tratado matemático e xeométrico From Wikipedia, the free encyclopedia
Os Elementos de Euclides (grego: Στοιχεῖα) é un tratado matemático e xeométrico constituído por trece libros escrito polo matemático grego Euclides en Alexandría contra o ano 300 a.C.
Engloba unha colección de definicións, postulados (axiomas), proposicións (teoremas e construcións) e probas matemáticas das proposicións. Nestes trece volumes Euclides recompila gran parte do saber matemático da súa época, representado no sistema axiomático coñecido como Postulados de Euclides os cales, dunha forma sinxela e lóxica, deron lugar á xeometría euclidiana.
Parece que Euclides pretendía reunir tres grandes descubrimentos do seu tempo: a teoría das proporcións de Eudoxo (Os Elementos. Libro V), a teoría dos irracionais de Teeteto e a teoría dos cinco sólidos regulares, que ocupaba un lugar importante na cosmoloxía de Platón.
Coa excepción de Sobre a esfera movente de Autolycus de Pitane, os Elementos é o tratado grego sobrevivente máis antigo [1] e contén o tratamento axiomático-dedutivo sobrevivente máis antigo da matemática.[2] É unha obra fundamental na construción da lóxica e da ciencia moderna.
Os Elementos de Euclides é o libro de máis éxito [3][4] e influente [5] xamais escrito. Imprimiuse por primeira vez en Venecia en 1482, é foi un dos primeiros traballos de matemática en seren impresos despois da invención da imprenta e, despois da Biblia, foi o libro que máis edicións alcanzou (máis de 1.000).[6][7] Usouse como un texto básico en xeometría en todo o mundo occidental durante 2.000 anos. Ao longo séculos, cando o quadrivium estaba incluído no currículo dos estudantes de todas as universidades, o coñecemento deste texto, ou polo menos de parte del, exixíase a todos os estudantes. Non foi até o século XX cando, aínda o seu contido era ensinado universalmente nos libros didácticos, deixou de ser considerado algo que todas as persoas educadas deberían ler.[8] E aínda hoxe é utilizado por algúns educadores como introdución básica da xeometría.
Proclo, un matemático grego que viviu varios séculos despois de Euclides, escribiu no seu comentario dos Elementos: "Euclides, que recompilou os Elementos, recollendo moitos dos teoremas de Eudoxo, perfeccionando moitos dos de Teeteto e tamén proporcionando demostracións irrefutábeis de cousas que foran só debilmente probadas polos seus predecesores".
A pesar de ser coñecido por figuras como Cicerón, por exemplo, non existe rexistro sobrevivente do texto de que fora traducido para o latín antes de Boecio no século V ou VI. Os árabes coñeceron Os Elementos a través dos bizantinos, aproximadamente en 760; esta versión, de Proclo, foi traducida para o árabe baixo Harum al Rashid contra o ano 800.[9]
A primeira edición impresa apareceu en 1482 (baseada na edición en latín de Giovanni Campano de 1260), que foi usada por Pedro Nunes (1502-1578), que a citou varias veces nos seus escritos.[10]
En 1570, John Dee escribiu un "Prefacio Matemático", amplamente respectado, xunto con numerosas notas e material suplementario á primeira edición inglesa de Henry Billingsley. E en 1576, Rodrigo de Zamorano publicou a primeira edición en castelán.
En 1768, Angelo Brunelli publicou unha tradución en lingua portuguesa dos Libros I, VI, XI e XII, usando a tradución latina de Frederico Comandino incluíndo as notas desta versión, da autoría de Roberto Sinson (1687-1768).
Este libro foi moi empregado nas escolas portuguesas, con novas edicións en 1790, 1792, 1824, 1835, 1839, 1852, 1855 e 1862.[10] Pero nesta época xa había outros libros de xeometría, didacticamente máis adecuados para o ensino, notabelmente Éléments de Géométrie de Legendre, que tamén foi traducido para o portugués e moi usado nas escolas brasileiras.[12]
Aínda existen copias do texto grego, algunhas delas na Biblioteca do Vaticano e na Biblioteca Bodleiana, en Oxford. Os manuscritos dispoñíbeis son de calidade variábel, e sempre incompletos. A través dunha análise minuciosa dos orixinais e das traducións, elaboráronse hipóteses sobre o contido dos textos orixinais (que están todos perdidos).
