Raíz da unidade

En matemáticas, unha raíz da unidade, ocasionalmente chamada número de Moivre, é calquera número complexo que dá 1 cando se eleva a unha potencia enteira positiva n. As raíces da unidade utilízanse en moitas ramas das matemáticas, e son especialmente importantes na teoría dos números, na teoría dos caracteres de grupos e na transformada discreta de Fourier.

As raíces 5 da unidade (puntos azuis) no plano complexo

Definición xeral

Unha raíz n-ésima da unidade, onde n é un número enteiro positivo, é un número z que satisfai a ecuación^[1][2] $${\displaystyle z^{n}=1.}$$ A menos que se especifique o contrario, as raíces da unidade pódense considerar números complexos (incluíndo o número 1 e o número −1 se n é par, que son complexos cunha parte imaxinaria cero), e neste caso, as raíces n-ésimas da unidade son^[3]$${\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.}$$

No entanto, a ecuación definitoria das raíces da unidade é significativa sobre calquera corpo (e mesmo sobre calquera anel) F, e isto permite considerar as raíces da unidade en F. Sexa cal sexa o corpo F, as raíces da unidade en F son números complexos, se a característica de F é 0, ou, en caso contrario, pertencen a un corpo finito. Pola contra, cada elemento distinto de cero nun corpo finito é unha raíz da unidade nese corpo. Consulte raíz da unidade módulo n e Corpo finito para obter máis detalles.

Dise que é unha raíz n-ésima da unidade é primitiva se non é unha raíz m-éisma da unidade para algún m máis pequeno, é dicir se^[4][5]

${\displaystyle z^{n}=1\quad {\text{e}}\quad z^{m}\neq 1{\text{ for }}m=1,2,3,\ldots ,n-1.}$

Se n é un número primo, entón todas as raíces n-ésimas da unidade, agás o 1, son primitivas. ^[6]

Na fórmula anterior en termos de funcións exponenciais e trigonométricas, as raíces n-ésimas primitivas da unidade son aquelas para as que k e n son números enteiros primos.

Propiedades elementais

Cada n-ésima raíz da unidade z é unha raíz primitiva a-ésima da unidade para algún a ≤ n, que é o menor enteiro positivo tal que z^a = 1.

Calquera potencia enteira dunha raíz n-ésima da unidade é tamén unha raíz n-ésima da unidade,^[7] pois

${\displaystyle (z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.}$

Isto tamén é certo para os expoñentes negativos. En particular, o recíproco dunha raíz n-ésima da unidade é o seu complexo conxugado, e tamén é unha raíz n-ésima da unidade:^[8]

${\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}$

Se z é unha raíz n-ésima da unidade e a ≡ b (mod n) entón z^a = z^b. De feito, pola definición de congruencia módulo n, a = b + kn para algún número enteiro k, e polo tanto

${\displaystyle z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.}$

Polo tanto, dada unha potencia z^a de z, temos z^a = z^r, onde 0 ≤ r < n é o resto da división euclidiana de a por n.

Propiedades do grupo

Grupo de todas as raíces da unidade

O produto e a inversa multiplicativa de dúas raíces da unidade tamén son raíces da unidade. De feito, se x^m = 1 e yⁿ = 1, entón (x⁻¹)^m = 1 e (xy)^k = 1, onde k é o mínimo común múltiplo de m e n.

Polo tanto, as raíces da unidade forman un grupo abeliano baixo a multiplicación. Este grupo é o subgrupo de torsión do grupo circular.

Grupo das raíces n-ésimas da unidade

Para un número enteiro n, o produto e o inverso multiplicativo de dúas raíces n-ésimas da unidade tamén son raíces n-ésimas da unidade. Polo tanto, as raíces n-ésimas da unidade forman un grupo abeliano baixo a multiplicación.

Dada unha raíz primitiva n-ésima da unidade ω, as outras raíces n-ésimas son potencias de ω. Isto significa que o grupo das raíces n-ésimas da unidade é un grupo cíclico. Cabe sinalar que o termo de grupo cíclico orixinouse de que este grupo é un subgrupo do grupo circular.

Grupo de Galois das raíces n-ésimas da unidade primitivas

Sexa ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ a extensión de corpo dos números racionais xerados sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ por unha raíz n ésima primitiva da unidade ω. Como cada raíz n-ésima da unidade é unha potencia de ω, o corpo ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ contén todas as raíces n-ésimas da unidade, e ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ é unha extensión de Galois de ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Se k é un número enteiro, ω^k é unha raíz n-ésima primitiva da unidade se e só se k e n son coprimos. Neste caso, o mapa

${\displaystyle \omega \mapsto \omega ^{k}}$

induce un automorfismo de ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$, que mapea cada raíz n-ésima da unidade coa súa k-ésima potencia. Todo automorfismo de ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ obtense deste xeito, e estes automorfismos forman o grupo de Galois ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ sobre o corpo dos racionais.

