Conxunto de partes

En matemáticas, o conxunto de partes (ou conxunto potencia) dun conxunto S é o conxunto de todos os subconxuntos de S, incluíndo o conxunto baleiro e o propio S^[1]. Na teoría de conxuntos axiomáticos (como se desenvolve, por exemplo, nos axiomas ZFC), a existencia do conxunto de partes de calquera conxunto é postulada polo axioma do conxunto de partes.^[2] O conxunto de partes de S denótase de varias maneiras como P(S), 𝒫(S), P(S), ${\displaystyle \mathbb {P} (S)}$, ${\displaystyle \wp (S)}$, ou 2^S. Calquera subconxunto de P(S) chámase familia de conxuntos sobre S.

Exemplo

Diagrama de Hasse das inclusións entre os subconxuntos de S.

Se S é o conxunto {x, y, z}, entón todos os subconxuntos de S son

• {{} } (tamén escrito como ${\displaystyle \varnothing }$ ou ${\displaystyle \emptyset }$, o conxunto baleiro)
• { x }
• { y }
• { z }
• { x, y }
• { x, z }
• { y, z }
• { x, y, z }

e, polo tanto, o conxunto de partes de S é { { }, { x }, { y }, { z }, { x, y }, { x, z }, { y, z }, { x, y, z } } .^[3]

Propiedades

Cardinalidade

Se S é un conxunto finito coa cardinalidade |S| = n (é dicir, o número de todos os elementos do conxunto S é n), entón o número de todos os subconxuntos de S é |P(S)| = 2ⁿ. Este feito demóstrase a continuación.

Unha función indicadora dun subconxunto A dun conxunto S coa cardinalidade |S| = n é unha función de S no conxunto de dous elementos {0, 1} denotada como I_A : S → {0, 1 }, e indica se un elemento de S pertence ou non a A. Se x en S pertence a A, daquela I_A(x) = 1, e 0 no caso contrario. Cada subconxunto A de S identifícase ou é equivalente á función indicadora I_A, e a {0,1}^S pois o conxunto de todas as funcións de S a {0, 1} consta de todas as funcións indicadoras de todos os subconxuntos de S. Noutras palabras, {0, 1}^S é equivalente ou bixectivo ao conxunto de partes P(S) . Dado que cada elemento en S corresponde a 0 ou 1 baixo calquera función en {0, 1}^S, o número de todas as funcións en {0, 1}^S é 2ⁿ. Dado que o número 2 pódese definir como {0, 1} (ver, por exemplo, os ordinais de von Neumann), o P(S) tamén se denota como 2^S. Obviamente temos |2^S| = 2^|S|. En xeral, X^Y é o conxunto de todas as funcións de Y en X e |X^Y| = |X|^|Y| .

O argumento da diagonal de Cantor mostra que o conxunto de partes dun conxunto (sexa infinito ou non) sempre ten unha cardinalidade estritamente maior que o conxunto en si (ou informalmente, o conxunto de partes debe ser maior que o conxunto orixinal). En particular, o teorema de Cantor mostra que o conxunto de partes dun conxunto numerable infinito é incontablemente infinito. O conxunto de partes do conxunto de números naturais pódese poñer nunha correspondencia un a un co conxunto de números reais (ver Cardinalidade do continuo).

Teoría de Conxuntos

Na teoría de Conxuntos, en particular na sáa formulación segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, existe un axioma cuxa finalidade é garantir a existencia do conxunto de partes: o axioma do conxunto de partes.

Álxebra

O conxunto de partes dun conxunto S, xunto coas operacións de unión, intersección e complemento, é unha sigma-álxebra sobre S e pódese ver como o exemplo prototípico dunha álxebra de Boole. De feito, pódese demostrar que calquera álxebra booleana finita é isomórfica á álxebra booleana do conxunto de partes dun conxunto finito. Para as álxebras booleanas infinitas, isto xa non é certo, pero toda álxebra booleana infinita pódese representar como unha subálxebra dunha álxebra booleana de conxuntos de partes (ver o teorema de representación de Stone).

O conxunto de partes dun conxunto S forma un grupo abeliano cando se considera coa operación de diferenza simétrica (co conxunto baleiro como elemento de identidade e cada conxunto sendo o seu propio inverso), e forma un monoide conmutativo cando se considera coa operación de intersección. Polo tanto, pódese demostrar, comprobando as leis distributivas, que o conxunto de partes xunto con estas dúas operacións forma un anel booleano.

Notas

1. Weisstein.
2. Devlin 1979, p. 50.
3. Puntambekar 2007.

Véxase tamén

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Conxunto de partes

Bibliografía

• Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Sheaves in Geometry and Logic. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4.
• Puntambekar, A. A. (2007). Theory Of Automata And Formal Languages. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8.
• Weisstein, Eric W. "Power Set". mathworld.wolfram.com. Arquivado dende o orixinal o 2023-04-06. Consultado o 2020-09-05.

Ligazóns externas

• Power set at PlanetMath.
• Power set at the nLab
• Power object at the nLab