Función inversa

En matemáticas, a función inversa dunha función f (ou simplemente inversa de f ) é unha función que desfai a operación de f . A inversa de f existe se e só se f é bixectiva, e se existe, denotase por ${\displaystyle f^{-1}.}$

Unha función f e a súa inversa f⁻¹. Como f relaciona a con 3, a inversa f⁻¹ relaciona 3 con a .

Para unha función ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, a súa inversa ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$ admite unha descrición explícita: envía cada elemento ${\displaystyle y\in Y}$ ao elemento único ${\displaystyle x\in X}$ tal que f(x) = y.

Como exemplo, considere a función con valores reais dunha variable real dada por f(x) = 5x − 7. Para desfacer isto, temos a inversa de f , que sería a función ${\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ definida por ${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}.}$

Definicións

Se f mapea X en Y, entón f⁻¹ mapea Y de novo en X.

Sexa f unha función cuxo dominio é o conxunto X e cuxo codominio é o conxunto Y Entón f é invertible se existe unha función g de Y a X tal que ${\displaystyle g(f(x))=x}$ para todos os ${\displaystyle x\in X}$ e ${\displaystyle f(g(y))=y}$ para todos os ${\displaystyle y\in Y}$.^[1]

Se f é invertible, entón hai exactamente unha función g que satisfai esta propiedade.

A función f é invertible se e só se é bixectiva. Isto é porque a condición ${\displaystyle g(f(x))=x}$ para todos os ${\displaystyle x\in X}$ implica que f é Inxectiva e a condición ${\displaystyle f(g(y))=y}$ para todos os ${\displaystyle y\in Y}$ implica que f é sobrexectiva.

Inversas e composición

Lembre que se f é unha función invertible con dominio X e codominio Y, entón

${\displaystyle f^{-1}\left(f(x)\right)=x}$, para cada ${\displaystyle x\in X}$ e ${\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)=y}$ para cada ${\displaystyle y\in Y}$.

Usando a composición de funcións, esta afirmación pódese reescribir coas seguintes ecuacións entre funcións:

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ e ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},}$

onde id_X é a función de identidade no conxunto X; é dicir, a función que deixa o seu argumento sen mudar. Na teoría de categorías, esta afirmación úsase como definición dun morfismo inverso.

Notación

Hai que ter coidado coa confusión na notación entre a función inversa e o inverso multiplicativo. Moitas veces o recíproco ou inverso multiplicativo usa a mesma nomenclatura e temos que prestar atención á notación.

Un exemplo típico é sin⁻¹(x) que denota a función inversa do seno que sería o arco cuxo seno é x que denotamos tamén como arcsin(x). Isto sería diferente ao recíproco do seno ${\displaystyle (\sin {x})^{-1}={\dfrac {1}{\sin(x)}}.}$

Para outras funcións debemos ter o mesmo coidado, como no exemplo da introdución temos

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=5x+7,{\text{ por exemplo }}f(3)=5\cdot 3+7=22.\\f^{-1}(x)={\dfrac {x-7}{5}},{\text{ aquí }}f(22)=(22-7)/5=3.\\(f(x))^{-1}={\dfrac {1}{5x+7}},{\text{ o recíproco ou multiplicativo inverso }}(f(3))^{-1}={\dfrac {1}{22}}\end{aligned}}}$.

Exemplos

Funcións do cadrado e da raíz cadrada

A función f: R → [0,∞) dada por f(x) = x² non é inxectiva porque ${\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}}$ para tódolos ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. Polo tanto, f non é invertible se consideramos o dominio completo.

Se o dominio da función restrinxímolo aos reais non negativos, é dicir, tomamos a función ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}}$ coa mesma regra que antes, entón a función é bixectiva e, polo tanto, invertible. ^[2] A función inversa aquí denomínase función raíz cadrada (positiva) e denotase por ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$ .

