Número transcendente

Un número transcendente, tamén número transcendental, é un tipo de número irracional que non é raíz de ningún polinomio non nulo con coeficientes enteiros.

Neste sentido, número transcendente é antónimo de número alxébrico. A definición non provén dunha simple relación alxébrica, senón que se define como unha propiedade fundamental das matemáticas. Os números transcendentes máis coñecidos son π e e.

En xeral, se temos dous corpos ${\displaystyle \scriptstyle (K,+,\cdot )}$ e ${\displaystyle \scriptstyle (L,+,\cdot )}$ de forma que o segundo é extensión do primeiro, diremos que ${\displaystyle \scriptstyle \alpha \in L}$ é transcendente sobre ${\displaystyle \scriptstyle K}$ se non existe ningún polinomio ${\displaystyle \scriptstyle p\in K[x]}$ do que ${\displaystyle \scriptstyle \alpha \,}$ sexa raíz (${\displaystyle \scriptstyle p(\alpha )=0\,}$).

O conxunto de números alxébricos é numerable, mentres que o conxunto de números reais é non numerable; polo tanto, o conxunto de números transcendentes é tamén non numerable. Non obstante, existen moi poucos números transcendentes coñecidos, e demostrar que un número é transcendente pode ser extremadamente difícil. Por exemplo, aínda non se sabe se a constante de Euler-Mascheroni (${\displaystyle \scriptstyle \gamma \,}$) o é, sendo

${\displaystyle \textstyle \gamma \,}$ = ${\displaystyle \textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)}$, cando ${\displaystyle \textstyle n\to +\infty \,\!}$.

De feito, nin sequera se sabe se ${\displaystyle \scriptstyle \gamma }$ é racional ou irracional.

A propiedade de normalidade dun número (a súa secuencia infinita de díxitos distribúese uniformemente) pode contribuír a demostrar se é transcendente ou non.

Números demostrados como transcendentais

Números demostrados como transcendentais:

• π (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
• ${\displaystyle e^{a}}$ se ${\displaystyle a}$ é alxébrico e distinto de cero (polo teorema de Lindemann–Weierstrass), en particular o número e.
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ onde ${\displaystyle n}$ é un enteiro positivo; en particular a constante de Gelfond ${\displaystyle e^{\pi }}$ (polo teorema de Gelfond-Schneider).
• Combinacións alxébricas de ${\displaystyle \pi }$ e ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}},n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ como ${\displaystyle \pi +e^{\pi }}$ e ${\displaystyle \pi e^{\pi }}$ (deducido da súa independencia alxébrica).^[1]
• ${\displaystyle a^{b}}$ onde ${\displaystyle a}$ é alxébrica pero non 0 nin 1, e ${\displaystyle b}$ é alxébrica irracional, en particular a constante de Gelfond–Schneider ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ (polo Teorema de Gelfond-Schneider).
• O logaritmo natural ${\displaystyle \ln(a)}$ se ${\displaystyle a}$ é alxébrica e non é igual a 0 ou 1, para calquera rama da función logarítmica (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
• ${\displaystyle \log _{b}(a)}$ se ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ son enteiros positivos non as dúas potencias do mesmo número enteiro, e ${\displaystyle a}$ non é igual a 1 (polo teorema de Gelfond-Schneider).
• Todos os números da forma ${\displaystyle \pi +\beta _{1}\ln(a_{1})+\cdots +\beta _{n}\ln(a_{n})}$ son transcendentais, onde ${\displaystyle \beta _{j}}$ son alxébricos para todos os ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ e ${\displaystyle a_{j}}$ son alxébricos distintos de cero para todos os ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ (polo teorema de Baker).

