Número e

O número e é unha constante matemática que é aproximadamente igual a 2,71828. Este número pode ser caracterizado de diversas formas. É a base dos logaritmos naturais e é o límite de (1 + 1/n)ⁿ cando n se aproxima do infinito, unha expresión que provén do cálculo dos xuros compostos. Tamén pode ser calculado como a suma da serie infinita:

${\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$

Gráfico da equación y = 1/x. Aquí, e é o único número maior que 1 que fai que a área baixo da curva sexa igual a 1.

Ademais, é o único número positivo a tal que o gráfico da función y = a^x ten unha pendente de 1 cando x = 0.

A función exponencial (natural) f(x) = e^x é a única función f que é igual á súa propia derivada e que satisface a ecuación f(0) = 1; por iso, e tamén pode ser definido como f(1). O logaritmo natural, ou logaritmo de base e, é a función inversa da función exponencial natural. O logaritmo natural para un número natural k > 1 pode ser definido directamente como a área baixo a curva y = 1/x entre x = 1 e x = k; neste caso, e é o valor de k para o cal esta área é igual a 1. Há varias outras caracterizacións.

O número e tamén é coñecido como o número de Euler (non confundir coa constante de Euler γ), nomeado en honor ao matemático suízo Leonhard Euler, ou como a constante de Neper, en homenaxe a John Napier.^[1] Esta constante foi descuberta polo matemático suízo Jacob Bernoulli mentres estudaba intereses compostos.^[2][3]

O número e ten unha grande importancia na matemática,^[4] xunto con 0, 1, π e i. Todos os cinco aparecen nunha formulación da identidade de Euler e^iπ + 1 = 0 e desempeñan papeis importantes e recorrentes na matemática. Semellante á constante π, e é irracional (non pode ser representado como unha razón de dous enteiros) e transcendente (non é unha raíz de ningunha función polinomial con coeficientes racionais). Con 50 cifras decimais, o valor de e é:^[5]

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

Historia

A existencia dun límite de ${\displaystyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}}$ por ${\displaystyle n}$ enteiro positivo se ${\displaystyle n}$ → ∞ foi probada por Daniel Bernoulli en 1728 por primeira vez. A notación con ${\displaystyle e}$, de 1728, é debida a Leonhard Euler, que superou outras propostas.^[6]

Propiedades

• O número ${\displaystyle e}$ é un número real irracional, é dicir, ten infinitos decimais e é aperiódico.
• O logaritmo natural de ${\displaystyle e}$ é 1.
• A identidade de Euler relaciona ao número ${\displaystyle e}$ co valor imaxinario, ${\displaystyle i}$, π, 1 e 0, sendo considerada coma "unha das fórmulas máis bonitas das matemáticas".

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

• ${\displaystyle \rho (cos\theta +isen\theta )=\rho e^{i\theta }}$.
• É un número real trascendente, feito demostrado por Charles Hermite en 1874. Non é a raíz da ecuación alxébrica como unha serie infinita: ${\displaystyle e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...+{\frac {1}{n!}}+...}$
• ${\displaystyle 2\leq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\leq 4}$ ^[7]
• ${\displaystyle n!>\left(1+{1 \over n}\right)^{n}}$
• É a base dos logaritmos neperianos.

Notas

1. Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado o 10 de agosto de 2020.
2. Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (en inglés) (illustrated ed.). Sterling Publishing Company. p. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Extract of page 166
3. O'Connor, J J; Robertson, E F. "The number e". MacTutor History of Mathematics (en inglés).
4. Sawyer, W. W. (1961). Mathematician's Delight. Penguin (en inglés). p. 155.
5. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001113 (Decimal expansion of e)". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (en inglés). OEIS Foundation.
6. N. V. Alexándrova: Diccionario histórico [...] de la matemáticas, Hayka impresoen España
7. P.P. Korovkin: Desigualdades, Editorial Mir , Moscú 1974

Véxase tamén

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Número e

Ligazóns externas

• 10 000 díxitos do número e Arquivado 05 de agosto de 2004 en Wayback Machine.