Conxunto unitario

En matemáticas, un conxunto unitario ^[1] ou singleton, é un conxunto con exactamente un elemento. Por exemplo, o conxunto ${\displaystyle \{2\}}$ é un conxunto unitario cuxo único elemento é ${\displaystyle 2}$.

Propiedades

No marco da teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel, o axioma de regularidade garante que ningún conxunto é un elemento de si mesmo. Isto implica que un conxunto unitario é necesariamente distinto do elemento que contén,^[1]polo tanto 1 e ${\displaystyle \{1\}}$ non son o mesmo, e o conxunto baleiro é distinto do conxunto que contén só o conxunto baleiro. Un conxunto como ${\displaystyle \{\{1,2,3\}\}}$ é un conxunto unitario xa que contén un único elemento (que en si é un conxunto non unitario).

Un conxunto é unitario se e só se a súa cardinalidade é 1.

Na teoría axiomática de conxuntos, a existencia de conxuntos unirarios é unha consecuencia do axioma de emparellamento: para calquera conxunto A, o axioma aplicado a A e A afirma a existencia de ${\displaystyle \{A,A\},}$ que é o mesmo que o conxunto unitario ${\displaystyle \{A\}}$ (xa que contén A, e ningún outro conxunto, como elemento).

Cada sconxunto unitario é un obxecto terminal na categoría de conxuntos.

Un conxunto unitario ten a propiedade de que cada función desde el a calquera conxunto arbitrario é inxectiva. O único conxunto non singleton con esta propiedade é o conxunto baleiro.

Cada conxunto unitario é un ultra prefiltro.

A secuencia de números de Bell conta o número de particións dun conxunto (secuencia A000110 na OEIS), se se excúen os conxuntos unitarios, os números evidentemente son menores (secuencia A000296 na OEIS).

Na teoría de categorías

As estruturas construídas con conxuntos unitarios adoitan servir como obxectos terminais ou obxectos cero de varias categorías:

• A afirmación anterior mostra que os conxuntos unitarios son precisamente os obxectos terminais da categoría Conxunto de conxuntos. Ningún outro conxunto é terminal.
• Calquera conxunto unitario admite unha estrutura espacial topolóxica única (ambos subconxuntos están abertos). Estes espazos topolóxicos únicos son obxectos terminais na categoría de espazos topolóxicos e funcións continuas. Non hai outros espazos terminais nesa categoría.
• Calquera conxunto unitario admite unha estrutura de grupo única (o elemento único que serve como elemento de identidade). Estes grupos unitarios son obxectos cero na categoría de grupos e homomorfismos de grupos. Ningún outro grupo é terminal nesa categoría.

Definición por funcións indicadoras

Sexa S unha clase definida por unha función indicadora $${\displaystyle b:X\to \{0,1\}.}$$Daquela S é un conxunto unitario se e só se hai algún ${\displaystyle y\in X}$ tal que para tódolos ${\displaystyle x\in X,}$$${\displaystyle b(x)=(x=y).}$$

Notas

1. Stoll, Robert (1961). Sets, Logic and Axiomatic Theories. W. H. Freeman and Company. pp. 5–6.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• ^[1]

1. Dolecki & Mynard 2016.