Cardinalidade

En matemáticas, a cardinalidade dun conxunto é unha medida do "número de elementos do conxunto". Por exemplo, o conxunto A={2,4,6} contén 3 elementos e, polo tanto, ten a cardinalidade 3. Existen dúas aproximacións á cardinalidade: unha que compara conxuntos directamente, usando funcións bixectivas e funcións inxectivas, e outra que usa números cardinais ^[1].

Dise que a cardinalidade de dous conxuntos A e B é igual, se e só se existe unha función f que fai corresponder a cada elemento do conxunto A, un único elemento do conxunto B (é dicir, se f é bixectiva).

A cardinalidade dun conxunto A adoita denotarse |A|, cunha barra vertical a cada lado. Esta é a mesma notación usada para o valor absoluto, polo que o significado depende do contexto. A cardinalidade dun conxunto pódese indicar tamén como ${\displaystyle {\overline {\overline {A}}}\,}$ ou #A.

Comparación de conxuntos

Caso 1: |A|=|B|

Dous conxuntos A e B teñen a mesma cardinalidade se hai entre eles unha bixección.

Por exemplo, o conxunto P={0, 2, 4, 6, ...} de números pares non negativos ten a mesma cardinalidade que o conxunto N={0, 1, 2, 3, ...} de números naturais, xa que a función f (n) = 2n é unha bixección de N en P.

Caso 2: |A|≥|B|

A ten unha cardinalidade maior ou igual á cardinalidade de B se hai unha función inxectiva de B a A.

Caso 3: |A|>|B|

A ten unha cardinalidade estritamente maior que a cardinalidade de B se hai unha función inxectiva de B a A, mais non hai unha función inxectiva de B a A.

Por exemplo, o conxunto R de todos os números reais ten unha cardinalidade estritamente maior que a cardinalidade do conxunto N de todos os números naturais porque a función de identidade i: N → R, definida como i(x)=x, é inxectiva. Por outra banda, é posíbel demostrar a inexistencia dunha función bixectiva de N a R (ver Argumento de diagonalización de Cantor ou a Primeira proba da non numerabilidade de Cantor).

Números cardinais

A relación de ter a mesma cardinalidade chámase equipotencia, e é unha relación de equivalencia sobre a clase de todos os conxuntos. A clase de equivalencia dun conxunto A baixo esta relación consiste logo en tódolos conxuntos que teñen a mesma cardinalidade que A. Hai dúas formas de definir a "cardinalidade dun conxunto":

1. A cardinalidade dun conxunto A defínese como a súa clase de equivalencia baixo equipotencia.
2. A cada clase de equivalencia asígnaselle un conxunto representativo. A opción máis común é o ordinal inicial da clase. Isto normalmente consiste na definición dun número cardinal na teoría de conxuntos.

As cardinalidades de conxuntos infinitos denótanse:

${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<\ldots .}$

Para cada ordinal α, ℵ_{α + 1} é o número cardinal máis pequeno maior que ℵ_α.

A cardinalidade dos números enteiros denomínase aleph-cero (ℵ₀), mentres que a cardinalidade dos números reais denotase c, e tamén se coñece como cardinalidade do continuo. É posible demostrar que c = 2^ℵ₀; esta é tamén a cardinalidade do conxunto de todos os subconxuntos de enteiros. A hipótese do continuo di que ℵ₁ = 2^ℵ₀, é dicir, que 2^ℵ₀ é o menor número cardinal maior que ℵ₀, é dicir, que non hai ningún conxunto cuxa cardinalidade estea situada estritamente entre a dos enteiros e a dos números reais. A hipótese do continuo segue sen resolverse nun sentido "absoluto" ^[2]. Vexa embaixo para obter máis detalles sobre a cardinalidade do continuo.

Conxuntos finitos, numerables e incontables

Se o axioma da escolla é verdadeiro, entón a Lei da Tricotomía é certa para a cardinalidade. Polo tanto, é posible realizar os seguintes axustes:

• Calquera conxunto X cunha cardinalidade menor que a do conxunto de números naturais, ou | X | < | N |, dise que é un conxunto finito.
• Calquera conxunto X que teña a mesma cardinalidade que o conxunto de números naturais, ou | X | = | N | = ℵ₀, chámase conxunto infinito numerable.
• Calquera conxunto X cunha cardinalidade maior que a do conxunto de números naturais, ou | X | > | N |, por exemplo | R | = c > | N |, chámase conxunto incontábel ou non numerábel.

Conxuntos infinitos

Dedekind simplemente definiu un conxunto infinito como aquel que ten o mesmo tamaño (no sentido de Cantor) que polo menos un subconxunto propio de si mesmo. Esta noción de infinito chámase Infinito de Dedekind. Esta definición, porén, só é válida na presenza dalgunha forma do axioma de escolla, polo que non é considerada válida por algúns matemáticos.

Cantor introduciu os números cardinais mencionados anteriormente e demostrou que algúns conxuntos infinitos son máis grandes que outros. A cardinalidade infinita máis pequena é a dos números naturais (ℵ₀).

Cardinalidade do continuo

Un dos resultados máis importantes do traballo de Cantor foi a demostración de que a cardinalidade do continuo (${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$) é maior que a dos números naturais (ℵ₀); é dicir, hai máis números reais en R que enteiros en N. Cantor demostrou que

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$

(ver o argumento da diagonalización de Cantor).

A hipótese do continuo di que non existe un número cardinal entre a cardinalidade dos números reais e a cardinalidade dos naturais, é dicir,

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}=\beth _{1}}$

(ver Número Beth 1)

Porén, esta hipótese non pode ser nin probada nin refutada dentro da teoría de conxuntos axiomáticos de ZFC amplamente aceptada, se é consistente.

As igualdades cardinais ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},}$ e ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}}$ pódense demostrar mediante a aritmética cardinal:

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\aleph _{0}}=2^{{\aleph _{0}}\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}.}$

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Cardinal Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CardinalNumber.html
2. Penrose, R (2005). The Road to Reality: A Complete guide to the Laws of the Universe. Vintage Books. ISBN 0-099-44068-7.

Véxase tamén

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Cardinalidade

Outros artigos

• Número Aleph
• Número Beth
• Conxunto contábel