Fórmula de De Moivre

En matemáticas, a fórmula de De Moivre (tamén coñecida como teorema de De Moivre e identidade de De Moivre) afirma que para calquera número real x e n enteiro cúmprese que:

${\displaystyle {\big (}\cos x+i\sin x{\big )}^{n}=\cos nx+i\sin nx,}$

onde i é a unidade imaxinaria ( i² = −1 ). A fórmula recibe o nome de Abraham de Moivre. A expresión cos x + i sin x ás veces abréviase como cis x.

A fórmula é importante porque conecta números complexos e trigonometría. Ao expandir o lado esquerdo e despois comparar as partes real e imaxinaria baixo o suposto de que x é real, é posíbel derivar expresións útiles para cos nx e sin nx en termos de cos x e sin x.

Tal e como está escrito, a fórmula non é válida para potencias non enteiras n. Porén, hai xeneralizacións desta fórmula válidas para outros expoñentes. Estas poden ser usadas para dar expresións explícitas para as raíces n-ésimas da unidade, é dicir, números complexos z tal que zⁿ = 1.

Exemplo

Para ${\displaystyle x=30^{\circ }}$ e ${\displaystyle n=2}$, a fórmula de Moivre afirma que

${\displaystyle \left(\cos(30^{\circ })+i\sin(30^{\circ })\right)^{2}=\cos(2\cdot 30^{\circ })+i\sin(2\cdot 30^{\circ }),}$

ou equivalentemente que

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}.}$

Neste exemplo, é fácil comprobar a validez da ecuación multiplicando o lado esquerdo.

Relación coa fórmula de Euler

A fórmula de De Moivre é un precursor da fórmula de Euler

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

con x expresado en radiáns en lugar de graos, o que estabelece a relación fundamental entre as funcións trigonométricas e a función exponencial complexa.

Pódese derivar a fórmula de De Moivre usando a fórmula de Euler e a lei exponencial de potencias enteiras.

${\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx},}$

xa que a fórmula de Euler implica que o lado esquerdo é igual a ${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}}$ mentres que o lado dereito é igual a ${\displaystyle \cos nx+i\sin nx.}$

Fórmulas para coseno e seno individualmente

Para unha igualdade de números complexos, temos necesariamente a igualdade tanto das partes reais como das partes imaxinarias de ambos os membros da ecuación. Se x, e por tanto tamén cos x e sin x, son números reais, entón a identidade destas partes pódese escribir usando coeficientes binomiais. Esta fórmula foi dada polo matemático francés do século XVI François Viète:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}\\\cos nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\cos {\frac {(n-k)\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

Aquí están as instancias concretas destas ecuacións para n = 2 e n = 3 :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cos 2x&=\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)&&\\\cos 3x&=\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^{3}&{}={}&3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}.\end{alignedat}}}$

O lado dereito da fórmula para cos nx é de feito o valor T_n(cos x) do polinomio de Chebyshev T_n en cos x.

Análogos noutros escenarios

Trigonometría hiperbólica

Dado que cosh x + sinh x = e^x, un análogo á fórmula de Moivre tamén se aplica á trigonometría hiperbólica. Para todos os números enteiros n ,

${\displaystyle (\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx.}$

Se n é un número racional (mais non necesariamente un enteiro), entón cosh nx + sinh nx será un dos valores de (cosh x + sinh x)ⁿ.^[1]

Extensión a números complexos

Para calquera número enteiro n, a fórmula cúmprese para calquera número complexo ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle (\cos z+i\sin z)^{n}=\cos {nz}+i\sin {nz}.}$

onde

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos z=\cos(x+iy)&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\,,\\\sin z=\sin(x+iy)&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\,.\end{aligned}}}$