cos(-z)=\cos(z)}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(-z)=-\operatorname {sen}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(z+w)=\operatorname {sen}(z)\cos(w)+\operatorname {sen}(w)\cos(z)}$

${\displaystyle \cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\operatorname {sen}(w)\operatorname {sen}(z)}$

Ecuacións diferenciais

Nas ecuacións diferenciais, a expresión ${\displaystyle e^{ix}}$ é utilizada a miúdo para simplificar derivadas, mesmo se a resposta final é unha función real na que aparezan senos ou cosenos. A identidade de Euler é unha consecuencia inmediata da fórmula de Euler.

Análise de sinais

Os sinais que varían periodicamente adoitan describirse como unha combinación de funcións seno e coseno, como ocorre na análise de Fourier, e estas exprésanse máis convenientemente como a parte real dunha función exponencial con expoñente imaxinario, empregando a fórmula de Euler.

Notas

1. John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.
2. Leonard Euler (1748) Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle of Introduction to the Analysis of the Infinite, páxina 214, sección 138. (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths)
3. Ricardo, Henry J. A Modern Introduction to Differential Equations (en inglés). p. 428.
4. Alaminos Prats, Jerónimo (15 de outubro de 2012). "Apuntes de Cálculo avanzado" (PDF) (en castelán). Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Granada. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 13 de abril de 2012. Consultado o 18 de abril de 2016.

Véxase tamén

Outros artigos

• Número complexo
• Pi

Ligazóns externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Euler formulas»
• Weisstein, Eric W. «Euler Formula».
• Elements of Algebra
• Euler's Formula and Euler's Identity : Rationale for Euler's Formula and Euler's Identity, video at Khanacademy.org