Nilpotente

En matemáticas, un elemento ${\displaystyle x}$ dun anel ${\displaystyle R}$ chámase nilpotente se existe algún número enteiro positivo ${\displaystyle n}$, chamado índice (ou ás veces grao), de xeito que ${\displaystyle x^{n}=0}$.

Esta artigo é sobre un tipo de elemento nun anel. Para Para o caso dun grupo, véxase Grupo nilpotente. Para para o caso dun ideal, véxase Ideal nilpotente. Para para o caso dunha álxebra, véxase Álxebra nilpotente. Para para o caso dunha matriz, véxase Matriz nilpotente.

O termo, xunto co seu irmán idempotente, foi introducido por Benjamin Peirce no contexto do seu traballo sobre a clasificación das álxebras.^[1]

Exemplos

• Esta definición pódese aplicar en particular ás matrices cadradas. A matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

é nilpotente porque ${\displaystyle A^{3}=0}$. Consulte matriz nilpotent para obter máis información.

• No anel do factor ${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$, a clase de equivalencia de 3 é nilpotente porque 3² é congruente con 0 módulo 9.
• Supoña que dous elementos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ nun anel ${\displaystyle R}$ satisfán ${\displaystyle ab=0}$. Daquela o elemento ${\displaystyle c=ba}$ é nilpotente pois$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(ba)^{2}\\&=b(ab)a\\&=0.\\\end{aligned}}}$$ Un exemplo con matrices (para a, b): $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$$ Aquí ${\displaystyle AB=0}$ e ${\displaystyle BA=B}$.

Propiedades

Ningún elemento nilpotente pode ser unha unidade (agás no anel trivial, que só ten un único elemento 0 = 1). Todos os elementos nilpotentes son divisores de cero.

Unha matriz ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ con entradas dun corpo é nilpotente se e só se o seu polinomio característico é ${\displaystyle t^{n}}$.

Se ${\displaystyle x}$ é nilpotente, entón ${\displaystyle 1-x}$ é unha unidade, porque ${\displaystyle x^{n}=0}$ implica $${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.}$$

De forma máis xeral, a suma dun elemento unitario e un elemento nilpotente é unha unidade cando conmutan.

Aneis conmutativos

Os elementos nilpotentes dun anel conmutativo ${\displaystyle R}$ forman un ideal ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$; esta é unha consecuencia do teorema binomial. Este ideal é o nilradical do anel. Cada elemento nilpotente ${\displaystyle x}$ nun anel conmutativo está contido en todo ideal primo ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ dese anel, xa que ${\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}}$. Entón ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ está contido na intersección de todos os ideais primos.

Elementos nilpotentes na álxebra de Lie

Sexa ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ unha álxebra de Lie. Daquela un elemento ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ chámase nilpotente se está en ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ e ${\displaystyle \operatorname {ad} x}$ é unha transformación nilpotente. Vexa tamén: Descomposición de Jordan nunha álxebra de Lie.