Funcións inversas estándar

A seguinte táboa mostra varias funcións estándar e as súas inversas:

Funcións aritméticas inversas

Función f(x)	Inversa f −1(y)	Notas
x + a	y − a
a − x	a − y
mx	y/m	m ≠ 0
1/x (isto é, x−1)	1/y (isto é, y−1)	x, y ≠ 0
xp	${\displaystyle {\sqrt[{p}]{y}}}$ (isto é, y1/p)	x, y ≥ 0 se p é par; enteiro p > 0
ax	loga y	y > 0 e a > 0
x e x	W  (y)	x ≥ −1 e y ≥ −1/e
funcións trigonométricas	funcións trigonométricas inversas	varias restricións (ver táboa embaixo de inversas parciais)
función hiperbólica	funcións hiperbólicas inversas	varias restricións

Propiedades

Unicidade

Se existe unha función inversa para unha función f dada, entón é única.^[3]

Simetría

Hai unha simetría entre unha función e a súa inversa. En concreto, se f é unha función invertible con dominio X e codominio Y, entón a súa inversa f⁻¹ ten dominio Y e imaxe X, e a inversa de f⁻¹ é a función orixinal f .

Esta afirmación é consecuencia da implicación de que para que f sexa invertible debe ser bixectiva.

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

O inverso de g ∘ f é f⁻¹ ∘ g⁻¹ .

A inversa dunha composición de funcións vén dada por ^[4]

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

Observe que a orde de g e f foron invertidas; para desfacer f seguido de g, primeiro debemos desfacer g, e despois desfacer f .

Por exemplo, sexa f(x) = 3x e sexa g(x) = x + 5. Entón a composición g ∘ f é a función que primeiro multiplica por tres e despois suma cinco,

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}$

Para inverter este proceso, primeiro debemos restar cinco e despois dividir entre tres,

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

Esta é a composición (f⁻¹ ∘ g⁻¹)(x).

Autoinversas

Se X é un conxunto, entón a función de identidade en X é a súa propia inversa:

${\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

Máis xeralmente, unha función f : X → X é igual á súa propia inversa, se e só se a composición f ∘ f é igual a id_X . Tal función chámase involución.

Gráfica da inversa

As gráficas de y = f(x) e y = f⁻¹(x). A liña de puntos é y = x.

Se f é invertible, entón a gráfica da función

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

é a mesma que a gráfica da ecuación

${\displaystyle x=f(y).}$

Inversas e derivadas

O teorema da función inversa afirma que unha función continua f é invertible no seu rango (imaxe) se e só se é estritamente crecente ou decrecente (sen máximos ou mínimos locais). Por exemplo, a función

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

é invertible, xa que a derivada f′(x) = 3x² + 1 é sempre positiva.

Se a función f é derivable nun intervalo I e f′(x) ≠ 0 para cada x ∈ I, entón a inversa f⁻¹ é derivable en f(I) .^[5] Se y = f(x), a derivada da inversa vén dada polo teorema da función inversa,

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

Usando a notación de Leibniz a fórmula anterior pódese escribir como

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

Este resultado despréndese da regra da cadea da diferenciación.

O teorema da función inversa pódese xeneralizar a funcións de varias variables. En concreto, unha función multivariable diferenciable f : Rⁿ → Rⁿ é invertible nunha veciñanza dun punto p sempre que a matriz xacobiana de f en p sexa invertible. Neste caso, o xacobiano de f⁻¹ en f(p) é a matriz inversa do xacobiano de f en p.

Xeneralizacións

Inversas parciais

A raíz cadrada de x é unha inversa parcial de f(x) = ' 'x².

