Número e

O número e é unha constante matemática que é aproximadamente igual a 2,71828.

Non confundir con Número euleriano ou Números de Euler.

Gráfico da equación y = 1/x. Aquí, e é o único número maior que 1 que fai que a área baixo da curva sexa igual a 1.

Os seus usos máis frecuentes son como función exponencial (${\displaystyle e^{x}}$) e como a súa inversa o logaritmo en base ${\displaystyle e}$ chamado logaritmo natural (${\displaystyle \log(x)}$).

É o único número positivo a tal que o gráfico da función y = a^x ten unha pendente de 1 cando x = 0.

Por outra parte se temos a área baixo a curva y = 1/x entre x = 1 e x = k; daquela o número e sería o valor de k para o cal esta área é igual a 1.

O número e tamén é coñecido como o número de Euler (non confundir coa constante de Euler γ), nomeado en honor ao matemático suízo Leonhard Euler, ou como a constante de Neper, en homenaxe a John Napier.^[1] Esta constante foi descuberta polo matemático suízo Jacob Bernoulli mentres estudaba intereses compostos.^[2][3]

O número e ten unha grande importancia na matemática,^[4] xunto con 0, 1, π e i. Todos os cinco aparecen nunha formulación da identidade de Euler e^iπ + 1 = 0 e desempeñan papeis importantes e recorrentes na matemática. Semellante á constante π, a constante e é irracional (non pode ser representada como unha razón de dous enteiros) e transcendente (non é unha raíz de ningunha función polinomial con coeficientes racionais).

Con 50 cifras decimais, o valor de e é (secuencia A001113 na OEIS):^[5]

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

Definicións

O número e é o límite

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$

unha expresión que xorde no cálculo do xuro composto.

É a suma da serie infinita

${\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .}$

É o número positivo único a tal que a gráfica da función y = a^x ten unha pendente de 1 en x = 0.

Temos tamén que

${\displaystyle e=\exp(1),}$

onde ${\displaystyle \exp }$ é a función exponencial (natural), a función única que é igual á súa propia derivada e satisfai a ecuación ${\displaystyle \exp(0)=1.}$. De feito a función exponencial natural escríbese tanto ${\displaystyle e^{x}}$ como ${\displaystyle \exp(x)}$ (normalmente nesta segunda forma cando o expoñente é unha expresión grande e non se visualiza ben na parte superior).

O logaritmo de base b pódese definir como a función inversa da función ${\displaystyle x\mapsto b^{x}.}$ Como ${\displaystyle b=b^{1},}$ temos que ${\displaystyle \log _{b}b=1.}$ A ecuación ${\displaystyle e=e^{1}}$ implica, polo tanto, que e é a base do logaritmo natural. Normalmente escríbese o logaritmo natural (base e) sen especificar a base ${\displaystyle \log(x)}$ e tamén é frecuente escribilo e lelo como logaritmo neperiano ${\displaystyle \ln(x)}$.

O número e tamén se pode caracterizar en termos dunha integral:

${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=1.}$

Para outras caracterizacións, consulte § Representacións.

Historia

As primeiras referencias á constante foron publicadas en 1618 na táboa dun apéndice dun traballo sobre logaritmos de John Napier.

A constante en si foi introducida por Jakob Bernoulli en 1683, para resolver o problema dos xuros composto. Na súa solución, a constante e aparece como un límite dunha sucesión

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$

onde n representa o número de intervalos nun ano nos que se avalía o xuro composto (por exemplo, ${\displaystyle n=12}$ para un xuro composto mensual).

O primeiro símbolo utilizado para esta constante foi a letra b de Gottfried Leibniz nas cartas a Christiaan Huygens en 1690 e 1691.^[6]

A notación coa letra ${\displaystyle e}$, de 1728, é debida a Leonhard Euler, que superou outras propostas.^[7]

Euler demostrou que e é a suma da serie infinita

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,}$

onde n! é o factorial de n.

Propiedades

Cálculo

Móstranse as gráficas das funcións x ↦ a^x para a = 2 (punteada), a = e (azul) e a = 4 (con trazos). Todas pasan polo punto (0,1), pero a liña vermella (que ten pendente 1) é tanxente só a e^x nese punto.

A principal motivación para introducir o número e, particularmente no cálculo, é realizar diferenciais e cálculo integral coa función exponencial e o logaritmo.^[8]

Tanto para a derivada como para a integral da función exponencial e da función logaritmo temos expresións sinxelas:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log x={\frac {1}{x}}.}$

${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C.}$

${\displaystyle \int log(x)\,dx=xlog(x)-x+C.}$

A maiores, a familia de funcións

${\displaystyle y(x)=Ke^{x}}$

onde K é calquera número real ou complexo, é a solución completa da ecuación diferencial

${\displaystyle y'=y.}$

Desigualdades

En primeiro lugar podemos ver que

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}$

para todos os x reais positivos.^[9]

Tamén temos a desigualdade

${\displaystyle e^{x}\geq x+1}$

para todo número real x, dándose a igualdade se e só se x = 0.