Textos antigos que se refiren aos Elementos e a outras teorías matemáticas da época de Euclides tamén son importantes neste proceso. Tales análises foron realizadas por J. L. Heiberg e Sir Thomas Little Heath nas súas edicións do texto. Tamén son importantes as scholia, ou anotacións ao texto. Estes arrequececementos, que case sempre se distinguían do propio texto (dependendo do manuscrito), gradualmente foron acumulándose ao longo do tempo dependendo do que os opinantes pensaban que merecía ser explicado ou elucidado. Algunhas delas son útiles e contribúen ao texto, e outras non.
As copias máis antigas sobreviventes son un exemplar (datado en 888 d.C.) que formaba parte da biblioteca do bispo Aretas de Cesarea (na Capadocia), e baseábase nunha edición con comentarios e arrequecementos de Teón de Alexandria, un matemático do século IV (pai da famosa filósofa e matemática Hipatia.
En 1808 foi "descuberto" na Biblioteca do Vaticano un exemplar datado nos séculos IX ou X, pero baseado nunha versión anterior á de Teón, o que permitiu interesantes comparacións.[13]
A pesar de que Os Elementos son considerados hoxe como un texto elemental sobre xeometría, non foi sempre así. Cóntase que o rei Tolomeo pediu unha vía para a xeometría que fose máis curta do que os Elementos. Euclides respondeu que "non hai camiño real para a xeometría." [14] Máis recentemente, Sir Thomas Little Heath escribiu na introdución da edición de 1932 da editora Everyman's Library:
A primeira pasaxe difícil do Libro I chámase de pons asinorum, que en latín significa "ponte de burros" (tradicionalmente, é difícil facer que as burros crucen unha ponte).[16]
Os Elementos aínda están considerados como a ópera prima da aplicación da lóxica á matemática. No contexto histórico comprobouse que foi enormemente influente en moitas áreas da ciencia.
Os científicos Nicolao Copérnico, Johannes Kepler, Galileo Galilei e Sir Isaac Newton foron influídos polos Elementos e aplicaron os seus coñecementos á súa obra.
Matemáticos e filósofos como Bertrand Russell, Alfred North Whitehead e Baruch Spinoza intentaron crear os seus propios "elementos" fundamentais das súas respectivas disciplinas, adoptando as estruturas dedutivas axiomatizadas introducidas pola obra de Euclides.
O éxito dos Elementos debeuse primeiramente á presentación lóxica da maior parte do coñecemento matemático dispoñíbel para Euclides. Moito do material non está formado por ideas orixinais del, a pesar de que moitas das probas si o son. O desenvolvemento sistemático do seu traballo, dun pequeno corpo de axiomas de profundos resultados, e a consistencia da súa abordaxe ao longo dos Elementos fixo deste libro o principal texto didáctico durante máis de 2.000 anos.
Os Elementos aínda teñen influencia sobre os libros modernos de xeometría. Alén diso, a súa abordaxe axiomática lóxica e as súas probas rigorosas son recoñecidas como válidas aínda hoxe.
A pesar de que os Elementos so principalmente un libro de xeometría, tamén inclúe resultados que serían clasificados hoxe como teoría dos números. Euclides probabelmente escolleu describir resultados obtidos na teoría dos números en termos de xeometría porque non conseguiu desenvolver unha abordaxe construtiva para a aritmética.
Unha construción usada en calquera das probas de Euclides requiría unha proba que fose verdadeiramente posíbel. Iso evitaba o problema que os pitagóricos encontraron cos irracionais, unha vez que as súas probas falaces xeralmente requirían situacións do tipo "Encontre a maior medida común de..." [17]
No primeiro libro, Euclides desenvolve 48 proposicións a partir de 23 definicións (como punto, liña e superficie), 5 postulados e 5 nocións comúns (axiomas). Entre estas proposicións encóntrase unha demostración do teorema de Pitágoras.
As nocións comúns dos Elementos son:
Os postulados dos Elementos son:
Este último postulado pode ser interpretado como:
Algunhas definicións:
Estes principios básicos reflicten o interese de Euclides pola xeometría construtiva, ao igual que os matemáticos gregos e helenísticos contemporáneos seus.
