Número e

O número e é unha constante matemática que é aproximadamente igual a 2,71828.

Gráfico da equación y = 1/x. Aquí, e é o único número maior que 1 que fai que a área baixo da curva sexa igual a 1.

Os seus usos máis frecuentes son como función exponencial (${\displaystyle e^{x}}$) e como a súa inversa o logaritmo en base ${\displaystyle e}$ chamado logaritmo natural (${\displaystyle \log(x)}$).

É o único número positivo a tal que o gráfico da función y = a^x ten unha pendente de 1 cando x = 0.

Por outra parte se temos a área baixo a curva y = 1/x entre x = 1 e x = k; daquela o número e sería o valor de k para o cal esta área é igual a 1.

O número e tamén é coñecido como o número de Euler (non confundir coa constante de Euler γ), nomeado en honor ao matemático suízo Leonhard Euler, ou como a constante de Neper, en homenaxe a John Napier.^[1] Esta constante foi descuberta polo matemático suízo Jacob Bernoulli mentres estudaba intereses compostos.^[2][3]

O número e ten unha grande importancia na matemática,^[4] xunto con 0, 1, π e i. Todos os cinco aparecen nunha formulación da identidade de Euler e^iπ + 1 = 0 e desempeñan papeis importantes e recorrentes na matemática. Semellante á constante π, a constante e é irracional (non pode ser representada como unha razón de dous enteiros) e transcendente (non é unha raíz de ningunha función polinomial con coeficientes racionais).

Con 50 cifras decimais, o valor de e é (secuencia A001113 na OEIS):^[5]

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

Definicións

O número e é o límite

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$

unha expresión que xorde no cálculo do xuro composto.

É a suma da serie infinita

${\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .}$

É o número positivo único a tal que a gráfica da función y = a^x ten unha pendente de 1 en x = 0.

Temos tamén que

${\displaystyle e=\exp(1),}$

onde ${\displaystyle \exp }$ é a función exponencial (natural), a función única que é igual á súa propia derivada e satisfai a ecuación ${\displaystyle \exp(0)=1.}$. De feito a función exponencial natural escríbese tanto ${\displaystyle e^{x}}$ como ${\displaystyle \exp(x)}$ (normalmente nesta segunda forma cando o expoñente é unha expresión grande e non se visualiza ben na parte superior).

O logaritmo de base b pódese definir como a función inversa da función ${\displaystyle x\mapsto b^{x}.}$ Como ${\displaystyle b=b^{1},}$ temos que ${\displaystyle \log _{b}b=1.}$ A ecuación ${\displaystyle e=e^{1}}$ implica, polo tanto, que e é a base do logaritmo natural. Normalmente escríbese o logaritmo natural (base e) sen especificar a base ${\displaystyle \log(x)}$ e tamén é frecuente escribilo e lelo como logaritmo neperiano ${\displaystyle \ln(x)}$.

O número e tamén se pode caracterizar en termos dunha integral:

${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=1.}$

Para outras caracterizacións, consulte § Representacións.

Historia

As primeiras referencias á constante foron publicadas en 1618 na táboa dun apéndice dun traballo sobre logaritmos de John Napier.

A constante en si foi introducida por Jakob Bernoulli en 1683, para resolver o problema dos xuros composto. Na súa solución, a constante e aparece como un límite dunha sucesión

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$

onde n representa o número de intervalos nun ano nos que se avalía o xuro composto (por exemplo, ${\displaystyle n=12}$ para un xuro composto mensual).

O primeiro símbolo utilizado para esta constante foi a letra b de Gottfried Leibniz nas cartas a Christiaan Huygens en 1690 e 1691.^[6]

A notación coa letra ${\displaystyle e}$, de 1728, é debida a Leonhard Euler, que superou outras propostas.^[7]

Euler demostrou que e é a suma da serie infinita

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,}$

onde n! é o factorial de n.

Propiedades

Cálculo

Móstranse as gráficas das funcións x ↦ a^x para a = 2 (punteada), a = e (azul) e a = 4 (con trazos). Todas pasan polo punto (0,1), pero a liña vermella (que ten pendente 1) é tanxente só a e^x nese punto.