Funcións de tipo exponential

O problema de Steiner pide atopar o máximo global para a función

${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}$

Este máximo ocorre precisamente en x = e. (Pódese comprobar que a derivada de ln f(x) é cero só para ese valor de x).

Do mesmo xeito, x = 1/e é onde se produce o mínimo global para a función

${\displaystyle f(x)=x^{x}.}$

Teoría de números

O número real e é irracional. Euler demostrou isto mostrando que a súa expansión en fracción continua simple non termina.^[10]

Aínda máis, polo teorema de Lindemann-Weierstrass, e é transcendental, o que significa que non é unha solución de ningunha ecuación polinómica distinta de cero con coeficientes racionais. Foi o primeiro número que se demostrou transcendental sen ter sido construído especificamente para este propósito (comparar co número de Liouville); a proba foi dada por Charles Hermite en 1873.^[11]

O número e é un dos poucos números transcendentais para os que se coñece que o seu expoñente de irracionalidade é ${\displaystyle \mu (e)=2}$.^[12]

Un problema sen solucionar ata agora é a cuestión de se os números e e π son ou non alxébricamente independentes.^[13][14]

Números complexos

A función exponencial e^x pódese escribir como unha serie de Taylor ou Maclaurin^[15]

${\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Dado que esta serie é converxente para todo valor complexo de x, úsase habitualmente para ampliar a definición de e ^x aos números complexos^[16]:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

que se cumpre para todo complexo x.^[16] O caso especial con x = π é a identidade de Euler:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

A maiores, esa identidade implica que, na rama principal do logaritmo,^[16]

${\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}$

E empregando as leis para a exponenciación,

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos nx+i\sin nx}$

para calquera número enteiro n, que é a formula de De Moivre.^[17]

As expresións de cos x e sen x en termos da función exponencial pódense deducir da serie de Taylor:^[16]

${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}$

A expresión

${\displaystyle \cos x+i\sin x}$

ás veces abréviase como cis(x).^[17]

Resumo

• O número ${\displaystyle e}$ é un número real irracional, é dicir, ten infinitos decimais e é aperiódico.
• O logaritmo natural de ${\displaystyle e}$ é 1.
• É a base dos logaritmos neperianos ou naturais (${\displaystyle \log(x)}$ ou ${\displaystyle \ln(x)}$).
• É a base da función exponencial (${\displaystyle \exp(x)}$ ou ${\displaystyle e^{x}}$).
• A identidade de Euler relaciona ao número ${\displaystyle e}$ co valor imaxinario, ${\displaystyle i}$, π, 1 e 0, sendo considerada coma "unha das fórmulas máis bonitas das matemáticas".

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$.

• ${\displaystyle \rho (cos\theta +isen\theta )=\rho e^{i\theta }}$.
• É un número real transcendente, feito demostrado por Charles Hermite en 1874. Non é a raíz da ecuación alxébrica.
• Como unha serie infinita (serie de Maclaurin): ${\displaystyle e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...+{\frac {1}{n!}}+...}$
• ${\displaystyle 2\leq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\leq 4}$ ^[18]

Representacións

Áparte das fórmulas vistas anteriormente tamén se pode representar das seguintes formas:

Euler demostrou que o número e represéntase como a fracción continua simple infinita:(secuencia A003417 na OEIS)

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ]}$

Como produto infinito:^[19]

${\displaystyle e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .}$

Como serie infinita:

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}$,

${\displaystyle e^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

Vexamos algunha serie máis:

${\displaystyle e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}$

${\displaystyle e=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}$

Temos a fórmula de Stirling como aproximación asintótica do factorial

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

o que nos leva a outra definición como límite dunha sucesión^[20]

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}$

Aplicando o teorema do binomio

${\displaystyle e_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}{\frac {1}{n^{k}}}}$

que tende a ${\displaystyle e}$ segundo ${\displaystyle n}$ tende a ${\displaystyle \infty }$. (O termo ${\displaystyle n^{\underline {k}}}$ é o ${\displaystyle k}$-ésimo factorial descendente de ${\displaystyle n}$).

En trigonometría, vimos anteriormente a relación coas funcións trigonométricas circulares, mais tamén existe unha relación simple coas funcións trigonométricas hiperbólicas,

${\displaystyle e^{x}=\sinh(x)+\cosh(x)}$.