Madhava de Sangamagrama

Iriññāttappiḷḷi Mādhavan Nampūtiri, coñecido como Mādhava de Sangamagrāma, nado no reino de Cochim arredor de 1340 e finado arredor de 1425, foi un matemático e astrónomo indio, posiblemnte da cidade de Kallettumkara, Aloor Panchayath, Irinjalakuda no distrito de Thrissur, Kerala. Está considerado o fundador da Escola de Astronomía e Matemáticas de Kerala. Un dos maiores matemáticos da Idade media, Madhava realizou contribucións pioneiras no estudo das series infinitas, a análise, a trigonometría, a xeometría e a álxebra. Foi o primeiro que empregou aproximacións mediante series para as funcións trigonométricas, o que se denominou "o paso adiante decisivo dende os procedementos finitos da matemática antiga cara ao paso ao límite no infinito".^[1]

Madhava de Sangamagrama

Nome orixinal	(ml) സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ (hi) संगमग्राम के माधव
Biografía
Nacemento	(ml) സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ 1350 Sangamagrama (Kerala)
Morte	1425 (74/75 anos) Subcontinente indio
Residencia	Sangamagrama (en)
Relixión	Hinduísmo
Actividade
Campo de traballo	Astronomía e matemáticas
Ocupación	matemático, astrónomo
Obra
Obras destacables (1403) Venvaroha (en)

Algúns estudosos suxeriron que a obra de Madhava, mediante os escritos da escola de Kerala, foi transmitida a Europa^[2] mediante misioneiros xesuítas e comerciantes activos no antigo porto de Muziris nesa época. Como resultado, puido ter influencia no desenvolvemento posterior en Europa da análise e o cálculo.^[3]

Contribucións

Series infinitas

Entre as súas moitas contribucións, descubriu as series infinitas para as funcións trigonométricas do seno, o coseno e o arcotanxente e moitos métodos de cálculo da circunferencia dun círculo. Unha das series de Madhava coñécese polo texto do Yuktibhāṣā, que contén a a derivación e a demostración da serie de potencias para as función trigonométricas inversas, descubertas por Madhava.^[4] No texto, Jyeṣṭhadeva describe a serie do seguinte xeito:

O primeiro termo é o produto do seno dado e o raio do arco desexado dividido polo coseno do arco. Os termos que suceden obtéñense por un proceso de iteración cando o primeiro termo é multiplicado repetidamente polo cadrado do seno e dividido polo cadrado do coseno. Todos os termos divídense entón polos números impares 1, 3, 5,... O arco obtense sumado e subtraendo respectivamente os termos impares e os termos pares. Establécese que o seno do arco ou do seu complemento, o que sexa menor, debe ser considerado aquí o seno dado. Caso contrario, os termos obtidos pola iteración superior non tenderán á magnitude descrecente..^[5]

Isto dá:

${\displaystyle r\theta ={\frac {r\sin \theta }{\cos \theta }}-(1/3)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{3}}{\left(\cos \theta \right)^{3}}}+(1/5)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{5}}{\left(\cos \theta \right)^{5}}}-(1/7)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{7}}{\left(\cos \theta \right)^{7}}}+\cdots }$

ou equivalentemente:

${\displaystyle \theta =\tan \theta -{\frac {\tan ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\tan ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\tan ^{7}\theta }{7}}+\cdots }$

Esta é a serie de Gregory (por James Gregory, que a redescubriu tres séculos despois de Madhava). Mesmo se consideramos esta serie particular como obra de Jyeṣṭhadeva, adiantouse a Gregory nun século e certamente outra serie infinita dunha natureza similar foi traballada por Madhava. Actualmente denomínase serie de Madhava-Gregory-Leibniz.^[5][6]

Trigonometría

Madhava compuxo unha táboa de senos ben axustada. Marcando un cuadrante con vinte e catro intervalos iguais, deu as lonxitudes das semicordas (senos) correspondentes a cada un deles. Crese que calculou estes valores baseándose nestas expansións en series:^[7]

${\displaystyle \sin {q}=q-{\frac {q^{3}}{3!}}+{\frac {q^{5}}{5!}}-{\frac {q^{7}}{7!}}+...}$

${\displaystyle \cos {q}=1-{\frac {q^{2}}{2!}}+{\frac {q^{4}}{4!}}-{\frac {q^{6}}{6!}}+...}$

Valor de π

A obra de Madhava sobre o valor da constante pi foi citada no Mahajyānayana prakāra ("Método para os grandes senos"). Mentres algúns estudosos como Sarma^[8] cren que este libro puido ser escrito polo propio Madhava, é máis probable que fose obra dun sucesor do século XVI.^[7] Este texto atribúe a maioría das expansións de Madhava, e dá a seguinte serie infinita para π, coñecida como serie de Madhava-Leibniz:^[9][10]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}},}$

que obtivo da expansión dunha serie de potencias da función arcotanxente. Porén, o máis impresionante é que tamén deu o termo de corrección R_n para o erro tras calcular a suma ata n termos,^[7] namely:

${\displaystyle R_{n}={\frac {(-1)^{n}}{4n}}}$, ou

${\displaystyle R_{n}={\frac {(-1)^{n}\cdot n}{4n^{2}+1}}}$, ou

${\displaystyle R_{n}={\frac {(-1)^{n}\cdot (n^{2}+1)}{4n^{3}+5n}}}$,

onde a terceira corrección leva a cálculos máis exactos de π.