Aínda que unha función f non sexa un a un (inxectiva), pode ser posíbel definir unha inversa parcial de f mediante unha restricción do dominio. Por exemplo, a función

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

non é un a un, xa que x² = (−x)². No entanto, a función pasa a ser un a un se restrinximos ao dominio x ≥ 0, nese caso

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

(Se en troques restrinximos ao dominio x ≤ 0, entón o inverso é o negativo da raíz cadrada de y). Alternativamente, non hai que restrinxir o dominio se nos conformamos con que a inversa sexa unha función multivalor:

${\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.}$

A inversa desta función cúbica ten tres ramas.

Ás veces, este inverso multivalor chámase inverso completo de f, e as porcións (como √x e −√ x) chámanse ramas. A rama máis importante dunha función multivalor (por exemplo, a raíz cadrada positiva) chámase rama principal, e o seu valor en y chámase valor principal de f⁻¹(y).

Para unha función continua na liña real, é necesaria unha rama entre cada par de extremos locais. Por exemplo, a inversa dunha función cúbica cun máximo local e un mínimo local ten tres ramas (ver a imaxe adxacente).

O arcoseno é un inverso parcial da función seno.

Estas consideracións son particularmente importantes para definir as inversas das funcións trigonométricas. Por exemplo, a función seno non é un a un, xa que

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)}$

para cada x real (e máis xeralmente sin(x + 2πn) = sin(x) para cada número enteiro n). Non obstante, o seno é un a un no intervalo [π/2, π/2], e a inversa parcial correspondente chámase arcoseno. Esta é considerada a rama principal do seno inverso, polo que o valor principal do seno inverso está sempre entre −π/2 e π/2. A seguinte táboa describe a rama principal de cada función trigonométrica inversa:^[6]

función	Intervalo do valor principal habitual
arcsin	−π/2 ≤ sen−1(x) ≤ π/2
arccos	0 ≤ cos−1(x) ≤ π
arctan	−π/2 < tan−1(x) < π/2
arcot	0 < cot−1(x) < π
arcsec	0 ≤ sec−1(x) ≤ π
arccsc	−π/2 ≤ csc−1(x) ≤ π/2

Inversos pola esquerda e pola dereita

A composición de funcións pola esquerda e pola dereita poden non coincidir. En xeral, as condicións

1. "Existe g tal que g(f(x))=x" e
2. "Existe g tal que f(g(x))=x"

implica propiedades diferentes de f. Por exemplo, denotamos f: R → [0, ∞) o mapa de cadrados, de tal xeito que ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ para todos os x en R, e denotamos g: [0, ∞) → R como o mapa da raíz cadrada, tal que ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$ para todos os x ≥ 0. Entón f(g(x)) = x para todos os x en [ 0, ∞); é dicir, g é unha inversa pola dereita de f. No entanto, g non é unha inversa pola esquerda de f, xa que, por exemplo, g(f(−1)) = 1 ≠ −1.

Inversos pola esquerda

Se f: X → Y, temos que unha inversa pola esquerda para f (ou retracción de f ) é unha función g: Y → X de tal xeito que compoñer f con g desde a esquerda dá a función identidade^[7] :${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}.}$ Isto é, a función g cumpre a regra

Se f(x)=y, entón g(y)=x.

A función g debe ser igual á inversa de f na imaxe de f, mais pode tomar calquera valor para elementos de Y que non sexan a imaxe.

Unha función f con dominio non baleiro é inxectiva se e só se ten unha inversa pola esquerda.^[8]

En matemáticas clásicas, toda función inxectiva f cun dominio non baleiro ten necesariamente unha inversa pola esquerda; porén, isto pode fallar nas matemáticas construtivas.

Inversas pola dereita

Exemplo de inversa pola dereita con función sobrexectiva non inxectiva

Unha inversa pola dereita para f (ou sección de f ) é unha función h: Y → X tal que

${\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.}$

É dicir, a función h cumpre a regra

Se ${\displaystyle \displaystyle h(y)=x}$, entón ${\displaystyle \displaystyle f(x)=y.}$

Así, h(y) pode ser calquera dos elementos de X que se asigna a y baixo f.