• As funcións trigonométricas ${\displaystyle \sin(x),\cos(x),...}$ e os seus homólogos hiperbólicos, para calquera número alxébrico distinto de cero ${\displaystyle x}$, expresado en radiáns (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
• Resultados distintos de cero das funcións trigonométricas inversas ${\displaystyle \arcsin(x),\arccos(x),...}$ e as súas contrapartes hiperbólicas, para calquera número alxébrico ${\displaystyle x}$ (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
• ${\displaystyle \pi ^{-1}{\arctan(x)}}$, para ${\displaystyle x}$ racional tal que ${\displaystyle x\notin \{0,\pm {1}\}}$.^[2]
• O punto fixo da función coseno (tamén coñecido como número de Dottie ${\displaystyle d}$), solución real única da ecuación ${\displaystyle \cos(x)=x}$, onde ${\displaystyle x}$ está en radiáns (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).^[3]
• ${\displaystyle W(a)}$ se ${\displaystyle a}$ é alxébrica e distinta de cero, para calquera rama da función W de Lambert (polo teorema de Lindemann-Weierstrass), en particular a constante omega Ω.
• ${\displaystyle W(r,a)}$ se tanto ${\displaystyle a}$ como a orde ${\displaystyle r}$ son alxébricas tal que ${\displaystyle a\neq 0}$, para calquera rama da función W xeneralizada de Lambert^[4]
• ${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$, a super-raíz cadrada de calquera número natural é un número enteiro ou transcendental (polo Gelfond-Teorema de Schneider).
• Valores da función gamma dos números racionais que teñen a forma ${\displaystyle \Gamma (n/2),\Gamma (n/3),\Gamma (n/4)}$ ou ${\displaystyle \Gamma (n/6)}$..^[5]
• Combinacións alxébricas de ${\displaystyle \pi }$ e ${\displaystyle \Gamma (1/3)}$ ou de ${\displaystyle \ pi}$ e ${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ como a constante lemniscata ${\displaystyle \varpi }$ (deducido a partir das súas respectivas independencias alxébricas).^[1]
• Os valores da función beta ${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}$ se ${\displaystyle a,b}$ e ${\displaystyle a+b}$ son números racionais non enteiros.^[6]
• A función de Bessel do primeiro tipo ${\displaystyle J_{\nu }(x)}$, a súa primeira derivada e o cociente ${\displaystyle {\tfrac {J'_{\nu }(x)}{J_{\nu }(x)}}}$ son transcendentais cando ${\displaystyle \nu }$ é racional e ${\displaystyle x}$ é alxébrica e distinta de cero,^[7] e todas as raíces distintas de cero de ${\displaystyle J_{\nu }(x)}$ e ${\displaystyle J'_{\nu }(x)}$ son transcendentais cando ${\displaystyle \nu }$ é racional.^[8]
• O número ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}{\tfrac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$, onde ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ e ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ son funcións de Bessel e ${\displaystyle \gamma }$ é o Constante de Euler-Mascheroni.^[9][10]
• Calquera número de Liouville, en particular: a constante de Liouville.
• Números cunha medida de irracionalidade grande, como a constante de Champernowne ${\displaystyle C_{10}}$ (polo teorema de Roth).
• Números construídos artificialmente para non ser períodicos alxébricos.^[11]
• Calquera número non computábel, en particular: a constante de Chaitin.
• Números irracionais construídos que non son simplemente normal en ningunha base.^[12]
• Calquera número para o cal os díxitos con respecto a algunha base fixa formen unha palabra de Sturmian.^[13]
• A Constante de Prouhet-Thue-Morse^[14].^[15]
• A constante de Komornik-Loreti.^[16]
• Os valores da serie infinita cunha taxa de converxencia rápida, segundo a definición de Y. Gao e J. Gao, como ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}}{2^{3^{n}}}}}$.^[17]
• Os valores da Fracción continua de Rogers-Ramanujan ${\displaystyle R(q)}$ onde ${\displaystyle {q}\in \mathbb {C} }$ é alxébrica e ${\displaystyle 0<|q|<1}$^[18]. Os valores da lemniscáta da función theta ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$ (nas mesmas condicións para ${\displaystyle {q}}$) tamén son transcendentais^[19]