Especulouse como atopou Madhava estes termos.^[11] Son os primeiros tres converxentes dunha fracción continua finita, o que, combinado coa serie orixinal de Madhava avaliada en n termos, dando arredor de 3n/2 díxitos de corrección:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {(-1)^{n}}{4n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {3^{2}}{n+{\cfrac {4^{2}}{\dots +{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{2}}{n[4-3(n{\bmod {2}})]}}}}}}}}}}}}}}.}$

O valor absoluto do termo de corrección na seguinte orde superior é

${\displaystyle |R_{n}|={\frac {4n^{3}+13n}{16n^{4}+56n^{2}+9}}}$.

Tamén deu unha serie que converxe máis rapidamente transformando a serie infinita orixinal de π, obtendo as series infinitas

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right).}$

Empregando os primeiros 21 termos para calcular unha aproximación de π, obtivo o valor correcto con 11 cifras dixitais (3,14159265359).^[12] Ás veces atribúese a Madhava o valor de 3,1415926535898, con trece cifras decimais,^[13] mais puido ser obra dun dos seus seguidores. Foron as mellores aproximacións de π dende o século V. O texto Sadratnamala parece dar un valor sorprendentemente exacto de π = 3,14159265358979324 (17 decimais). Segundo isto, R. Gupta suxeriu que este texto tamén puido ser escrito por Madhava.^[14][12]

Madhava tamén levou investigacións noutras series para lonxitudes de arco e aproximacións asociadas a fraccións racionais de π, atopou métodos de expansión polinómica, descubriu criterios de converxencia de series infinitas, e a análise de fraccións continuas infinitas.^[14] Tamén descubriu as solucións das ecuacións transcendentes por iteración e atopou a aproximación de números transcendentes mediante fraccións continuas.^[14]

Cálculo

Madhava estableceu os fundamentos para o desenvolvemento do cálculo infinitesimal, posteriormente desenvolvidos polos seus sucesores na escola de Kerala.^[15][16] Madhava tamén estendeu algúns resultados atopados en traballos anteriores, como os de Bhāskara II. Porén, é dubidoso se algunha destas ideas foron transmitidas a occidente, onde o cálculo se desenvolveu de xeito independente por Isaac Newton e Leibniz.

Notas

1. Rajagopal, C. T.; Rangachari, M. S. (xuño de 1978). "On an untapped source of medieval Keralese Mathematics". Archive for History of Exact Sciences 18 (2): 89–102. doi:10.1007/BF00348142 (inactivo 31 de outubro de 2021).
2. Raju, C. K. (2007). Cultural foundations of mathematics: the nature of mathematical proof and the transmission of the calculus from india to europe in the 16th c. CE. Delhi: Pearson Longman.
3. Almeida, D F; John, J K; Zadorozhnyy, A (2001). "Keralese mathematics: its possible transmission to Europe and the consequential educational implications". Journal of Natural Geometry 20 (1): 77–104.
4. "The Kerala School, European Mathematics and Navigation". Indian Mathemematics. D.P. Agrawal—Infinity Foundation. Consultado o 2006-07-09.
5. Gupta, R C (1973). "The Madhava-Gregory series". Math. Education 7: B67–B70.
6. "Science and technology in free India" (PDF). Government of Kerala—Kerala Call, setembro de 2004. Prof. C.G.Ramachandran Nair. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 21 de agosto de 2006. Consultado o 2006-07-09.
7. O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (2000). "Madhava of Sangamagramma". MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, Universidade de St Andrews, Escocia. Arquivado dende o orixinal o 2006-05-14. Consultado o 2007-09-08.
8. K. V. Sarma; S. Hariharan (eds.). "A book on rationales in Indian Mathematics and Astronomy—An analytic appraisal" (PDF). Yuktibhāṣā of Jyeṣṭhadeva. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 28 de setembro de 2006. Consultado o 2006-07-09.
9. Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special Functions. Cambridge University Press. p. 58. ISBN 0-521-78988-5.
10. Gupta, R. C. (1992). "On the remainder term in the Madhava-Leibniz's series". Ganita Bharati 14 (1–4): 68–71.
11. T. Hayashi, T. Kusuba and M. Yano. "The correction of the Madhava series for the circumference of a circle", Centaurus 33 (páxinas 149–174). 1990.
12. Gupta, R. C. (1975). "Madhava's and other medieval Indian values of pi". Math. Education 9 (3): B45–B48.
13. O valor exacto de π con trece cifras dixitais, 3,1415926535898, pode acadarse usando a expansión da serie infinita de π/4 (a primeira secuencia) chegando ata n=76.
14. Ian G. Pearce (2002). Madhava of Sangamagramma. MacTutor History of Mathematics archive. Universidade de St Andrews
15. "Neither Newton nor Leibniz – The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala". MAT 314. Canisius College. Arquivado dende o orixinal o 6 de agosto de 2006. Consultado o 2006-07-09.
16. "An overview of Indian mathematics". Indian Maths. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Escocia. Consultado o 2006-07-07.

Véxase tamén

A Galipedia ten un portal sobre: India

Ligazóns externas

• Biography on MacTutor