Unha función f ten unha inversa pola dereita se e só se é sobrexectiva (aínda que construír tal inversa en xeral require o axioma da escolla).

Se h é a inversa pola dereita de f, entón f é sobrexectiva. Para todo ${\displaystyle y\in Y}$, hai ${\displaystyle x=h(y)}$ tal que ${\displaystyle f(x)=f(h(y))=y}$.

Se f é sobrexectiva, f ten unha inversa pola dereita h, que se pode construír do seguinte xeito: para todo ${\displaystyle y\in Y}$, hai polo menos un ${\displaystyle x\in X}$ tal que ${\displaystyle f(x)=y}$ (porque f é sobrexectiva), polo que escollemos un deles para ser o valor de h(y).

Inversas bilaterais

Unha inversa que sexa á vez pola esquerda e pola dereita (unha inversa bilateral), se existe, debe ser única. De feito, se unha función ten unha inversa pola esquerda e outra pola dereita, ambas son a mesma inversa a dúas caras, polo que se pod chamar simplemente inversa.

Se ${\displaystyle g}$ é unha inversa pola esquerda e ${\displaystyle h}$ unha inversa pola dereita de ${\displaystyle f}$, para todo ${\displaystyle y\in Y}$, ${\displaystyle g(y)=g(f(h(y))=h(y)}$.

Unha función ten unha inversabilateral se e só se é bixectiva.

Preimaxes

Se f: X → Y é calquera función (non necesariamente invertíbel), a preimaxe (ou a imaxe inversa) dun elemento y ∈ Y defínese como o conxunto de todos os elementos de X que se asignan a y:

${\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.}$

A preimaxe de y pódese pensar como a imaxe de y baixo o inverso completo (multivalor) da función f.

Do mesmo xeito, se S é calquera subconxunto de Y, a preimaxe de S, denotada como ${\displaystyle f^{-1}(S)}$, é o conxunto de todos os elementos de X que se asignan a S:

${\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}$

Por exemplo, tome a función f: R → R; x ↦ x². Esta función non é invertíbel xa que non é bixectiva, mais pódense definir preimaxes para subconxuntos do codominio, por exemplo.

${\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}}$.

A preimaxe dun só elemento y ∈ Y (un conxunto unitario {y} ), ás veces chámase fibra de y. Cando Y é o conxunto de números reais, é común referirse a f⁻¹({y}) como un conxunto de nivel.

Notas

1. "Inverse function". mathworld.wolfram.com (en inglés).
2. Lay 2006
3. Wolf 1998
4. Lay 2006
5. Lay 2006
6. Briggs & Cochran 2011, pp. 39–42
7. Dummit; Pé de páxina. Álxebra abstracta.
8. Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician.

Véxase tamén

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Función inversa

Bibliografía

• Briggs, William; Cochran, Lyle (2011). Calculus / Early Transcendentals Single Variable. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-66414-3.
• Devlin, Keith J. (2004). Sets, Functions, and Logic / An Introduction to Abstract Mathematics (3 ed.). Chapman & Hall / CRC Mathematics. ISBN 978-1-58488-449-1.
• Fletcher, Peter; Patty, C. Wayne (1988). Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3.
• Lay, Steven R. (2006). Analysis / With an Introduction to Proof (4 ed.). Pearson / Prentice Hall. ISBN 978-0-13-148101-5.
• Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2006). A Transition to Advanced Mathematics (6 ed.). Thompson Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-39900-9.
• Thomas Jr., George Brinton (1972). Calculus and Analytic Geometry Part 1: Functions of One Variable and Analytic Geometry (Alternate ed.). Addison-Wesley.
• Wolf, Robert S. (1998). Proof, Logic, and Conjecture / The Mathematician's Toolbox. W. H. Freeman and Co. ISBN 978-0-7167-3050-7.

Outros artigos

• Extremos dunha función.
• Derivada.

Ligazóns externas

• "Inverse function". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].