Syklotroni

Syklotroni on syklinen hiukkaskiihdytin, jolla voidaan kiihdyttää varattuja hiukkasia sähkökentän avulla. Kiihdyttävän sähkökentän lisäksi syklotronissa on sähkömagneetin muodostama magneettikenttä, jolla varauksellisia hiukkasia ohjataan syklotronin sisällä. Syklotroneja käytetään hiukkasfysiikan ja ydinfysiikan tutkimusten lisäksi erityisesti lääketieteessä muun muassa radioisotooppien tuotannossa.^[1]

Ernest Lawrencen vuonna 1934 patentoiman syklotronin kaavakuva

Syklotronista lähtevä sininen hiukkassuihku

Syklotronin keksijänä pidetään yhdysvaltalaista ydinfyysikkoa Ernest Orlando Lawrencea. Lawrence kehitti ensimmäisen syklotroninsa Kalifornian yliopiston Berkeleyn kampuksella vuosina 1929-1930^[2], ja patentoi sen vuonna 1932.^[3] Lawrence sai keksinnöstään Nobelin fysiikan palkinnon vuonna 1939.^[4]

Syklotronin toimintaperiaate

Kaavakuva syklotronin toimintaperiaatteesta. Kuvassa sähkömagneetin navat ovat pienemmät kuin todellisuudessa. Niiden tulisi olla yhtä leveät kuin D-elektrodit, jotta magneettikenttä syklotronissa olisi tasalaatuinen.

Syklotroni koostuu kahdesta D-kirjaimen muotoisesta elektrodista, jotka ovat sähkömagneetin napojen välissä. Elektrodien välillä on suuritaajuinen vaihtojännite, joka synnyttää elektrodien väliin jaksollisesti suuntaansa vaihtavan sähkökentän. Elektrodien sisällä ei ole sähkökenttää vaan siellä vaikuttaa ainoastaan sähkömagneetin synnyttämä magneettikenttä.

Kiihdytettävät varatut hiukkaset (protonit, deuteronit, tritonit tai alfa(α)-hiukkaset) ohjataan aluksi syklotronin keskelle. Siellä elektrodien välinen sähkökenttä kiihdyttää hiukkaset toiseen elektrodiin. Elektrodin sisällä hiukkaset joutuvat magneettikentän vaikutuksesta ympyräradalle. Hiukkanen kulkee elektrodin sisällä puoliympyrän, jonka jälkeen se palaa elektrodien väliseen sähkökenttään. Sähkökentässä hiukkasen nopeus kasvaa jälleen siihen asti, kunnes se osuu toiseen elektrodiin ja joutuu jälleen ympyräradalle. Deflektorilla (deflection plate) voidaan taivuttaa hiukkassäteen kulmaa, jolloin hiukkassuihku saadaan kulkemaan ikkunan läpi ja törmäämään kohtiomateriaaliin, joka voi olla kaasua, nestettä tai kiinteää ainetta.Kun hiukkassuihku osuu kohtiomateriaalin atomiytimiin, syntyy epästabiileja radionuklideja.

Hiukkasen rata

Hiukkasen nopeuden kasvaessa myös sen radan säde kasvaa. Elektrodissa hiukkanen joutuu magneettikentän vaikutuksen takia tasaiseen ympyräliikkeeseen, jossa keskeisvoimana toimii magneettinen voima. Jos oletetaan, ettei hiukkaseen vaikuta magneettisen voiman lisäksi muita voimia, voidaan hiukkasen radan yhtälö kirjoittaa dynamiikan peruslain mukaan muodossa

${\displaystyle {\overline {F}}_{m}=m{\overline {a}}_{n}}$,

missä ${\displaystyle m}$ on hiukkasen massa ja ${\displaystyle {\overline {a}}_{n}}$ hiukkasen keskeiskiihtyvyys. Tässä magneettisen voiman suuruus on

${\displaystyle F_{m}=qvB}$,

missä ${\displaystyle q}$ on hiukkasen varauksen suuruus, ${\displaystyle v}$ hiukkasen nopeuden suuruus ja ${\displaystyle B}$ magneettivuon tiheyden suuruus. Keskeiskiihtyvyyden suuruus on

${\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{r}}}$,

missä ${\displaystyle v}$ on hiukkasen ratanopeuden suuruus ja ${\displaystyle r}$ radan säteen pituus. Dynamiikan peruslain mukainen yhtälö voidaan tällöin kirjoittaa skalaarimuodossa

${\displaystyle qvB=m{\frac {v^{2}}{r}}}$, joka sievenee muotoon

${\displaystyle qB=m{\frac {v}{r}}}$.