As regras de exponenciación implican que a composición de dous destes automorfismos se obtén multiplicando os expoñentes. Dedúces que o mapa

${\displaystyle k\mapsto \left(\omega \mapsto \omega ^{k}\right)}$

define un isomorfismo de grupos entre as unidades do anel de enteiros módulo n e o grupo de Galois de ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ).}$

Isto mostra que este grupo de Galois é abeliano, e implica así que as raíces primitivas da unidade poden expresarse en termos de radicais.

Expresión trigonométrica

As raíces cúbicas da unidade

A fórmula de De Moivre, que é válida para todos os x reais e os enteiros n, é

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

Facendo x = 2π/n dá unha raíz primitiva da unidade, temos

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}$

mais

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1}$

para k = 1, 2, …, n − 1. Noutras palabras,

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

é unha raíz primitiva n-ésima da unidade.

A fórmula de Euler

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

que é válida para todos os x reais, pódese usar para poñer a fórmula das raíces n-ésimas da unidade na forma

${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.}$

Da discusión na sección anterior despréndese que esta é unha raíz primitiva n-enéisma da unidade se e só se a fracción ${\displaystyle {\tfrac {k}{n}}}$ está nos seus termos máis pequenos.

Expresión alxébrica

As raíces n-ésimas da unidade son, por definición, as raíces do polinomio xⁿ − 1 e, polo tanto, son números alxébricos. Como este polinomio non é irredutíbel (agás n = 1), as raíces n-ésimas primitivas da unidade son raíces dun polinomio irredutíbel (sobre os enteiros) de grao inferior, chamado polinomio ciclotómico n-ésimo, e que moitas veces se denota Φ_n. O grao de Φ_n vén dado pola función totiente de Euler, que conta (entre outras cousas) o número de raíces n-ésimas primitivas da unidade.^[9] As raíces de Φ_n son exactamente as raíces primitivas n-ésimas raíces da unidade.

Polinomios ciclotómicos

Os ceros do polinomio

${\displaystyle p(z)=z^{n}-1}$

son precisamente as raíces n-ésimas da unidade, cada unha cunha multiplicidade 1. O polinomio ciclotómico n-ésimo defínese polo feito de que os seus ceros son precisamente as raíces primitivas n-ésimas da unidade, cada unha cunha multiplicidade 1.

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(z-z_{k})}$

onde z₁, z₂, z₃, …, z_φ(n) son as raíces primitivas n-ésimas primitivas da unidade, e φ(n) é a función totiente de Euler. O polinomio Φ_n(z) ten coeficientes enteiros e é un polinomio irredutíbel sobre os números racionais (é dicir, non se pode escribir como o produto de dous polinomios de grao positivo con coeficientes racionais). ^[9] O caso de n primo, que é máis doado que a afirmación xeral, dedúcese aplicando o criterio de Eisenstein ao polinomio

${\displaystyle {\frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},}$

e expandindo mediante o teorema binomial.

Cada raíz n-ésima da unidade é unha raíz primitiva d-ésima da unidade para exactamente un divisor positivo d de n. Isto implica que ^[9]

${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{d\,|\,n}\Phi _{d}(z).}$

Esta fórmula representa a factorización do polinomio zⁿ − 1 en factores irredutíbeis:

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\end{aligned}}}$

Aplicando a inversión de Möbius á fórmula temos

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

onde μ é a función de Möbius. Polo tanto, os primeiros polinomios ciclotómicos son

Φ₁(z) = z − 1

Φ₂(z) = (z² − 1)⋅(z − 1)⁻¹ = z + 1

Φ₃(z) = (z³ − 1)⋅(z − 1)⁻¹ = z² + z + 1

Φ₄(z) = (z⁴ − 1)⋅(z² − 1)⁻¹ = z² + 1

Φ₅(z) = (z⁵ − 1)⋅(z − 1)⁻¹ = z⁴ + z³ + z² + z + 1

Φ₆(z) = (z⁶ − 1)⋅(z³ − 1)⁻¹⋅(z² − 1)⁻¹⋅(z − 1) = z² − z + 1

Φ₇(z) = (z⁷ − 1)⋅(z − 1)⁻¹ = z⁶ + z⁵ + z⁴ + z³ + z² +z + 1

Φ₈(z) = (z⁸ − 1)⋅(z⁴ − 1)⁻¹ = z⁴ + 1

Grupos cíclicos

As raíces n-ésimas da unidade forman baixo a multiplicación un grupo cíclico de orde n, e de feito estes grupos comprenden todos os subgrupos finitos do grupo multiplicativo do corpo de números complexos. Un xerador para este grupo cíclico é unha raíz n-ésima primitiva da unidade.

As raíces n-ésimas da unidade forman unha representación irredutíbel de calquera grupo cíclico de orde n. A relación de ortogonalidade tamén se deduce a partir dos principios da teoría de grupos tal como se describe en carácter dun grupo.

Corpos ciclotómicos

Ao achegar a unha raíz primitiva n-ésima da unidade a ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ obtense o n-ésimo corpo ciclotómico ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n)).}$ Este corpo contén todas as raíces n-ésimas da unidade e é o corpo de descomposición do n-ésimo polinomio ciclotómico sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ A extensión de corpo ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$ ten grao φ(n) e o seu grupo de Galois é isomorfo naturalmente ao grupo multiplicativo de unidades do anel ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$