A principal motivación para introducir o número e, particularmente no cálculo, é realizar diferenciais e cálculo integral coa función exponencial e o logaritmo.^[8]

Tanto para a derivada como para a integral da función exponencial e da función logaritmo temos expresións sinxelas:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log x={\frac {1}{x}}.}$

${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C.}$

${\displaystyle \int log(x)\,dx=xlog(x)-x+C.}$

A maiores, a familia de funcións

${\displaystyle y(x)=Ke^{x}}$

onde K é calquera número real ou complexo, é a solución completa da ecuación diferencial

${\displaystyle y'=y.}$

Desigualdades

En primeiro lugar podemos ver que

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}$

para todos os x reais positivos.^[9]

Tamén temos a desigualdade

${\displaystyle e^{x}\geq x+1}$

para todo número real x, dándose a igualdade se e só se x = 0.

Funcións de tipo exponential

O problema de Steiner pide atopar o máximo global para a función

${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}$

Este máximo ocorre precisamente en x = e. (Pódese comprobar que a derivada de ln f(x) é cero só para ese valor de x).

Do mesmo xeito, x = 1/e é onde se produce o mínimo global para a función

${\displaystyle f(x)=x^{x}.}$

Teoría de números

O número real e é irracional. Euler demostrou isto mostrando que a súa expansión en fracción continua simple non termina.^[10]

Aínda máis, polo teorema de Lindemann-Weierstrass, e é transcendental, o que significa que non é unha solución de ningunha ecuación polinómica distinta de cero con coeficientes racionais. Foi o primeiro número que se demostrou transcendental sen ter sido construído especificamente para este propósito (comparar co número de Liouville); a proba foi dada por Charles Hermite en 1873.^[11]

O número e é un dos poucos números transcendentais para os que se coñece que o seu expoñente de irracionalidade é ${\displaystyle \mu (e)=2}$.^[12]

Un problema sen solucionar ata agora é a cuestión de se os números e e π son ou non alxébricamente independentes.^[13][14]

Números complexos

A función exponencial e^x pódese escribir como unha serie de Taylor ou Maclaurin^[15]

${\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Dado que esta serie é converxente para todo valor complexo de x, úsase habitualmente para ampliar a definición de e ^x aos números complexos^[16]:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

que se cumpre para todo complexo x.^[16] O caso especial con x = π é a identidade de Euler:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

A maiores, esa identidade implica que, na rama principal do logaritmo,^[16]

${\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}$

E empregando as leis para a exponenciación,

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos nx+i\sin nx}$

para calquera número enteiro n, que é a formula de De Moivre.^[17]

As expresións de cos x e sen x en termos da función exponencial pódense deducir da serie de Taylor:^[16]

${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}$

A expresión

${\displaystyle \cos x+i\sin x}$

ás veces abréviase como cis(x).^[17]

Resumo

• O número ${\displaystyle e}$ é un número real irracional, é dicir, ten infinitos decimais e é aperiódico.
• O logaritmo natural de ${\displaystyle e}$ é 1.
• É a base dos logaritmos neperianos ou naturais (${\displaystyle \log(x)}$ ou ${\displaystyle \ln(x)}$).
• É a base da función exponencial (${\displaystyle \exp(x)}$ ou ${\displaystyle e^{x}}$).
• A identidade de Euler relaciona ao número ${\displaystyle e}$ co valor imaxinario, ${\displaystyle i}$, π, 1 e 0, sendo considerada coma "unha das fórmulas máis bonitas das matemáticas".

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$.

• ${\displaystyle \rho (cos\theta +isen\theta )=\rho e^{i\theta }}$.
• É un número real transcendente, feito demostrado por Charles Hermite en 1874. Non é a raíz da ecuación alxébrica.
• Como unha serie infinita (serie de Maclaurin): ${\displaystyle e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...+{\frac {1}{n!}}+...}$
• ${\displaystyle 2\leq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\leq 4}$ ^[18]

Representacións

Áparte das fórmulas vistas anteriormente tamén se pode representar das seguintes formas:

Euler demostrou que o número e represéntase como a fracción continua simple infinita:(secuencia A003417 na OEIS)

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ]}$

Como produto infinito:^[19]

${\displaystyle e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .}$

Como serie infinita:

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}$,

${\displaystyle e^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

Vexamos algunha serie máis:

${\displaystyle e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}$

${\displaystyle e=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}$

Temos a fórmula de Stirling como aproximación asintótica do factorial

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

o que nos leva a outra definición como límite dunha sucesión^[20]

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}$

Aplicando o teorema do binomio

${\displaystyle e_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}{\frac {1}{n^{k}}}}$

que tende a ${\displaystyle e}$ segundo ${\displaystyle n}$ tende a ${\displaystyle \infty }$. (O termo ${\displaystyle n^{\underline {k}}}$ é o ${\displaystyle k}$-ésimo factorial descendente de ${\displaystyle n}$).

