Semigrupo

En álxebra abstracta, un semigrupo é unha estrutura alxébrica constituída por un conxunto provisto dunha lei de composición interna asociativa. Dise que é conmutativo se a súa lei é tamén conmutativa.

En relación cos axiomas de grupo fáltalle a existencia de elemento identidade e por tanto tamén o axioma de inverso.

Un monoide é unha estrutura alxébrica intermedia entre semigrupos e grupos, é un semigrupo que a maiores ten un elemento identidade, polo que obedece a todos menos un dos axiomas dun grupo: a existencia de inversos non se require nun monoide.

Definición

Un semigrupo é un magma asociativo. Noutras palabras, é unha par ${\displaystyle (S,\star )}$ composto por un conxunto S e unha operación ${\displaystyle \star }$ que verifica a propiedade de asociatividade: ${\displaystyle (a\star b)\star c=a\star (b\star c)}$ para todos a, b e c en S

Exemplos

• O conxunto de números naturais distintos de cero provistos de suma é un semigrupo. Por non teren o cero non teñen elemento identidade e por non teren os negativos non teñen inversos.
• Todo monoide é un semigrupo.
• Se ${\displaystyle (A,+,*)}$ é un rng (ou pseudoanel), entón ${\displaystyle (A,*)}$ é un medio grupo.
• Calquera conxunto ordenado no que calquera par de elementos teña unha límite inferior, provisto da lei que lles asocia este límite inferior, constitúe un semigrupo conmutativo.
• Para calquera semigrupo ${\displaystyle (S,*)}$, o conxunto de partes de S é tamén un semigrupo para a operación definida por ${\displaystyle A\cdot B=\{a*b\mid a\in A,b\in B\}.}$

Conceptos esenciais

Elementos neutro e cero

Un elemento identidade pola esquerda dun semigrupo S (ou máis xeralmente dun magma), é un elemento e tal que para todos os x en S, e ⋅ x = x. Do mesmo xeito, un elemento identidade pola dereita é un elemento f tal que para todas os x en S, x ⋅ f = x. Un semigrupo pode ter un ou máis elementos identidade pola esquerda mais ningún pola dereita, e viceversa.

Cando S ten un elemento neutro, dicimos que é un monoide.

Un semigrupo S pode mergullarse nun monoide que se forma agregando a S un elemento e ∉ S e definindo e ⋅ s = s ⋅ e = s para todos os s ∈ S ∪ {e}.^[1][2] A notación S¹ denota un monoide obtido de S xunto cunha identidade se é necesario (S¹ = S para un monoide).^[2]

Do mesmo xeito, cada magma ten como máximo un elemento absorbente, que na teoría de semigrupos chámase cero. De xeito análogo á construción anterior, para cada semigrupo S pódese definir S⁰, un semigrupo con 0 que incorpora a S.

Morfismo de semigrupos

Sexan ${\displaystyle (S,\cdot )}$ E ${\displaystyle (T,\star )}$ dous semigrupos. Unha aplicación ${\displaystyle f:S\to T}$ é un morfismo de semigrupos se ${\displaystyle f(s\cdot t)=f(s)\star f(t)}$ para tódolos ${\displaystyle s,t\in S}$. Por exemplo, a aplicación ${\displaystyle f:n\mapsto 2^{n}}$ é un morfismo do semigrupo dos enteiros naturais provistos de suma ao semigrupo de potencias enteiras de 2 provistos de multiplicación.

Dous semigrupos S e T dise que son isomorfos se existe un homomorfismo de semigrupo bixectivo f : S → T. Os semigrupos isomorfos teñen a mesma estrutura.

Ideais

A operación do semigrupo induce unha operación na colección dos seus subconxuntos: dados os subconxuntos A e B dun semigrupo S, o seu produto A · B , escrito habitualmente como AB, é o conxunto { ab | a en A e b en B }. (Esta noción defínese de forma idéntica como se define para grupos.) En termos desta operación, un subconxunto de A chámase

• un subsemigrupo se AA é un subconxunto de A,
• un ideal pola dereita se AS é un subconxunto de A, e
• un ideal pola esquerda se SA é un subconxunto de A.

Se A é á vez un ideal pola esquerda e un ideal pola dereita, daquela chámase ideal (ou ideal bilateral).

Se S é un semigrupo, entón a intersección de calquera colección de subsemigrupos de S tamén é un subsemigrupo de S. Polo tanto, os subsemigrupos de S forman unha reticula completa.

Un exemplo de semigrupo sen ideal mínimo é o conxunto de enteiros positivos baixo adición. O ideal mínimo dun semigrupo conmutativo, cando existe, é un grupo.

As relacións de Green, un conxunto de cinco relacións de equivalencia que caracterizan os elementos en función dos ideais principais que xeran, son ferramentas importantes para analizar os ideais dun semigrupo e as nocións relacionadas de estrutura.

O subconxunto coa propiedade que cada elemento conmuta con calquera outro elemento do semigrupo chámase centro do semigrupo.^[3] O centro dun semigrupo é un subsemigrupo.^[4]

Cociente

As seguintes nocións^[5] introduce a idea de que un semigrupo está contido noutro.

Un semigrupo T é un cociente dun semigrupo S se hai un morfismo de semigrupo surxectivo de S a T. Por exemplo, (Z/2Z, +) é un cociente de (Z/4 Z, +), utilizando o morfismo consistente en tomar o resto módulo 2 dun número enteiro.

Un semigrupo T divide un semigrupo S, denotado T ≼ S se T é un cociente dun subsemigrupo S' '. En particular, os subsemigrupos de S dividen a T, aínda que non é necesariamente o caso de que haxa un cociente de S.

Ambas as dúas relacións son transitivas.

Tipos de semigrupos

• Un monoide é un semigrupo cun elemento identidade.
• Un grupo é un monoide no que cada elemento ten un elemento inverso.
• Un subsemigrupo é un subconxunto dun semigrupo que está pechado baixo a operación de semigrupo.
• Un semigrupo cancelativo é aquel que ten a propiedade de cancelación:^[6] a · b = a · c implica b = c e de xeito similar para b · a = c · a. Todo grupo é un semigrupo cancelativo, e todo semigrupo cancelativo finito é un grupo.
• Unha semigrupo idempotente é un semigrupo cuxa operación é idempotente.
• Unha semireticula é un semigrupo cuxa operación é idempotente e conmutativa.
• Os semigrupos 0-simple.
• Os Semigrupos de transformación: calquera semigrupo finito S pode representarse mediante transformacións dun conxunto (estado) Q de como máximo |S | + 1 estados. Cada elemento x de S mapea Q a si mesmo x : Q → Q e a secuencia xy defínese por q(xy) = (qx)y para cada q en Q. A secuenciación é claramente unha operación asociativa, aquí equivalente a unha composición de funcións. Esta representación é básica para calquera autómata ou máquina de estados finitos (FSM).
• O semigrupo bicíclico é de feito un monoide, que se pode describir como o semigrupo libre con dous xeradores p e q, baixo a relación pq = 1.
• Os C₀-semigrupos.
• Semigrupos regulares. Cada elemento x ten polo menos unha y inversa que satisfaga xyx = x e yxy = y; os elementos x e y ás veces chámanse "mutuamente inversos".
• Os semigrupos inversos son ​​semigrupos regulares onde cada elemento ten exactamente un inverso. Alternativamente, un semigrupo regular é inverso se e só calquera dous elementos idempotentes conmutan.
• Semigrupo afín: un semigrupo isomorfo a un subsemigrupo finitamente xerado de Z^d. Estes semigrupos teñen aplicacións á álxebra conmutativa.