operación matemática From Wikipedia, the free encyclopedia
A potenciación[1] é unha operación matemática escrita como an, na que interveñen dous números: a base a e o expoñente n. Cando n é un número natural maior que 1, a potencia an indica a multiplicación da base a por ela mesma tantas veces como indica o expoñente n, isto é,
da mesma forma que a multiplicación de n por a pode ser vista como unha suma de n sumandos iguais a a, ou sexa,
O expoñente é indicado á dereita da base, sobrescrito ou separado da base por un circunflexo. Pódese ler an como a elevado á n-ésima potencia, ou simplemente a elevado a n. Algúns expoñentes posúen nomes específicos: a2 acostuma ser lido como a elevado ao cadrado e a3 como a elevado ao cubo.
A potencia an tamén pode ser definida cando n é un enteiro negativo, se a é diferente de cero. Non existe unha extensión natural para todos os valores reais de a e n, a pesar de que cando a base é un número real positivo é posible definir an para todo número real n, e mesmo para números complexos a través da función exponencial ez. As funcións trigonométricas poden ser representadas en termos da potenciación complexa.
A potenciación tamén é usada noutras áreas, incluíndo economía, bioloxía, física e informática, con aplicacións como xuros compostos, crecemento da poboación, cinética química, comportamento de ondas e criptografía.
As potencias son explicadas nunha serie de pasos matemática básica. Todos eses pasos baséanse na xeneralización das seguintes leis, que poden ser probadas facilmente para n e m enteiros positivos:
Para que
continúe valendo para n = 0, debemos ter:
Para que
sexa válido para n + m = 0, é necesario que elevar un número (distinto de cero) á potencia -1 produza o seu inverso.
Entón ese cálculo resulta:
Elevar 0 a unha potencia negativa implicaría unha división por 0, quedando indefinida.
Un expoñente enteiro negativo tamén pode ser visto como unha división pola base. Logo:
Pódese probar que con esta definición continúa verificándose para
Na potenciación, é posible chegar ás formas de indeterminación seguintes:
As potencias de 0 son as potencias de base 0, dadas por n>0. A matemática considera indeterminado o valor da potencia: mais as outras potencias de base 0 con expoñente positivo teñen como resultado cero.
As potencias de 1 son as potencias de base 1, dadas por sendo n pertencente aos reais. Sen importar o valor de "n", será sempre 1.
Para que a expresión
sexa válida para números racionais, debemos ter:
Ou, de forma xenérica, para calquera expoñente fraccionario, o denominador do expoñente é o índice da raíz e o numerados é o expoñente do radicando:
Para que iso sexa válido independentemente da fracción usada no expoñente débese impor que x sexa un número positivo.
No caso de expoñente decimal, debemos transformalo en fracción e despois en raíz:
Como a potenciación ten a propiedade de que expoñentes próximos xeran resultados próximos, pódese definir a potenciación con expoñentes irracionais como:
Euler divulgou a fórmula
que, coa forma equivalente xa era coñecida por Roger Cotes.
Así, usándose logaritmos, pódese definir para calquera a real e z complexo, z = x + i y:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.