En álxebra abstracta, un semigrupo é unha estrutura alxébrica constituída por un conxunto provisto dunha lei de composición interna asociativa. Dise que é conmutativo se a súa lei é tamén conmutativa.
En relación cos axiomas de grupo fáltalle a existencia de elemento identidade e por tanto tamén o axioma de inverso.
Un monoide é unha estrutura alxébrica intermedia entre semigrupos e grupos, é un semigrupo que a maiores ten un elemento identidade, polo que obedece a todos menos un dos axiomas dun grupo: a existencia de inversos non se require nun monoide.
Un semigrupo é un magma asociativo. Noutras palabras, é unha par composto por un conxunto S e unha operación que verifica a propiedade de asociatividade: para todos a, b e c en S
- O conxunto de números naturais distintos de cero provistos de suma é un semigrupo. Por non teren o cero non teñen elemento identidade e por non teren os negativos non teñen inversos.
- Todo monoide é un semigrupo.
- Se é un rng (ou pseudoanel), entón é un medio grupo.
- Calquera conxunto ordenado no que calquera par de elementos teña unha límite inferior, provisto da lei que lles asocia este límite inferior, constitúe un semigrupo conmutativo.
- Para calquera semigrupo , o conxunto de partes de S é tamén un semigrupo para a operación definida por
Elementos neutro e cero
Un elemento identidade pola esquerda dun semigrupo S (ou máis xeralmente dun magma), é un elemento e tal que para todos os x en S, e ⋅ x = x. Do mesmo xeito, un elemento identidade pola dereita é un elemento f tal que para todas os x en S, x ⋅ f = x. Un semigrupo pode ter un ou máis elementos identidade pola esquerda mais ningún pola dereita, e viceversa.
Cando S ten un elemento neutro, dicimos que é un monoide.
Un semigrupo S pode mergullarse nun monoide que se forma agregando a S un elemento e ∉ S e definindo e ⋅ s = s ⋅ e = s para todos os s ∈ S ∪ {e}.[1][2] A notación S1 denota un monoide obtido de S xunto cunha identidade se é necesario (S1 = S para un monoide).[2]
Do mesmo xeito, cada magma ten como máximo un elemento absorbente, que na teoría de semigrupos chámase cero. De xeito análogo á construción anterior, para cada semigrupo S pódese definir S0, un semigrupo con 0 que incorpora a S.
Morfismo de semigrupos
Sexan E dous semigrupos. Unha aplicación é un morfismo de semigrupos se para tódolos . Por exemplo, a aplicación é un morfismo do semigrupo dos enteiros naturais provistos de suma ao semigrupo de potencias enteiras de 2 provistos de multiplicación.
Dous semigrupos S e T dise que son isomorfos se existe un homomorfismo de semigrupo bixectivo f : S → T. Os semigrupos isomorfos teñen a mesma estrutura.
Ideais
A operación do semigrupo induce unha operación na colección dos seus subconxuntos: dados os subconxuntos A e B dun semigrupo S, o seu produto A · B , escrito habitualmente como AB, é o conxunto { ab | a en A e b en B }. (Esta noción defínese de forma idéntica como se define para grupos.) En termos desta operación, un subconxunto de A chámase
- un subsemigrupo se AA é un subconxunto de A,
- un ideal pola dereita se AS é un subconxunto de A, e
- un ideal pola esquerda se SA é un subconxunto de A.
Se A é á vez un ideal pola esquerda e un ideal pola dereita, daquela chámase ideal (ou ideal bilateral).
Se S é un semigrupo, entón a intersección de calquera colección de subsemigrupos de S tamén é un subsemigrupo de S. Polo tanto, os subsemigrupos de S forman unha reticula completa.
Un exemplo de semigrupo sen ideal mínimo é o conxunto de enteiros positivos baixo adición. O ideal mínimo dun semigrupo conmutativo, cando existe, é un grupo.
As relacións de Green, un conxunto de cinco relacións de equivalencia que caracterizan os elementos en función dos ideais principais que xeran, son ferramentas importantes para analizar os ideais dun semigrupo e as nocións relacionadas de estrutura.
O subconxunto coa propiedade que cada elemento conmuta con calquera outro elemento do semigrupo chámase centro do semigrupo.[3] O centro dun semigrupo é un subsemigrupo.[4]
Cociente
As seguintes nocións[5] introduce a idea de que un semigrupo está contido noutro.
Un semigrupo T é un cociente dun semigrupo S se hai un morfismo de semigrupo surxectivo de S a T. Por exemplo, (Z/2Z, +) é un cociente de (Z/4 Z, +), utilizando o morfismo consistente en tomar o resto módulo 2 dun número enteiro.
Un semigrupo T divide un semigrupo S, denotado T ≼ S se T é un cociente dun subsemigrupo S' '. En particular, os subsemigrupos de S dividen a T, aínda que non é necesariamente o caso de que haxa un cociente de S.
Ambas as dúas relacións son transitivas.
- Un monoide é un semigrupo cun elemento identidade.
- Un grupo é un monoide no que cada elemento ten un elemento inverso.
- Un subsemigrupo é un subconxunto dun semigrupo que está pechado baixo a operación de semigrupo.
- Un semigrupo cancelativo é aquel que ten a propiedade de cancelación:[6] a · b = a · c implica b = c e de xeito similar para b · a = c · a. Todo grupo é un semigrupo cancelativo, e todo semigrupo cancelativo finito é un grupo.
- Unha semigrupo idempotente é un semigrupo cuxa operación é idempotente.
- Unha semireticula é un semigrupo cuxa operación é idempotente e conmutativa.
- Os semigrupos 0-simple.
- Os Semigrupos de transformación: calquera semigrupo finito S pode representarse mediante transformacións dun conxunto (estado) Q de como máximo |S | + 1 estados. Cada elemento x de S mapea Q a si mesmo x : Q → Q e a secuencia xy defínese por q(xy) = (qx)y para cada q en Q. A secuenciación é claramente unha operación asociativa, aquí equivalente a unha composición de funcións. Esta representación é básica para calquera autómata ou máquina de estados finitos (FSM).
- O semigrupo bicíclico é de feito un monoide, que se pode describir como o semigrupo libre con dous xeradores p e q, baixo a relación pq = 1.
- Os C0-semigrupos.
- Semigrupos regulares. Cada elemento x ten polo menos unha y inversa que satisfaga xyx = x e yxy = y; os elementos x e y ás veces chámanse "mutuamente inversos".
- Os semigrupos inversos son semigrupos regulares onde cada elemento ten exactamente un inverso. Alternativamente, un semigrupo regular é inverso se e só calquera dous elementos idempotentes conmutan.
- Semigrupo afín: un semigrupo isomorfo a un subsemigrupo finitamente xerado de Zd. Estes semigrupos teñen aplicacións á álxebra conmutativa.
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