Tästä yhtälöstä voidaan ratkaista hiukkasen radan säde ja hiukkasen nopeuden suuruus:

${\displaystyle r={\frac {mv}{qB}}}$ ja ${\displaystyle v={\frac {qBr}{m}}}$

Nähdään siis, että hiukkasen radan säteen pituus on suoraan verrannollinen sen nopeuden suuruuteen ja sen nopeuden suuruus puolestaan suoraan verrannollinen radan säteeseen. Koska hiukkasen nopeuden suuruus kasvaa aina elektrodien välisessä sähkökentässä, niin myös hiukkasen radan säde kasvaa. Tällöin hiukkasen rata syklotronin sisällä on siis spiraalimainen. Kun hiukkasen radan säde on saavuttanut suurimman arvonsa, se ohjataan ulos syklotronista poikkeutuselektrodin avulla.

Hiukkasen energia

Hiukkasen nopeuden suuruus kasvaa vain elektrodien välisessä sähkökentässä. Hiukkasen liike-energia muuttuu siis vain sähkökentän vaikutuksesta. Aina, kun hiukkanen saapuu sähkökenttään, sen liike-energia kasvaa sähköisen voiman tekemän työn verran. Koska sähkökenttä elektrodien välillä on homogeeninen ja vaihtojännitteen suuruus säilyy kuta kuinkin vakiona hiukkasen ollessa sähkökentässä, sähköisen voiman tekemän työn suuruus on

${\displaystyle W=qU}$,

missä ${\displaystyle q}$ on hiukkasen varauksen suuruus ja ${\displaystyle U}$ vaihtojännitteen hetkellinen suuruus. Hiukkasen liike-energian muutos aina, kun se liikkuu elektrodien välissä, on siis

${\displaystyle \Delta E_{k}=qU}$

Hiukkasen liike-energian muutos elektrodien välissä riippuu siis hiukkasen varauksen suuruudesta ja elektrodien välisen jännitteen suuruudesta.

Hiukkanen saavuttaa suurimman nopeutensa, kun sen radan säde on saavuttanut suurimman arvonsa. Tämä suurin arvo on sama kuin D-elektrodien säde ${\displaystyle R}$. Tällöin hiukkasen nopeuden suuruus on aiemmin saadun riippuvuuden perusteella

${\displaystyle v\ =\ {\frac {qBR}{m}}}$.

Mikäli hiukkasen liike-energia alussa oli nolla, niin sen liike-energia lopussa on täten

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {q^{2}B^{2}R^{2}}{2m}}}$

Hiukkasen lopullinen liike-energia riippuu siis magneettivuon tiheyden suuruudesta, hiukkasen varauksen suuruudesta sekä D-elektrodien säteestä.

Vaihtojännitteen taajuus

Sähkökentän suuntaa elektrodien välissä muutetaan vaihtojännitteen avulla siten, että jokaisen puolikierroksen jälkeen sähkökentän suunta on sellainen, että se kiihdyttää hiukkasia niiden tullessa uudelleen elektrodien väliin. Jokaisen kokonaisen kierroksen jälkeen jännitteen tulee olla samassa vaiheessa kuin alkutilanteessa. Vaihtojännitteen taajuuden tulee siis olla sama kuin hiukkasen kierrostaajuus.

Jos hiukkanen kulkee ympyrärataa pitkin etenee se aina yhden kierroksen aikana ympyrän kehän pituisen matkan eli

${\displaystyle s=2\pi r}$,

missä ${\displaystyle r}$ on hiukkasen radan säde. Jos yhteen kierrokseen kuluu aika ${\displaystyle T}$, on hiukkasen ratanopeuden suuruus

${\displaystyle v={\frac {s}{t}}\ =\ {\frac {2\pi r}{T}}}$, josta kierrosajaksi saadaan

${\displaystyle T={\frac {2\pi r}{v}}}$.

Näin ollen hiukkasen kierrostaajuus on siis

${\displaystyle n={\frac {1}{T}}={\frac {v}{2\pi r}}}$.

Kun aiemmin johdettu riippuvuus hiukkasen nopeuden suuruudelle sijoitetaan hiukkasen kierrostaajuuden yhtälöön, saadaan

${\displaystyle n={\frac {qB}{2\pi m}}}$.

Nähdään ettei kierrostaajuus riipu hiukkasen radan säteestä, jolloin hiukkasen kierrostaajuus on sama ympyräradalla ja spiraaliradalla. Täten vaihtojännitteen taajuuden syklotronissa on siis oltava

${\displaystyle f={\frac {qB}{2\pi m}}}$

Lähteet

Aiheesta muualla

• Jyväskylän yliopiston syklotroni (Arkistoitu – Internet Archive)
• European Patent Office Ernest Lawrencen patentti US1948384 "Method and apparatus for the acceleration of ions" (englanniksi)
• Opetusvideoita aiheesta Opetus.tv-sivustolla