O contido dos libros é o seguinte:
O último dos cinco postulados de Euclides require unha atención especial. O chamado postulado das paralelas sempre pareceu ser menos obvio que os outros.
O propio Euclides usouno pouco ao longo do resto dos Elementos. Moitos xeómetras sospeitaron que podería probarse a partir dos outros postulados, pero todas as tentativas neste sentido fallaron.
A mediados do século XIX, mostrouse que non existía proba así, porque é posíbel construír xeometrías non euclidianas onde o postulado das paralelas é falso, mentres que os outros postulados parecen verdadeiros.
Por esta razón, os matemáticos din que o quinto postulado é independente dos outros.
Dúas alternativas ao postulado das paralelas son: ou un número infinito de paralelas pode trazarse a través dun punto non nunha liña recta, formando unha xeometría hiperbólica (tamén chamada xeometría de Lobachevski), ou non se pode trazar ningunha, como nunha xeometría elíptica (tamén chamada xeometría riemanniana).
Que outras xeometrías podían ser loxicamente consistentes foi un dos descubrimentos máis importantes da matemática, con amplas implicacións para a ciencia e a filosofía. Con razón, a teoría da relatividade xeral de Albert Einstein mostra que o espazo real en que vivimos é non euclidiano.
A pesar do seu éxito e da súa aceptación universal durante tanto tempo, os Elementos foron criticados por teren probas e definicións insuficientes (para os padróns da matemática moderna). Por exemplo, na primeira construción do Libro I, Euclides usa unha premisa que non foi nin postulada nin probada: que dous círculos centrados na distancia dos seus raios teñen dous puntos de intersección. Máis tarde, na cuarta construción, usou o movemento de triángulos para probar que se dous lados e dous ángulos son iguais, entón son congruentes; porén, nin postulou ou mesmo nin definiu tal movemento.
O movemento crítico iniciouse probabelmente ao final do século XVII, con John Wallis, continuando un pouco difuso durante o século seguinte, co abade xesuíta Saccheri e os matemáticos Lambert e Gauss. Pero é no século XIX cando a crítica a Euclides asume as súas últimas consecuencias, ben nas xeometrías alternativas propostas por Bolyai, Lobachevski e Riemann, ben na refundamentación da xeometría euclidiana por Moritz Pasch, Richard Dedekind e David Hilbert, que intentaron reformular os axiomas dos Elementos, por exemplo, engadindo un axioma de continuidade e un axioma de congruencia.
O matemático e historiador W. W. Rouse Ball pon as críticas en perspectiva, lembrando que "o feito de que durante dous mil anos Os Elementos foi o libro didáctico padrón da materia implica unha forte indicio de que non é inútil para os seus propósitos."[18]
Non era raro nos tempos antigos atribuír a autores célebres obras que non foran escritas por eles. É desta forma na que os libros apócrifos XIV e XV dos Elementos foron ás veces incluídos na colección.[19] O ilexítimo Libro XIV foi probabelmente escrito por Hypsicles con base nun tratado de Apolonio. O libro segue á comparación de Euclides de sólidos regulares inscritos en esferas, co principal resultado de que a razón das superficies do dodecaedro e do icosaedro inscritos na mesma esfera é igual á razón dos seus volumes: .
O ilexítimo Libro XV foi probabelmente escrito, polo menos en parte, por Isidoro de Mileto (ca. 532), arquitecto da catedral de Santa Sofia en Constantinopla. Este libro cobre entre outros asuntos a conta do número de arestas e ángulos en sólidos regulares e encontra a medida dos ángulos diédricos formados polas caras que se encontran nunha aresta.[20] En tempos antigos non era raro atribuír a autores famosos obras non escritas por eles; así, algunhas versións dos Elementos de Euclides inclúen un décimo cuarto e até un décimo quinto libro, que foron declarados apócrifos por académicos posteriores. O chamado Libro XIV continúa a comparación de Euclides de sólidos regulares inscritos nunha esfera, co principal resultado de que a razón das superficies do dodecaedro e do icosaedro inscritos na mesma esfera é igual á razón dos seus volumes, sendo a razón aquela da aresta dun cubo pola dun icosaedro, ou sexa, .
Baseado na tradución de Heath.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.