Ecuación cúbica

En matemáticas, unha función cúbica é unha función da forma

Diagrama dunha función cúbica con 3 raíces reais (onde a curva cruza o eixe horizontal - onde y = 0). Ten 2 puntos críticos. Aquí a función é ƒ(x) = (x³ 3 x² − 6 x − 8) / 4.

${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,\,}$

onde a é un coeficiente non nulo; noutras palabras, unha función definida por un polinomio de grao tres. A derivada dunha función cúbica é unha función cadrática. A integral dunha función cúbica é unha función de cuarto grao.

Para atopar as raíces de ƒ(x) = 0, a función cúbica toma a forma

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0.\,}$

Xeralmente, os coeficientes a, b, c, d son números reais. Non obstante, a maior parte da teoría tamén é válida se pertencen a calquera campo ou corpo con característica diferente de 2 ou 3. Resolver unha ecuación cúbica significa atopar as raíces (ceros) dunha función cúbica.

Hai varios métodos para resolver unha ecuación cúbica:

• Polo teorema de Abel-Ruffini, as raíces dunha ecuación cúbica, como as dunha ecuación cuadrática ou de cuarto grao (pero non para ecuacións de grao máis alto), pódense atopar sempre alxebricamente, é dicir, mediante unha fórmula que inclúe funcións simples como a raíz cadrada e a raíz cúbica.^[1]
• As raíces tamén se poden atopar mediante trigonometría.^[2]
• Alternativamente, pódese atopar unha aproximación numérica das raíces no campo dos números reais ou complexos mediante algúns algoritmos de busca de raíces, como o método de Newton.^[3][4]

Resolver ecuacións cúbicas é unha parte necesaria para resolver a ecuación xeral de cuarto grao, xa que resolver esta última require resolver a súa ecuación cúbica auxiliar como paso intermedio.^[5]

Notas

1. Stewart, Ian (2004). Galois theory (en inglés). Boca Raton, Fla. : Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-393-7.
2. Euler, Leonhard (1988). Introduction to analysis of the infinite (en inglés). Nova York : Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96824-7.
3. Derivando (2018-12-20). "Cómo se resuelve x elevado a x es 100? El método de Newton" (en castelán). Consultado o 2024-06-29.
4. "Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing". www.cambridge.org (en inglés).
5. A History of Abstract Algebra (en inglés). doi:10.1007/978-0-8176-4685-1.