Número transcendente

Un número transcendente, tamén número transcendental, é un tipo de número irracional que non é raíz de ningún polinomio non nulo con coeficientes enteiros.

Neste sentido, número transcendente é antónimo de número alxébrico. A definición non provén dunha simple relación alxébrica, senón que se define como unha propiedade fundamental das matemáticas. Os números transcendentes máis coñecidos son π e e.

En xeral, se temos dous corpos ${\displaystyle \scriptstyle (K,+,\cdot )}$ e ${\displaystyle \scriptstyle (L,+,\cdot )}$ de forma que o segundo é extensión do primeiro, diremos que ${\displaystyle \scriptstyle \alpha \in L}$ é transcendente sobre ${\displaystyle \scriptstyle K}$ se non existe ningún polinomio ${\displaystyle \scriptstyle p\in K[x]}$ do que ${\displaystyle \scriptstyle \alpha \,}$ sexa raíz (${\displaystyle \scriptstyle p(\alpha )=0\,}$).

O conxunto de números alxébricos é numerable, mentres que o conxunto de números reais é non numerable; polo tanto, o conxunto de números transcendentes é tamén non numerable. Non obstante, existen moi poucos números transcendentes coñecidos, e demostrar que un número é transcendente pode ser extremadamente difícil. Por exemplo, aínda non se sabe se a constante de Euler (${\displaystyle \scriptstyle \gamma \,}$) o é, sendo

${\displaystyle \textstyle \gamma \,}$ = ${\displaystyle \textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)}$, cando ${\displaystyle \textstyle n\to +\infty \,\!}$.

De feito, nin sequera se sabe se ${\displaystyle \scriptstyle \gamma }$ é racional ou irracional.

A propiedade de normalidade dun número pode contribuír a demostrar se é transcendente ou non.