En trigonometría, vimos anteriormente a relación coas funcións trigonométricas circulares, mais tamén existe unha relación simple coas funcións trigonométricas hiperbólicas,

${\displaystyle e^{x}=\sinh(x)+\cosh(x)}$.

Notas

1. Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado o 10 de agosto de 2020.
2. Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (en inglés) (illustrated ed.). Sterling Publishing Company. p. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Extract of page 166
3. O'Connor, J J; Robertson, E F. "The number e". MacTutor History of Mathematics (en inglés).
4. Sawyer, W. W. (1961). Mathematician's Delight. Penguin (en inglés). p. 155.
5. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001113 (Decimal expansion of e)". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (en inglés). OEIS Foundation.
6. Leibniz, Gottfried Wilhelm (2003). "Sämliche Schriften Und Briefe" (PDF). ver por exemplo a carta número 6
7. N. V. Alexándrova: Diccionario histórico [...] de las matemáticas, Hayka impreso en España
8. Kline, M. (1998). Calculus: An intuitive and physical approach. Dover Publications. p. 337 ff. ISBN 0-486-40453-6.
9. Dorrie, Heinrich (1965). 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover. pp. 44–48.
10. Sandifer, Ed (Feb 2006). "How Euler Did It: Who proved e is Irrational?" (PDF). MAA Online. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2014-02-23. Consultado o 2010-06-18.
11. Gelfond, A. O. (2015) [1960]. Transcendental and Algebraic Numbers. Dover Books on Mathematics. Traducido por Boron, Leo F. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-49526-2. MR 0057921. |page=41}}
12. Weisstein, Eric W. "Irrationality Measure". mathworld.wolfram.com. Consultado o 2024-09-14.
13. Murty, M. Ram; Rath, Purusottam (2014). Transcendental Numbers (en inglés). Springer. ISBN 978-1-4939-0831-8. doi:10.1007/978-1-4939-0832-5.
14. Waldschmidt, Michel (2021). "Schanuel's Conjecture: algebraic independence of transcendental numbers" (PDF).
15. Whittaker, Edmund Taylor; Watson, George Neville (1927-01-02). A Course Of Modern Analysis: An Introduction to the General Theory of Infinite Processes and of Analytic Functions; with an Account of the Principal Transcendental Functions (4th ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 581. ISBN 978-0-521-06794-2.
16. Dennery, P.; Krzywicki, A. (1995) [1967]. Mathematics for Physicists. Dover. pp. 23–25. ISBN 0-486-69193-4.
17. Sultan, Alan; Artzt, Alice F. (2010). The Mathematics That Every Secondary School Math Teacher Needs to Know. Routledge. pp. 326–328. ISBN 978-0-203-85753-3.
18. P.P. Korovkin: Desigualdades, Editorial Mir , Moscú 1974
19. Steven Finch (2003). Mathematical constants. Cambridge University Press. p. 14. ISBN 978-0-521-81805-6.
20. Gbur, Greg (2011). Mathematical Methods for Optical Physics and Engineering. Cambridge University Press. p. 779. ISBN 978-0-521516-10-5.

Véxase tamén

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Número e

Bibliografía

• Maor, Eli, ed. (2009). e: The Story of a Number. Princeton science library. Princeton, N.J: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-05854-2.
• for another stochastic representation
• McCartin, Brian J. (March 2006). "e: The Master of All" (PDF). The Mathematical Intelligencer 28 (2): 10–21. ISSN 0343-6993. doi:10.1007/BF02987150.

Outros artigos

• Medida de irracionalidade
• Fracción continua xeneralizada
• Aproximación de Stirling

Ligazóns externas

• 10 000 díxitos do número e Arquivado 5 de agosto de 2004 en Wayback Machine.
• Aproximações de e (en inglés) no Wolfram MathWorld
• Primeiros usos de símbolos para constantes (en inglés) 13 de xaneiro de 2008
• A história de e , por Robin Wilson no Gresham College, 28 de febreiro de 2007 (download disponíbel do áudio e vídeo)